Variables aléatoires 1. Une urne contient b > 0

PC*

Variables aléatoires

2014 − 2015

1. Une urne contient b > 0 boules blanches et n > 0 boules noires. On eectue N = a + b tirages successifs d'une boule dans l'urne sans remise. On supposera que ces tirages sont indépendants et qu'à chaque tirage il y a équiprobabilité de tirage pour chacune des boules restantes. Un tirage global est le résultat de ces N tirages. (a) Quel univers associer à cette expérience aléatoire ? S'il est ni, quel est son cardinal ? P(Ω) est-il une tribu ? (b) On considère l'événement A ="les b boules blanches sont tirées en premier". Quelle est la probabilité de A ? (c) On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage global associe le rang du premier tirage où l'on obtient une boule blanche. Préciser X(Ω). Préciser les événements [X = 1], [X = 2] et leur probabilité. (d) Donner la loi de X . Donner l'expression de son espérance. 2. Une urne contient b > 0 boules blanches et n > 0 boules noires. On eectue une suite de tirages avec remise (suite supposée innie). (a) Quel univers associer à cette expérience aléatoire ? Est-il dénombrable ? (b) On note X la variable aléatoire égale au numéro du tirage donnant la première boule blanche. On conviendra que si ω est le tirage qui ne donne que des boules noires , X(ω) = −1. Préciser X(Ω). (c) On admet que X est une variable aléatoire pour une certaine tribu A. Préciser la loi de X et son espérance. (d) On note Y la variable aléatoire égale au numéro du tirage corresondant à la deuxième boule blanche tirée. Soit k ∈ N∗ . Préciser la loi de Y sachant X = k . Quelle est la loi de Y ? 3. Une entreprise pharmaceutique décide de faire des économies sur les tarifs aranchissements des courriers publicitaires à envoyer aux clients. Pour cela, elle décide d'aranchir, au hasard, une proportion de 3 lettres sur 5 au tarif urgent, les autres au tarif normal. (a) Quatre lettres sont envoyées dans un cabinet médical de quatre médecins : quelle est la probabilité des événements : A :  Au moins l'un d'entre eux reçoit une lettre au tarif urgent . B :  Exactement 2 médecins sur les quatre reçoivent une lettre au tarif urgent . (b) Soit X la variable aléatoire :  nombre de lettres aranchies au tarif urgent parmi 10 lettres  : Quelle est la loi de probabilité de X , quelle est son espérance, quelle est sa variance ? 4. Un avion peut accueillir 20 personnes ; des statistiques montrent que 25% clients ayant réservé ne viennent pas. Soit X la variable aléatoire :  nombre de clients qui viennent après réservation parmi 20 . Quelle est la loi de X ? (on ne donnera que la forme générale) quelle est son espérance, son écart-type ? Quelle est la probabilité pour que X soit égal à 15 ?

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2014 − 2015

5. Dans une poste d'un petit village, on remarque qu'entre 10 heures et 11 heures, la probabilité pour que deux personnes entrent durant la même minute est considérée comme nulle et que l'arrivée des personnes est indépendante de la minute considérée. On a observé que la probabilité pour qu'une personne se présente entre la minute n et la minute n + 1 est : p = 0, 1. On veut calculer la probabilité pour que : 3,4,5,6,7,8... personnes se présentent au guichet entre 10 h et 11 h. (a) Dénir une variable aléatoire adaptée, puis répondre au problème considéré. (b) Quelle est la probabilité pour que au moins 10 personnes se présentent au guichet entre 10h et 11h ? 6. Soit N ∈ N∗ et n ∈ N∗ . On considère N + 1 urnes numérotées de 0 à N , l'urne numérotée k contient k boules rouges et N − k blanches. On choisit au hasard une urne et on tire avec remise dans cette urne. (a) Quelle est la probabilité de tirer une boule rouge au (n + 1)ème tirage, sachant que lors des n premiers tirages, on a obtenu une rouge à chaque fois ? (b) Calculer la limite de cette probabilité quand n tend vers l'inni, quand N tend vers l'inni. 7. Soit X ,→ P (λ) et Z = X! . Calculer E(Z ). Soit X( une variable aléatoire suivant une ) loi de Poisson de paramètre(λ. Calcu) ( ) ler E

1 X +1

puis E

1 (X + 1)(X + 2)

puis en cas d'existence E

1 . X +2

8. Pair-impair. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson de paramètre λ. Montrer que : P ([X est impair]) < P ([X est pair]). 9. Un sauteur en hauteur participe à un concours. La barre est successivement mise à des hauteurs numérotées 1, 2, . . . , n, . . . et l'on fait les hypothèses suivantes : ◦ Le sauteur est éliminé dès son premier échec. ◦ Si le sauteur franchit la hauteur n − 1, la probabilité qu'il franchisse 1 la hauteur n vaut qn = et la probabilité que le sauteur franchisse la n hauteur 1 vaut q1 = 1. Nous noterons : En : l'événement " Le sauteur franchit la hauteur n". X est la variable aléatoire égale au numéro du dernier essai réussi ou bien égale à +∞ si le sauteur ne rate jamais. Justier pour tout entier au moins égal à 2, l'égalité : E1 ∩ E2 · · · ∩ En = En . Préciser les valeurs de P (E1 ), de P (E2 ) et P (E3 ). En déduire pour tout n ∈ N∗ , la valeur de P (X = n). Montrer que X est une v.a presque surement à valeurs dans N∗ , en d'autres termes que P (X = +∞) = 0. Montrer que l'espérance de cette variable aléatoire X vaut : E(X) = e − 1 et que sa variance vaut V (X) = 3e − e2 .