Utmaningar inom matematikundervisningen

Utmaningar inom matematikundervisningen

Norrtälje den 11 maj 2016

Madeleine Löwing www.madeleinelowing.se [email protected]

Utmaningar Grundläggande kunskaper  Förkunskaper  Tolka och bedöma elevers kunskaper  Planera och genomföra undervisning  Tolka styrdokumentens texter  Hjälp från myndigheter, Skolverket 

[email protected]

Matematik är ett kommunikationsmedel I många situationer används matematiska modeller för att få svar på frågor och vi behöver ofta kvantifiera för att förmedla olika budskap. För matematikern, statistikern, ingenjören och ekonomen är matematikens ord, siffror och formler lika självklara verktyg som spikpistol, såg och laserinstrument är för snickaren eller symaskin, nål och sax för sömmerskan. Ingenjören och ekonomen till exempel, visar de matematiska formlernas relevans varje dag i sina beräkningar.

[email protected]

Vad du bör tänka på i undervisningen för att eleverna ska utveckla sitt matematiska kunnande. 

Det finns grundläggande kunskaper som är avgörande för den fortsatta förståelsen. En verktygslåda med beräkningar och begrepp



Hur en elev ska kunna detta innehåll. Vad det innebär att behärska ….. Olika aspekter av begreppet



Vilka möjligheter ges eleven att visa sina kunskaper? Samtal, diagnoser ……. [email protected]

Betydelsen av den kunskap individen redan behärskar Det som eleven redan kan och vet har avgörande betydelse för möjligheten att förstå och lära sig ett nytt innehåll.

Aktuell forskning är överens om att ny kunskap utvecklas genom att man utgår från vad individen redan kan (Bransford, Brown & Cocking, 2000). The most important factor influencing learning is what the learner already knows. Ascertain this and teach him accordingly (Ausubel, 1968). [email protected]

Saknad förkunskap …….

För eleven är det helt avgörande att ha samtliga förkunskaper för att ha möjlighet att förstå ett nytt begrepp. Syftet med formativ bedömning är att sätta fingret på vad som gör att eleven lär sig / inte lär sig det som undervisas. Diagnoserna Diamant och Brilliant ger dig ett bra utgångsläge för undervisning i olika årskurser i grundskolan och vid starten av gymnasieskolan [email protected]

Elever som saknar grundläggande matematikkunskaper får svårt att lösa uppgifter/problem där dessa ”verktyg” behövs. Dessutom krävs flyt i hanterandet av olika grundläggande ”verktyg”. Det ska inte behöva gå åt mycket tankekraft för att använda rätt begrepp eller utföra beräkningar och förenklingar. Det är samma sak som att kunna läsa. När du läser en ny intressant artikel är du fokuserad på innehållet och inte på att du kan läsa eller hur man gör. Läsandet är endast ett redskap för att läsa texter och därigenom få ny information. För många elever upptar tankar kring begrepp och beräkningar så stor del av deras arbetsminne att deras möjlighet att lösa det aktuella matematikuppgiften eller problemet blir små.

Ella räknar, vt åk 1 E: Jag kan räkna multiplikation L:Vad är 2∙3 E: 6 L: Men vad är 3∙2 E: 6 så klart L: Det spelar ju ingen roll i vilken ordning siffrorna står. Vad är 3∙5? E: Det är 15, och 5∙3 är ju också 15 E: Fråga mej om något annat, 3∙24 L: Ja, vet du vad det blir? E: ……………….72, blir det de? L: Ja, hur tänkte du?

