Var discrètes usuelles

Var discrètes usuelles 1. On effectue n tirages dans une urne contenant au départ b boules blanches et b boules noires selon le protocole suivant : lorsqu’on tire une boule blanche, on la remet ; lorsqu’on tire une boule noire, on la remet et on rajoute b boules blanches. On note X la var représentant le nombre de boules noires obtenues. Quelle est la probabilité des événements (X = 0), (X = n), (X = 1) ? Lorsque n = 3, en déduire la loi de X. Calculer son espérance et sa variance. 2. On dispose de n urnes numérotées U1, U2, …., Un telles que pour tout k  1, n , l’urne Uk contienne exactement k + 1 boules blanches et n – k + 1 boules noires. Une urne est choisie au hasard puis on y effectue un tirage simultané de deux boules. Déterminer la loi de la variable aléatoire X représentant le nombre de boules blanches obtenues. Pour k  1, n , déterminer la probabilité pk que les boules tirées proviennent de l’urne Uk sachant qu’elles sont toutes les deux blanches. Comment choisir n pour qu’il existe des valeurs k  1, n telles que pk 

3 ? 10

3. On lance un dé normal ; soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le numéro obtenu. 1 Déterminer la loi de X, la loi de Y = , la loi de Z = X  3 , de T = X  4 , de Z + T . X Les variables aléatoires Z et T sont–elles indépendantes ? Soit U une variable aléatoire de même loi que T telles que Z et U soient indépendantes ; déterminer la loi de Z + U. 4. Une urne contient initialement 3 boules blanches et 4 boules rouges. On en tire au hasard successivement trois fois une boule, en remettant la boule tirée si elle est blanche et en ne la remettant pas si elle est rouge. On note X la variable aléatoire qui à chaque série de trois tirages associe le nombre de boules blanches obtenues. a) Compléter l’algorithme suivant pour qu’il simule l’expérience et affiche la valeur de X associée Begin b := 3 ; r := 4 ; x := 0 ; For i := 1 to __ do begin a := random(b + r) +1 ; if a