Université Pierre et Marie Curie Licence - Mathématiques

Université Pierre et Marie Curie Licence - Mathématiques - LM346

Année 2012–2013 Processus et simulations

Contrôle continu n˚1 15/03/2013 Calculatrices, téléphones et documents sont interdits Exercice 1 : Simulation de la loi Gamma (6pts) Soit λ > 0. On rappelle que la loi exponentielle de paramètre λ, notée E(λ), admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction fλ (x) = λ exp(−λx)1I[0,+∞[ (x). 1. Calculer la fonction de répartition de E(λ) et en déduire une méthode de simulation de la loi exponentielle de paramètre λ. 2. Soit (Xi )i∈N une suite i.i.d de loi E(λ). On définit la variable aléatoire Sn par Sn = X1 + X2 + · · · + Xn . Montrer par récurrence sur n que la loi de Sn admet pour densité fn,λ (x) =

λn xn−1 e−λx . (n − 1)!

Cette loi est appelée loi Gamma de paramètres n et λ et notée Γ(n, λ) 3. Proposer une méthode de simulation pour Γ(n, λ). Exercice 2 : Simulation de la loi Beta (6pts) Soient a > 0, b > 0 deux réels. La loi Beta de paramètres a et b, notée β(a, b) admet pour densité par rapport à la mesure de Lebesgue la fonction xa−1 (1 − x)b−1 fa,b (x) = 1I[0,1] (x). B(a, b) 1. Exprimer la valeur de la constante B(a, b) à l’aide d’une intégrale. 2. Reconnaître la loi β(1, 1). Si X ∼ U([0, 1]), montrer que X 2 appartient à la famille des loi β (on précisera ses paramètres). 3. Pour a > 1 et b > 1, calculer le mode de cette distribution, c’est à dire le point x∗ en lequel la densité fa,b (x∗ ) est maximale. 4. En remarquant que les distributions β sont à support compact, déduire de 3. une méthode de simulation pour β(a, b). Intervalles de confiance et sondages (8pts) Soit (Yi ) une suite i.i.d de variables aléatoires bornées avec a ≤ Yi ≤ b. En notant µ = E[Y1 ] la moyenne de cette distribution, on donne l’inégalité de Hoeffding : n !   1 X 2n2 P Yi − µ ≥  ≤ 2 exp − n (b − a)2 i=1 1. Soit α ∈]0, 1[. Donner une fonction f (α, n) telle qu’on ait " n #! n 1X 1X P µ∈ Yi − (b − a)f (α, n); Yi + (b − a)f (α, n) ≥1−α n i=1 n i=1 Quel intervalle de confiance avez-vous construit ? 1

2. Soit (Yi )i∈N est une suite i.i.d suivant B(p). Quelle est la limite du ratio P √ n1 ni=1 Yi − p n p ? p(1 − p) En utilisant que pour ∀x ∈ [0, 1], x(1 − x) ≤ 14 , en déduire un intervalle de confiance asymptotique de niveau 100(1 − α)% pour le paramètre p. Pour α = 0.05, comparer avec l’intervalle de confiance que l’on peut obtenir avec la méthode de la question 1. 3. Sur le site http://www.huffingtonpost.fr/2013/01/31/sondage--intervention-au-mali-francais -allemands-britanniques_n_2591442.html on peut lire que 55% des 884 Français interrogés se sont déclarés favorables à l’intervention au Mali. En déduire un intervalle de confiance (non asymptotique) à 95% de la proportion de Français favorables à l’intervention au Mali. Peut-t-on déclarer avec probabilité au plus 5% de se tromper que la majorité des Français est favorable à ce conflit ? Et avec probabilité 1% de se tromper ? (Pour cette question, on n’attend pas des calculs trop précis) Données : Pour q = 1.96, P(−q ≤ N (0, 1) ≤ q) = 0.95. p p p log(20)/2 = 1.22 log(40)/2 = 1.36 log(100)/2 = 1.52

2

p

log(200)/2 = 1.63.