E: Som du sa att två gånger är dubbelt och sedan la jag till 25. Alltså jag tänkte 25 först och sedan tog jag bort 3. L:Vad blir då 4∙24 E: ……………..(funderar länge) L: Du vet ju vad 2∙25 är och 4 gånger blir ju dubbelt så mycket som 2 gånger. E: Nej, vad menar du? L: 4 är ju 2 + 2 alltså dubbelt så mycket som 2 gånger. E: Jaha då är 4∙25….. 100 och då blir det 96. L: Javisst! E: Då blir 8∙25 , 200 och jag vet att 8∙24 blir……, jag ska ta bort 8,…… 192? Stämmer det? L: Visst!!!! [email protected]

Kunskapssyn i Lgr 11 Den närmaste utvecklingszonen bildar utgångspunkt för pedagogisk praxis. Det sociala samspelet är betydelsefullt för barnets utveckling  Identifiera och utgå från den nivå som eleven befinner sig på och utifrån vilken hon ska utvecklas.  Sätt ribban, mot vilken lärandet syftar, lagom högt.  I undervisningen bör du använda elevernas närmaste utvecklingszon för att deras lärande ska bli så bra som möjligt. Vygotskij [email protected]

Matematik …, en abstrakt och generell vetenskap för problemlösning och metodutveckling. … (NE) Matematik handlar till stor del om att se generella mönster och strukturer i det man studerar

Ett mål med skolans matematikundervisning är att eleverna skall lära sig abstrahera matematiska idéer och operationer på ett sådant sätt att de kan generaliseras till nya talområden och till att lösa problem av olika slag, i olika situationer. Den moderna västerländska kulturen kräver en hög nivå av abstrakt tänkande och vi måste därför tidigt uppmuntra barn till detta abstrakta tänkande. Det är lärarens uppgift att hjälpa barnet vidare i hans eller hennes tankeutveckling. (Doverborg & Pramling Samuelsson, 2006)

[email protected]

Vår forskning och vårt utvecklingsarbete handlar om att genom didaktiska ämnesanalyser bygga upp enkla strukturer för skolans grundläggande matematik från förskolan till och med gymnasiet. Kunskaper om strukturer i matematikinnehållet ger progression i undervisning, vilket är avgörande för att få eleverna att förstå matematiken. [email protected]

Didaktisk ämnesanalys Didaktisk ämnesanalys av ett innehåll kan göras på olika nivåer, på hela områden eller på enskilda begrepp. Med hjälp av en didaktisk ämnesanalys av olika matematikinnehåll kan vi rita delar av kartan i matematiklandskapet och därigenom synliggöra förkunskapsstrukturer och progression. Denna typ av analys av ett innehåll synliggör vad eleverna ska lära sig, vilka aspekter de ska urskilja (få syn på) och vad du kan förväntas hjälpa dem med.

[email protected]

Arean av ett Parallelltrapets Algebra: Uttryck , variabel Distributiva lagen, kommutativa lagen ex. 3a + 4a = a(3 + 4) Beräkningar

Begrepp som eleven bör behärska: Parallelltrapets, Sida, Höjd, Normal, Trianglar, Area, Bas, Vinkelrät, Diagonal, Parallell och ?? Aritmetikkunskaper. De fyra räknesätten även med bråk och decimaltal

Tänk igenom: Vilka svårigheter kan uppstå? Var brukar eleverna fastna?

[email protected]

[email protected]

Matematiska begrepp och elevers uppfattningar

[email protected]

Strukturschema

Procentuell ökning

Procentuell minskning

[email protected]

Diagnos; Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart 

Hur mycket är: 5% av 160 kr? b) 25% av 480 kr? c) 20% av 40 kr?



För att få en salladsdressing blandar man 3 dl olja och 1 dl vinäger. Hur många procent av blandningen består av vinäger?



I en by i Schweiz talar 452 personer franska, 800 personer tyska och 748 personer italienska . Hur många procent av alla i byn talar tyska?



Ett par jeans kostar 720 kr. Man får 15% rabatt. Hur mycket får man då betala? www.mattediagnos.se



Lisas månadslön är 25 000 kr. När skatten är dragen har Lisa 21 000 kr kvar. Hur många procent av lönen betalar hon i skatt?



