VARIABLE ALÉATOIRE - Jean Alain Monfort

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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VARIABLE ALÉATOIRE (C1) Notion fondamentale du calcul des probabilités, la notion de variable aléatoire correspond à la notion mathématique d'application mesurable. En Statistique, on utilise plutôt le concept de statistique, en association avec les notions de modèle statistique et de problème statistique. (i) Soit (W , T) et (X , B) deux espace mesurable (ou espace probabilisable) et x : W a X une application donnée. On dit que x est une variable aléatoire, ou un aléas, ou un élément aléatoire, défini sur W et à valeurs dans X, ssi x est une application (T,B)-mesurable, ie ssi x est compatible avec les structures mesurables (W , T) et (X , B) resp associées à W et à X. Autrement dit, par définition : (1)

x -1 (B) Î T, " B Î B,

ou encore

x -1 (B) Ì T,

ie l'image inverse de la tribu B par x est contenue dans la tribu T. Une variable aléatoire (ou va) peut être notée à l'aide de symboles variés. Par exemple, des lettres grecques x , h, z ou e (etc), ou des lettres latines majuscules X, Y, Z ou U (etc). Souvent : (a) les lettres grecques servent à représenter des va « théoriques » (eg inobservables) ; (b) les lettres latines représentent des va « empiriques », ie des variables constituant des observations des va précédentes. Ainsi, x représentera une vars et X = (X1 ,..., XN) un échantillon constitué de copies (ou « répliques ») analogues à la « variable parente » x , eg des copies indépendantes entre elles et équidistribuées comme x (cf échantillon iid). U n échantillon aléatoire lui-même peut aussi être considéré comme une va, à valeurs, le plus souvent, dans un espace produit. De même, un processus stochastique peut être considéré comme une variable aléatoire X = (Xt)t Î T à valeurs dans un espace puissance (en général infinie). Si x est une va, on note souvent x = x (w) l'image d'un élément w Î W par x . On note encore x = X (w) l'image d'un élément w Î W par X, image souvent appelée observation. (ii) Une va x : W a X peut être qualifiée en fonction de la nature (mathématique) de l'ensemble X ou de l'espace (X, B). Ainsi : (a) x est appelée variable entière, variable entière positive (ou variable « naturelle »), variable rationnelle, variable réelle, variable réelle positive ou variable complexe selon que, resp, X = Z, X = N (ou N*), X = Q, X = R, X = R+ (ou R+*) ou X = C. Une variable de cette nature est parfois dite variable scalaire ou « à une dimension ». Lorsque X =

R, on parle aussi d'aléa numérique. En pratique, le plus souvent, X = D (ensemble des nombres décimaux) ; (b) x est appelée variable aléatoire quantitative, ou variable aléatoire numérique, (scalaire) ssi l’ensemble X de ses valeurs est l’un des ensembles numériques précédents (cf

variable quantitative) ; (c) h est une variable aléatoire qualitative ssi l’ensemble Y de ses valeurs n'est pas un ensemble numérique (cf variable qualitative). Une variable de cette nature peut aussi être qualifiée de « variable scalaire » ou de « variable à une dimension ». Par définition, un ensemble non numérique est un ensemble dont les éléments, même s’ils ont une « apparence numérique » (eg identifiant, numéro d’ordre, etc), ne peuvent faire l’objet de calculs algébriques ; (d) x est une variable discrète ssi X est un ensemble discret, ie un ensemble ayant au plus la puissance du dénombrable (ie soit fini, soit en bijection avec l'ensemble N). Une variable de cette nature peut encore être qualifiée de variable « scalaire » ou de variable « à une dimension ». C'est le cas lorsque X = {1 ,..., n} = Nn*, ou X = {-m ,... , 0 , ... +n} = Zmn , ou encore X = Z (resp Q). Par extension, on peut aussi considérer comme discrète une variable « continue » dont la loi de probabilité ne « charge » qu’un ensemble discret X du type cidessus (distribution de « masses ») ; (e) z est une suite aléatoire, ou une « liste » aléatoire, (finie) ssi l’ensemble Z de ses « valeurs » est un ensemble produit (fini) de la forme Z = Pi=1n Zi . Chaque ensemble Zi de ce produit est muni d'une structure mesurable, éventuellement adaptée à sa nature, ou à sa structure, particulière : Z peut ainsi constituer un « mélange » d’ensembles numériques ou non, géométriques ou non, unidimensionnels ou non, etc ; (f) x est un vecteur aléatoire, ou une variable aléatoire vectorielle, ssi X est un espace vectoriel muni d'une structure mesurable (resp espace vectoriel mesurable). On dit notamment que x est un élément aléatoire ssi X est un espace de BANACH(généralement muni de sa tribu borélienne). Ainsi, lorsque X est un espace vectoriel sur un corps K (en pratique K = R ou C) et qu'il est muni d'une base canonique (ei)i = 1,...,n , la variable x se décompose selon x = S i=1n x i ei , où les x i sont des va à valeurs dans K. Si X = Rn, on dit que x est un vecteur aléatoire réel, ou une variable aléatoire vectorielle réelle ; si X = Cn, on dit que x est un vecteur aléatoire complexe, ou une variable aléatoire vectorielle

