Instituto Politécnico Nacional Escuela Superior de Ingeniería Mecánica y Eléctrica Unidad Culhuacán Ecuaciones Diferenciales Apuntes sobre Ecuaciones Diferenciales Lineales No Homogéneas Con Coeficientes Constantes de orden n (EDL~HCCC orden n) Trabajo elaborado por los alumnos: Zarate García Curicaveri Ocampo Zavala Oscar Grupo: 25CM Turno: Matutino Profesora: Ramírez Castellanos Ernestina Ecuaciones Diferenciales Lineales no Homogéneas con coeficientes constantes de orden n . (EDLNHCC) En está sección se estudiaran dos métodos para resolver EDLNHCC; y dichos métodos son: 1.− Operadores Diferenciales. 2.− Variación de parámetros. Iniciaremos con el Método de Operadores Diferenciales. Recordemos que la derivada ordinaria de toda función real de variable real puede denotarse como:

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, donde , se llama operador diferencial, porque transforma una función diferenciable en otra función. Ejemplos: 1.− 2.− Es también valido, escribir: 1.− . 2.− . En general, la derivada n−ésima de una función, puede expresarse como: Las expresiones polinomiales donde interviene , como , , , también son operadores diferenciales. Definición de E.D.L.N.H.C.C Una E.D.L.N.H.C.C. de orden n y grado 1 es una ecuación de la forma: Donde, son cantidades numéricas reales. Identificación de E.D.L.N.H.C.C. 1.− los coeficientes constantes son . 2.− los coeficientes constantes son . 3.− el coeficiente constante es 1, y todos los demás valen cero. Ahora bien empleando la notación de operados diferenciales, * puede también escribirse como: de donde: de aquí, se tiene que la expresión: es una expresión polinomial donde interviene . La expresión , recibe el nombre de operador diferencial lineal de orden n y se denota mediante el símbolo . Es decir, 2

Ejemplos: Encontrar el operador diferencial lineal correspondiente a cada ecuación diferencial. 1.− . Empleando operadores diferentes la ecuación 1. puede también escribirse como: , donde , de orden 2. 2.− Esta ec. Puede escribirse como: , donde , de orden 5. 3.− , donde , de orden 4. Propiedades de a) puede factorizarse en operadores diferenciales de orden menor. Ejemplos: 1.− 2.− 3.− b) Los factores de pueden conmutarse. Ejemplos: 1.− 2.− 3.− El método de operadores diferenciales emplea el concepto de operador anulador, y por consiguiente antes de pasar a resolver E.D.L.N.H.C.C estudiaremos el concepto de operador anulador, es decir, estudiaremos tres casos de operadores anuladores, a saber:

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Caso A. Si ; con −constante o bien, si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es: . Caso B. Si , o bien es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es: Caso C. Si , o bien ; o bien si es combinación de algunas de las funciones anteriores, entonces el operador que anula a es: Ejemplo 1. Encuentre un operador diferencial que anule a Solución: es una suma de dos funciones reales de variable real, a saber, y. • La función corresponde al Caso A, ya que , donde , es decir . Por lo tanto el operador que anula a es: • La función corresponde al Caso B, ya que , donde Por lo tanto el operador que anula a es: , es decir . Como anula a y anula a , entonces el operador que anula a es: . Ejemplo 2. Encuentre el operador diferencial que anule a: Solución: es una suma de seis funciones reales de variable real. Los sumandos de pueden agruparse de la siguiente forma, de acuerdo a los casos A, B y C: , donde: • La función corresponde al Caso A, ya que es una combinación de algunas de ellas; para conocer el operador anulador, se considera la potencia con máximo exponente, a saber, 4

. Por tanto, el operador que anula a es: • La función corresponde al Caso B, ya que , , donde Por tanto, el operador que anula a es: , es decir, • La función corresponde al Caso C, y solo puede considerarse o , porque: ambas coinciden en las potencias con base en las , las exponenciales son idénticas y los argumentos de seno y coseno son iguales, o sea: Por tanto el operador que anula a es: , es decir, Como anula a , anula a y anula a , entonces el operador que anula a es: . Método de solución para resolver ecuaciones diferenciales lineales no homogéneas con coeficientes constantes. (E.D.L.N.H.C.C) Sea: * , donde y Una E.D.L.N.H.C.C de orden n. La solución general de * es de la forma: , donde • es la solución completa de la E.D.L.H.C.C . • Y es una solución particular de *, la cual deberá ser calculada. El método de solución se expondrá mediante ejemplos. Ejemplo 1. Resolver la ecuación: Solución:

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Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial. * Paso 2. Encontraremos la ecuación diferencial lineal homogénea asociada a *. ** asociada a * Paso 3. Resolveremos , mediante su ecuación característica asociada: entonces: , es decir , donde Paso 4. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue: Paso 5. Encontramos el operador anulador de . corresponde al Caso A. donde . Por lo tanto el operador que anula a es , es decir, Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación . ............*** Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las E.D.L.H.C.C. su ecuación característica asociada es: Es decir, Por lo tanto la solución de *** es de la forma: . Es decir, O sea, que es la solución general de *. Paso 8. La ecuación se compara con: , para identificar . De , vemos que:

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• (como se obtuvo en el paso 3). • Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *. Entonces: Sustituyendo y en *, tenemos que: . Agrupando los sumandos del primer miembro de acuerdo a los sumandos del segundo miembro, De donde: Sustituyendo y en , vemos que la solución general de * es: . Ejemplo 2. Resolver: . Solución: Paso 1. Identificaremos la ecuación diferencial. * Paso 2. Escribimos la E.D.L.H.C.C asociada a *. ** Paso 3. Resolveremos **, mediante su ecuación característica asociada: Calculamos las raíces de: ,ó Para resolver utilizamos división sintética. −1 Por lo tanto, las raíces de son: Por lo tanto, la solución completa de ** es: Paso 4. Se busca el operador anulador a . Para poder emplear los casos A, B y C, se expresa como: 7

, que es una suma de tres funciones, a saber: • Para , el operador que anula a es: . • Para , , donde Por tanto, el operador anulador de es: . • Para , donde Por tanto, el operador anulador de es: . Como entonces el operador que anula a es: Paso 5. La ecuación * se expresa con operadores diferenciales, como sigue: Paso 6. Se aplica el operador anulador a la ecuación . ............*** Paso 7. Resolvemos *** con el método de solución de las EDLHCC. La ecuación característica asociada a *** es: , de donde ó ó ó De aquí: Vemos que: Por lo tanto la solución de *** es:

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. Paso 8. La ecuación se compara con: , para identificar . De , vemos que: • •. Paso 9. Se calculan y , recordando que es una solución particular de *. Entonces: Sustituyendo , , y en *, tenemos que: De donde: Sustituyendo y en , vemos que: que es la solución general de *. Ejercicios propuestos de la guía correspondientes a E.D.L.N.H.C.C En los ejercicios 1−11 resuelva la ecuación diferencial dada por el método de operadores diferenciales. Indique el tipo de ecuación diferencial, la variable dependiente e independiente, el orden y el grado; y la forma de la solución general. 1.− 2.− 3.− 4.− 5.− 6.− 7.− 8.− 9.− 10.− 11.− 12.− 9

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