En dator kostar 8 400 kr utan moms. Man får också betala 25% moms. Hur mycket kostar datorn när momsen är inräknad?



Priset på en skjorta som tidigare kostat 400 kr höjs med 15%. På det priset får Erik 15% rabatt. Hur mycket får Erik betala?



Priset på en jacka är 250 kr. Först höjs priset med 20% och sedan sänks det med 10%. Vad blir det slutliga priset?

www.mattediagnos.se

Resultatschema; Procent Gymnasiet åk 1 och åk 2 vid läsårsstart

www.mattediagnos.se

I flera forskningsrapporter (Truedson, 1994; Hattie, 2009) beskrivs hur lärare som lyckas bra, låter eleverna vara med och påverka vad som händer i klassrummet, men att läraren samtidigt har en klar struktur i planeringen och med fast hand styr verksamheten mot de mål som finns i planeringen. Det gäller alltså att kombinera en målmedveten undervisning med stor flexibilitet i såväl planering som genomförande samt att reflektera över den egna undervisningen i relation till elevernas lärande och utveckling inom det aktuella matematikområdet [email protected]

Lektion i årskurs 8 Uppgiften: Skriv i 7/4 som procent. L E L

E L E L E L E L E L E L E L

Kan du skriva den som blandad form? Ääh, …en hel och tre fjärdedelar. Ja, en hel och tre fjärdedelar. Kan du skriva den som decimal form nu? En komma tre………. Tre fjärdedelar hur mycket blir det? Ääh. Hm… Vad ser du här? Att hundra delat på fem är 20 gånger. Om du skall göra samma sak här? Hundra delat på fyra? Hur mycket är det? Ääh…tr………….. Hälften av hundra hur mycket är det? 50. Och hälften av 50? Ja vänta nu, öh …. vad heter det …… 25. Ja och den gånger den? [email protected]

E L E L E L E L E L E L E L E L E

--Nej, kom igen nu! Ja men……… Tänk på tjugofem, vad som helst. 25 plus 25 hur mycket är det? 25 plus 25? Hm. 50. ….och 25? Va? Plus 25. Jaha, är 75 Ja alltså det här blir lika med? 75. 75 … Tänk så här först, vi har en hel. … sen 75,….,och om du skriver den i procent, hur mycket blir det? 175 Har du fattat? Ja.

[email protected]

Matematiken i dagens skola Organisationen av undervisningen medförde att eleverna löste uppgifter för stunden/enstaka problem istället för att bygga upp en kunskapsstruktur som är användbar på längre sikt. Matematik handlar till stor del om att se generella mönster och strukturer i det man gör. Detta förutsätter dels en variation och dels en sammankoppling av idéer. För att detta skall ske måste olika aspekter av ett innehåll lyftas fram och diskuteras. En förutsättning för att läraren skall nå eleverna med en god undervisning är att hon gjort lämpliga val när det gäller undervisningens ramar. Man måste utgå från matematikinnehållet och ha ett systemtänkande vid planering av undervisning. En ytterligare förutsättning för en meningsfull kommunikation kring ett matematikinnehåll är att lärare och elever har ett gemensamt språk. Lärarna skall genom att kommunicera göra matematiken förstålig för den enskilda eleven. [email protected]

24

Läraren har en viktig roll i undervisningen Niss (1994) betonar lärarens viktiga roll i skolans matematikundervisning: ”As the learning of mathematics does not take place spontaneously and automatically, mathematics needs to be taught.” Kilpatrick m.fl (2001) framhåller på motsvarande sätt att ”What is learned depends on what is taught” John Hattie (2009) lägger med devisen ”Know thy impact” – var medveten om din påverkan –över ansvaret för elevernas resultat på lärarna. [email protected]

Riktlinjer för undervisningen är läroplanen och kursplanen Dessa styrdokument ska du tolka och sedan planera undervisningen utifrån . Tydliga mål och kunskapskrav har visat sig vara avgörande för elevers lärande, och utgör grunden för dig att kunna ge en relevant återkoppling. Några faktorer som är betydelsefulla för undervisningen är:  tolkningen av matematikinnehållet i kursplanen,  planeringen, undervisningen och bedömningen och dessa ska vara i linje med varandra. Formativ bedömning av elevers kunskaper är en central del i matematikundervisningen och är därför beroende av de undervisningsmål du satt upp och den planering du gjort. [email protected]

Det krävs djupa ämneskunskap för att bedöma en individs prestation.