complexe. Enfin, si X se réduit au corps K lui-même, on dit que x est une variable aléatoire réelle scalaire (vars) si K = R ou une variable aléatoire complexe scalaire si K = C. En pratique, on identifie le corps C à R2, muni de sa tribu borélienne B(R2) ; (g) en particulier, x est une variable aléatoire matricielle, ou matrice aléatoire, ssi X = Mmn (K) (espace vectoriel des matrices de format (m,n), où K est un corps donné). (iii) Lorsque (W , T) est muni d'une mesure de probabilité définie sur T, l'espace probabilisé (W , T, P) devient, par x , un espace probabilisé (X, B, Px ), ou Px est, par définition, la loi

de probabilité de x (ie l’image de P par x ). Dans ce cas, les qualificatifs précédents sont utilisés en considérant le support Supp Px de la loi de x , et non pas l'ensemble x (W) Ì X des valeurs possibles de x , ie son image Im x (image de W par x ). (iv) On peut noter que : (a) souvent, en pratique, on suppose que (X, B) = (W , T) et que x = idW (identification de l’espace fondamental de départ et de l’espace d’observation image) ; (b) la notion de variable aléatoire est indépendante du fait que l'espace probabilisable (W , T) est muni d'une probabilité. Cependant, on considère parfois l'espace probabilisé (W , T, P) et l'ensemble M (W, T) des applications mesurables (va au sens précédent) pour définir une relation d'équivalence suivante sur M (W, T) : (2)

x ~h Û

x = h (P - p.s.).

On appelle alors variable aléatoire tout élément de l'espace quotient M (W , T) =M (W , T) / ~, constitué des classes de va (au sens précédent) qui sont P-presque sûrement égales entre elles. Par suite, les concepts usuels (espérance mathématique, moment, mode, quantile, etc) sont définis à partir d'éléments de M (W , T) ; (c) le concept de variable aléatoire est très général. En particulier, il généralise celui d'événement aléatoire. En effet, la variable aléatoire 1A (variable indicatrice de l'événement A Î W ) est une vars particulière, puisqu'elle prend ses valeurs dans [0,1] Ì R (cf aussi fonction indicatrice). (d) une variable aléatoire peut être observable (ou « visible ») ou non observable (ou « invisible »). Il arrive souvent qu’une théorie (ou un modèle), dans sa forme initiale, relie des variables observables à des variables inobservables en sorte que, dans sa forme finale, seules les variables observables apparaissent afin de permettre une inférence statistique. Ainsi, on est amené à distinguer (eg en psychologie) entre « variables manifestes » et « variables latentes ». (v) On donne souvent à une variable aléatoire le nom de sa loi de probabilité : ainsi, on parle de variable uniforme (dont la loi est uniforme, discrète ou continue), de variable binômiale (dont la loi est la loi binômiale), de variable de POISSON(dont la loi est la loi de POISSON), de variable normale ou de variable gaussienne (dont la loi est la loi normale ou loi gaussienne), etc.

(vi) La notion de variable aléatoire est généralement associée à celle d'espace probabilisable (ou d'espace probabilisé). Elle se généralise en celle de statistique, laquelle est associée à la notion de modèle statistique, ou de représentation statistique, ie de famille d’espaces probabilisés. (vii) La notion de va est très générale, de même que celle de statistique (qui s'en déduit). Ainsi, une va peut prendre ses valeurs dans un ensemble X de nature très variée, eg : (a) un ensemble de matrices ou de tableaux statistiques ; (b) un ensemble de graphes : on parle alors de graphes aléatoires ; (c) un ensemble de « réseaux » ; (d) un ensemble d'histogrammes ; (e) un ensemble de figures géométriques : graphiques, diagrammes, cercles, triangles, etc (cf probabilité géométrique). Ces « valeurs » (éléments de X) sont donc obtenues par une transformation des données initiales (l'échantillon) (cf aussi changement de variable aléatoire) : « tabulation » (ie agrégation), groupement de données en classes (cf groupement de classes), « représentation » graphique, etc (cf aussi disposition).

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