variable aléatoire et loi de probabilité

Variables aléatoires www.mathmaurer.com – Cours – 1ère ES-L I – Variable aléatoire et loi de probabilité 1 - Définition d'une variable aléatoire On note E l'ensemble des issues d'une expérience aléatoire appelé univers. Définition 1: On appelle variable aléatoire X une fonction qui à chaque issue de E associe un réel.  2 - Loi de probabilité Notation : On note X = x l'ensemble des antécédents de x par X. L'ensemble des antécédents de x par X est un ensemble d'issues donc c'est un évènement.  Définition 2: On appelle loi de probabilité de X la fonction qui à chaque évènement X = x associe sa probabilité p . Notation : On présente une loi de probabilité sous la forme d'un tableau. x

x1

x2

…

xn

p (X = x)

p1

p2

…

pn

 Propriété 1: Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn : • Pour tout i  [1 , n], 0  pi  1 . • p1  p2  ...  pn  1

3 - Espérance mathématique Définition 3: On appelle espérance mathématique d'une variable aléatoire X prenant les valeurs x1 , x2 ,..., xn avec les probabilités p1 , p2 ,..., pn le réel :

E ( X )  x1  p1  x2  p2  ...  xn  pn  Remarque : L'espérance mathématique de la variable aléatoire X s'interprète comme la moyenne des valeurs prises par X pondérées par leur fréquence d'apparition lorsqu'on répète un grand nombre de fois l'expérience aléatoire. Dans le langage des jeux, l'espérance mathématique correspond au gain moyen. Si E ( X )  0 alors le jeu est équitable.

II – Répétition d'expériences identiques et indépendantes Définition 4: On dit que 2 expériences sont indépendantes si le résultat de l'une n'a aucune influence sur le résultat de l'autre.  Propriété 2: Sur un arbre pondéré représentant la répétition d'expériences aléatoires identiques et indépendantes, la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. 