[email protected]

Läroplan för förskolan Lpfö 98 Reviderad 2010

Mål Förskolan ska sträva efter att varje barn utvecklar sin förståelse för rum, form, läge och riktning och grundläggande egenskaper hos mängder, antal, ordning och talbegrepp samt för mätning, tid och förändring,  utvecklar sin förmåga att använda matematik för att undersöka, reflektera över och pröva olika lösningar av egna och andras problemställningar,  utvecklar sin förmåga att urskilja, uttrycka, undersöka och använda matematiska begrepp och samband mellan begrepp,  utvecklar sin matematiska förmåga att föra och följa resonemang, 

[email protected]

Syftet med matematikundervisningen, Lgr 11 Genom undervisningen i ämnet matematik ska eleverna ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att  formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder,  använda och analysera matematiska begrepp och samband mellan begrepp,  välja och använda lämpliga matematiska metoder för att göra beräkningar och lösa rutinuppgifter,  föra och följa matematiska resonemang, och  använda matematikens uttrycksformer för att samtala om, argumentera och redogöra för frågeställningar, beräkningar och slutsatser.

[email protected]

Stöd för att bedöma förmågor Möjligheterna att bedöma de förmågor som beskrivs i kursplanen är helt beroende av elevens kunskaper inom det centrala innehållet. Eleverna måste behärska strategier för att kunna värdera dem. begrepp och se samband för att kunna analyser dem. olika metoder för att kunna resonera, argumentera om dem eller uttrycka dem.

Att behärska det som beskrivs i centralt innehåll är alltså en förutsättning för att eleven ska kunna uttrycka, utveckla eller öva sina förmågor. Kunskaperna som testas med Diamant skapar förutsättningar för eleverna att utveckla sina förmågor. [email protected]

Utvärdering - diagnostik The teachers should use assessment to ”keep learning on track” An assessment monitors learning to the extent that it provides information about whether the student, class, school or system is learning or not, • it is diagnostic to the extent that it provides information about what is going wrong and • it is formative to the extent that it provides information about what to do about it. • To be formative, feedback needs to contain an implicit or explicit recipe for future action •

Researchers now have hard empirical evidence that learning does lead to higher achievement when using assessment. (Dylan Wiliam, 2008) [email protected]

DIAMANT NaTionella DIAgnoser i Matematik Ett diagnosmaterial i matematik för skolåren årskurs F- 9 Anpassat till Lgr 11

www.skolverket.se/diamant

BRILLIANT Ett digitalt diagnosinstrument i matematik för gymnasieskolan.

BrilliantGrund diagnoser ”Vid starten av gymnasieskolan” klara i vår. www.mattediagnos.se [email protected]

Syften med Diamantdiagnosen Diagnosmaterialet är ett bedömningsstöd som ska hjälpa dig att:  följa elevernas kunskapsutveckling inom olika delar av matematikämnet.  planera undervisningen på lång och kort sikt och utgöra ett underlag för individualisering.  skapa goda förutsättningar för eleverna att utveckla de kunskaper och förmågor som kursplanen beskriver.

Därigenom blir det möjligt för eleverna få kontinuitet i inlärningen och därmed ökade möjligheter att på ett bra sätt nå kunskapskraven i matematik. [email protected]

Diamantmaterialets uppbyggnad 6 22 127

Områden Delområden Diagnoser

Till varje Område och Delområde finns Didaktiska kommentarer Till varje diagnos finns beskrivning av uppgifterna, genomförande och facit Resultatblanketter till varje diagnos

Sammanställning av alla diagnoserna för att få överblick. Strukturscheman över hela Områden och över varje Delområden Utvecklingsscheman till varje elev uppbyggda enligt strukturscheman. Syftet: Du och eleven ska kunna följa elevens kunskapsutveckling Vetenskaplig beskrivning

[email protected]

Strukturschema

[email protected]

Nationellt Bedömningsstöd Avgränsningar: Diamant mäter inte elevens problemlösningsförmåga. Diagnoserna testar den ”verktygslåda” eleven har i form av grundläggande begrepp och metoder för beräkningar alltså förutsättningarna för att kunna lösa matematiska problem. Mitt motto är: ”När en diagnos genomförs ska alltid resultatet vara utgångspunkt för åtgärdsarbete.” [email protected]

Idén bakom Diamant överensstämmer väl med det omfattande ramverk för formativ bedömning som Wiliam och Thompson (2007) beskriver och som omfattar tre centrala processer: nämligen att fastställa  var eleven befinner sig i sin kunskapsutveckling,  vilka målen är och  vilket innehåll eleven behöver förstå för att nå målen.

[email protected]

Grundtankar vid konstruktion Teoretiska utgångspunkter:  Teori för ämnesinnehållet, Didaktiska ämnesanalyser som bildar utgångspunkten för en didaktisk ämnesteori för matematikundervisning 

Teori för hur diagnoserna byggs upp

Diagnosen får bara mäta en kvalitet i sänder och fokuserar på förkunskaper.  God validitet, mäter det den avser att mäta  God reliabilitet, tydligt hur en uppgift ska bedömas. Ett nationellt diagnosinstrument måste vara oberoende av lärares val av undervisningsmetoder [email protected]

Att våga se – för att kunna ta ansvar

Forskningsstudie vid Göteborgs Universitet Utkommer våren 2016

Konstruktion av bedömningsinstrument, Diamant och Brilliant Kunskapskartläggningar: Syftet är att komma ner på individnivå när det gäller specifikt och betydelsefullt innehåll. Synliggöra för tjänstemän på olika nivåer i utbildningssystemet orsakerna till de resultat som lyfts fram [email protected]

Matematikens struktur Matematik består inte av en rad löst sammanfogade moment. Momenten är istället sammanlänkade och bygger på ett antal gemensamma räknelagar, räkneregler och begrepp Varje moment kan i allmänhet behandlas på olika sätt och förstås på olika kognitiva nivåer. Men målet, det som skall abstraheras, är detsamma. Hur de olika diagnoserna är kopplade till varandra framgår av de strukturscheman som inleder respektive område och delområde.

[email protected]

Diamant diagnos www.skolverket.se/diamant

[email protected]

Resultatschema; Diagnos AG1, åk 1 och åk 2 slutet av årskursen

[email protected]

Grundläggande aritmetik. AG1 Följande figur kan illustrera en rad olika räkneoperationer

Den kan tolkas som 3 + 2 = 5, 2 + 3 =5 5 – 3 = 2, 5 – 2 = 3 5 = 3 + 2, 5 = 2 + 3 eller som 3 + __ = 5, 2 + __ = 5 5 = 3 + __ osv….

[email protected]

Landgren, C.J. (1866). Hufvudräkningskurs för folkskolelärareseminarier, Folkoch småskolor Stockholm: Hiertas förlagsexp.

[email protected]

[email protected]

Diamant diagnos www.skolverket.se/diamant

Löwing januari 2013

Resultatschema; Diagnos AG4 åk 3, åk 4 och åk 5 slutet av årskursen

[email protected]

Löwing januari 2013

[email protected]

Är det viktigt att behärska den grundläggande matematiken?

Löwing 2014

Ämnesprov åk 3 Bedömningsexempel

Bedömningsmall Uppgifter av typ:

1) 17=14+__ och 14 - __ = 10,

Kommentarer till uppgift 1-3: Uppgift 3. (100 – 85) Ett felsvar kan anses godtagbart om det Elevarbete 2 – godtagbar är uppenbart att eleven använt fel lösning och godtagbart svar räknesätt i någon enstaka uppgift. Eleven bör då muntligt kunna rätta till felet. 100 – 80 = 20 – 5 = 15 Om eleven skriver i

Lösningen får anses godtagbar även om eleven har använt likhetstecknet fel.

1) 17=14+31 eller 1f) 14–24=10 kan det tyda på brister i förståelsen av likhetstecknets innebörd. Då detta delprov prövar huvudräkning och inte likhetstecknets betydelse ska du i fall som detta påpeka för eleven vad som avses. Om eleven då ger ett godtagbart svar ska detta anses godtagbart. [email protected]

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Kunskapskrav årskurs 3 









Eleven har grundläggande kunskaper om naturliga tal och kan visa det genom att beskriva tals inbördes relationer samt genom att dela upp tal. …göra enkla beräkningar med naturliga tal och lösa enkla rutinuppgifter… Eleven kan använda huvudräkning för att genomföra beräkningar med de fyra räknesätten när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0–20, samt för beräkning av enkla tal i ett utvidgat talområde. Vid addition och subtraktion kan eleven välja och använda skriftliga räknemetoder med tillfredsställande resultat när talen och svaren ligger inom heltalsområdet 0-200. Eleven kan hantera enkla matematiska likheter och använder då likhetstecknet på ett fungerande sätt.

[email protected]

Subtraktionsuppställningen i heltalområdet 0 – 200 och 0 -1000 10 10

10 10

167 - 89

967 -89

Beräkningar 17 – 9 alt 10 – 9 + 7 15 – 8 alt 10 – 8 + 5 [email protected]

56

Hur löser du de här uppgifterna? 7,2 + 7,9 =

7,2 – 3,9 =

0,54 + 0,52 =

1,56 – 0,57 =

9 ∙ 1,5 =

0,7 ∙ 50 =

10,05 / 5 =

5 / 0,1 =

[email protected]

Lösningsförslag!! 7,2 + 7,9 = (7,1+0,1)+7,9 = 7,1+(0,1+7,9) = 7,1+8 Uppdelning av tal, associativa lagen

7,2 – 3,9 = Lika tillägg, differensen samma (7,2 + 0,1) – (3,9 + 0.1) = 7,3 - 4

0,54 + 0,52 = 54 hundradelar + 52 hundradelar = 106 hundradelar = 1,06

1,56 – 0,57 = Uppdelning av tal 1,56 – (0,56 + 0,01) = 1,56 – 0,56 – 0,01 = 1 – 0,01 = 0,99

9 ∙ 1,5 = 9 ∙ (1 + 0,5) = 9 + 4,5 Distributiva lagen

0,7 ∙ 50 = Uppdelning av tal, kommutativa- och associativa lagen. 0,7 ∙ (5 ∙ 10) = 0,7 ∙ (10 ∙ 5) = (0,7 ∙ 10)∙ 5 = 7 ∙ 5

10,05 / 5 = Delningsdivision (10 + 0,05) / 5 = 10/5 + 0,05/5 = 2+0,01

5 / 0,1 = Innehållsdivision 1 / 0,1 = 10 5 ∙ 10 = 50 [email protected]

Addition och subtraktion av tal i decimalform Ca 2500 elever grundskolan, 1500 elever i gymnasiet

Lösningsfrekvensen ökar inte Det eleven inte lärt sig när innehållet presenterats lär de sig inte senare utan undervisning [email protected]

Språkliga utmaningar Att läsa tal i decimalform Under en och samma lektion lästes talet 2,385 som Två komma tre åtta fem Läser man ”noll komma sexton” så blir svaret ofta Två komma trehundraåttiofem 0,4 Två hela och trehundraåttiofem tusendelar Läser man sexton hundradelar så blir svaret fyra hundradelar alltså Vid jämförelse måste talen 0,04 uttryckas på samma form. Vilket tal som är störst 2,9 eller 2,10 Beräkna ¼ av 0,16

[email protected]

Tal i bråkform Bråkets olika aspekter  ett tal,  en del av en hel,  en del av ett antal,  en andel,  en proportion,  ett förhållande,  skala.

Förkunskaper för att kunna börja att operera med bråk  Nämnarens innebörd 

Täljarens innebörd



Varje tal i bråkform kan skrivas på oändligt många sätt.

Dessutom bör eleverna behärska de fyra räknesätten och räknelagarna

[email protected]

[email protected]

[email protected]

Resultatschema; Diagnos RB1, åk 4 och åk 5

[email protected]

Konkretisering 

Att konkretisera innebär att man lyfter fram och illustrerar strukturen hos en matematisk idé, tankeform eller operation med hjälp av en metafor, en tidigare erfarenhet eller ett material (en artefakt). Konkretisering kan då bli ett stöd för inlärningen.



Målet med matematikundervisningen är att eleverna skall lära sig abstrahera matematiska idéer och operationer. Med detta menas att eleverna skall förstå idéer och operationer på ett sådant sätt att de kan generaliseras till att lösa problem av olika slag, i olika situationer.



Efter hand som eleverna har förstått den idé som skulle konkretiseras, är det viktigt att man lämnar det konkretiserande materialet.



Nu är det istället angeläget att eleverna lär sig att i huvudet hantera det som har abstraherats. [email protected]

Variation - av vad? Utvecklingsbart och generaliserbart.

”Är det bara pizzor man kan dela?” Materialet begränsar möjligheten till variation av ett antal aspekter av bråkbegreppet.

[email protected]

Generaliserad förståelse L:Hur många tredjedelar är en hel? E: 3 tredjedelar L: hur många fjärdedelar? E: fyra fjärdedelar. E: ….och tolv tolvdelar E: …och miljoner miljondelar….. L: ja men sådana delar har vi inte så det kan vi inte göra… [email protected]

[email protected]

Genom vårt forskningsarbete har vi kunnat beskriva olika avgörande steg (delkunskaper) som eleven behöver förstå för att på sikt behärska till exempel bråkbegreppet. Dessa steg måste därför synliggöras i undervisningen.

[email protected]

Riktlinjer för undervisningen är läroplanen och kursplanen Dessa styrdokument ska du tolka och planera undervisningen utifrån . Tydliga mål och kunskapskrav har visat sig vara avgörande för elevers lärande, och utgör grunden för dig för att kunna ge relevant återkoppling. Några faktorer som är betydelsefulla för undervisningen är:  tolkningen av matematikinnehållet i kursplanen,  planeringen, undervisningen och bedömningen och dessa ska vara i linje med varandra. Formativ bedömning av elevers kunskaper är en central del i matematikundervisningen och är därför beroende av de undervisningsmål du satt upp och den planering du gjort. [email protected]

Delområde, Ekvationer Centralt innehåll I årskurs 4 – 6 …ekvationer i situationer som är relevanta för eleven Metoder för enkel ekvationslösning

I årskurs 7 – 9 Innebörden av variabelbegreppet och dess användning i algebraiska uttryck, formler och ekvationer …ekvationer i situationer som är relevanta för eleven Metoder för ekvationslösning Löwing 2014

Brilliant diagnos Gymnasiet

[email protected]

Resultatschema; Potenser gymnasiet Åk 1 läsårsstart

[email protected]

[email protected]

Framgångsfaktorer •

Läraren har tydliga mål för lektionen : Månghörningar och dess egenskaper

•

Lektionen är ett led i en välplanerad sekvens av geometrilektioner

•

Eleverna arbetar tillsammans, pratar om begrepp och illustrerar dem

•

Läraren går runt och stödjer deras arbete genom att ställa utmanande frågor samt korrigerar om något blir fel

•

Läraren samlar klassen för en gemensam sammanfattning

•

Eleverna arbetar individuellt vilket befäster kunskaperna Bild L5.4 [email protected]

Frågor för läraren att besvara vid planering inför en lektion eller en svit av lektioner 

Vad ska du undervisa om nästa lektion/område?



Vilka mål har du för elevens lärande?



Vad behöver eleven ha förstått för att ha möjlighet att förstå det du avser?



Hur vet du om eleven har dessa kunskaper?



Vilken/Vilka förklaringsmodell/er kommer du att använda för att beskriva innehåller (begreppet, modellen, metoden)?



Vilka uppgifter avser du att använda i undervisningen? (kvalitet, sekvensering etc.)



Hur kommer du att individualisera undervisningen?



Vilket arbetssätt är lämpligt för att behandla det aktuella innehållet?



Hur vet du att eleverna efter lektionen/lektionerna har nått målet? [email protected]

Multiplikation Typ 7*4 Åk 3 55% Åk 4 64% Åk 5 75%

Typ 8*3 Åk 3 56% Åk 4 62% Åk 5 78%

Typ 8*6 Åk 3 24% Åk 4 34% Åk 5 57%

Typ 7*8 Åk 3 12% Åk 4 23% Åk 5 43%

Typ 8*3+5 Åk 5 48% Åk 6 55%

Typ 7*8+6 Åk 5 42% Åk 6 51%

Typ Uppställningar Årskurs 6 77% Årskurs 7 77% Årskurs 8 75%

[email protected]

Multiplikationskombinationer

[email protected]

Dubbelt

Tvåans multiplikationstabell Dubbelt 2 2+2 Dubbelt 3 3+3 Dubbelt 4 4+4 Dubbelt 5 5+5 osv…. [email protected]

2 .2 2 .3 2 .4 2 .5

Formativ bedömning eller bedömning för lärande Bygger enligt Hogden och Wiliam (2006) på på fem principer.  Undervisningen måste utgå från var eleverna är  Eleverna måste känna till avsikten (mål och syfte) med undervisningen  Eleverna ska vara aktiva i inlärningsprocessen  Eleverna måste få diskutera (utrycka) sina idéer  Feedback till eleverna är en förutsättning för förbättring.

[email protected]

Ett formativt arbetssätt Du lyssnar på elevernas svar och frågor i samband med genomgångar, laborationer med mera och agerar i förhållande till dessa. 

Du måste med frågor och kommentarer skapa konflikter i felaktiga resonemang som elever bygger upp och på så sätt synliggörande matematiken. 

Om man inte tar upp och diskuterar felaktiga lösningar eller icke utvecklingsbara strategier, och förklarar varför de inte fungerar eller är utvecklingsbara, uteblir det formativa arbetssätt lärare ofta säger sig vilja arbeta med 

[email protected]

Feedback to ”keep learning on track” 

En av de viktigaste aspekterna för formativ bedömning är att ge feedback till eleverna utgående från uppställda mål och i relation till deras prestationer. Relationen mellan feedback och målrelaterade utmaningar är komplex.



Allt för sällan blir feedbacken relaterad till kritiska moment av de innehållsliga målen



Det är främst uppgiftsrelaterad feedback som visat sig vara avgörande för inre motivation. Feedback på uppgiftsnivå är också mest effektiv om den inte är för specifik utan ger kunskap som kan användas utöver den aktuella uppgiften.



Feedback på personlig nivå, värderande feedback till eleven alltså beröm på personnivå, utan koppling till själva uppgiften eller innehållet, är den typ av feedback som har minst effekt på lärandet. (Hattie & Timperley, 2007)

[email protected]

Madeleine Löwing

[email protected] www.madeleinelowing.se www.mattediagnos.se

[email protected]