variables aleatoires

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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variables aléatoires

Table des matières 1

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2 2 2 2 3 3 5 6 7 8

répétition d’expériences identiques et indépendantes 2.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 corrigés activités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 corrigé activité 3 . . . . . . . . . . . . . . 2.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 11 11 11 12 13 13 14 15 16 17 18

3

devoirs maison 3.1 devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20 20 21 23

4

tp 4.1 4.2 4.3 4.4

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25 26 28 30 32

5

évaluations 5.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34 34 37

6

exercices bac et autres

44

2

généralités sur les variables aléatoires 1.1 activités . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . 1.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . 1.2 corrigés activités . . . . . . . . . . 1.2.1 corrigé activité 1 . . . . . 1.2.2 corrigé activité 2 . . . . . 1.3 a retenir . . . . . . . . . . . . . . 1.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 corrigés exercices . . . . . . . . . .

tp1 . . . . . corrigé tp1 . tp2 . . . . . corrigé tp2 .

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1

généralités sur les variables aléatoires

1.1 1.1.1

activités 10

activité 1

0

1

activité : (notion de variable aléatoire)

5

5

un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée le prix à payer pour une partie est de 2 euros le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euros on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie on dit que X est une variable aléatoire

0

0 5

1

0

1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X 2. déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X (consigner les résultats dans un tableau) 3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)

X 4. déterminer E(X) l’espérance de X donnée par : E(X) = p i xi où les xi sont les valeurs possibles pour X et pi les probabilités respectivement associées. interpréter cette valeur. 5. déterminer type σ(X) de X donnés par : X la variance V (X) et l’écart p et σ(X) = V (X) V (X) = pi x2i − E(X)2 6. le jeu est à gain positif si E(X) > 0, qu’en est-il de ce jeu ? est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ? 7. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.

1.1.2

activité 2 activité : loi de probabilité un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées de 1 à 4. A chaque résultat on associe la somme X des deux scores. Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant. Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5. Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ? (a) déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X (b) déterminer les probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X et consigner les résultats dans un tableau. (on pourra s’aider d’un arbre, ou d’un tableau double entrée pour répertorier tous les cas possibles) (c) répondre à la question ci dessus (d) calculer l’espérance de X

1.2

corrigés activités

1.2.1

10

corrigé activité 1

0

1

corrigé activité : (notion de variable aléatoire)

5

5

un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée le prix à payer pour une partie est de 2 euros le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie on dit que X est une variable aléatoire

0

0 5

1

0

posons :      R = rapport du jeu , C = coût du jeu et X = R − C = gain du jeu       10    5 1. valeurs possible pour R : 1    0  10 − 2 = 8      5−2=3 valeurs possible pour X : soit : X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}   1 − 2 = −1    0 − 2 = −2 2. valeurs des probabilités associées aux valeurs de X :  1 nb cas f avorables  p(X = 8) = p(R = 10) = =    10 cas total       3     p(X = 3) = p(R = 5) = 10   2   p(X = −1) = p(R = 1) =   10         p(X = −2) = p(R = 0) = 4 10

le tableau de la loi de probabilité de X est : valeurs possibles de X : xi

-2

-1

3

8

total

probabilités : pi

4 = 0, 4 10

2 = 0, 2 10

3 = 0, 3 10

1 = 0, 1 10

1



3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6 

p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4 







ou bien 



p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 1 − 0, 6 = 0, 4





 

4. E(X) =

X

p i xi 

E(X) = 0, 4 × (−2) + 0, 2 × (−1) + 0, 3 × 3 + 0, 1 × 8 = 0, 7 







ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie



5. V (X) =

X

pi x2i − E(X)2







V (X) = 0, 4 × (−2)2 + 0, 2 × (−1)2 + 0, 3 × 32 + 0, 1 × 82 − 0, 72 = 10, 41 

σ(X) =

p

σ(X) =





 

V (X) 

10, 41 ≃ 3, 22 











6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne     en moyenne 0,7 euros. 7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle. E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0 ⇐⇒ −0, 4y + 0, 2 − 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1 − 0, 1y = 0 ⇐⇒ −y + 2, 7 = 0 ⇐⇒ y = 2, 7



le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle







1.2.2

corrigé activité 2

corrigé activité : loi de probabilité un jeu consiste à jeter deux dés bien équilibrés à quatre faces dont les faces sont numérotées de 1 à 4. A chaque résultat on associe la somme X des deux scores. Celui qui devine la somme des deux score à l’avance gagne le nombre d’euros correspondant. Ael choisit 4 pour total et Léa choisit 5. Laquelle des deux a le plus de chances de gagner ? (a) ensemble des valeurs possibles pour X : comme on répète deux fois la même expérience aléatoire, on utilise un arbre de dénombrement pour visualiser les résultats possibles 1 : X=2 2 : X=3 3 : X=4 4 : X=5 1 : X=3 2 2 : X=4 3 : X=5   4 : X = 6 on a donc X ∈ {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}   1 : X=4 3 2 : X=5 3 : X=6 4 : X=7 1 : X=5 4 2 : X=6 3 : X=7 4 : X=8 (b) probabilités associées respectivement aux valeurs possibles de X et résultats dans un tableau. b

1

b

b

b b b b

b

b b

b

b b

b

b b b b

b

b b

le tableau de la loi de probabilité de X est : valeurs possibles de X : xi

2

3

4

5

6

7

8

total

probabilités : pi

1 16

2 16

3 16

4 16

3 16

2 7

1 16

16 =1 16

(c) répondre à la question ci dessus :

3 = 0, 1875 = 18, 75% 16 4 probabilité que Léa gagne : P (X = 5) = = 0, 25 = 25% 16   donc Léa a plus de chances de gagner que Ael (25% > 18, 75%) probabilité que Ael gagne : P (X = 4) =



(d) espérance de X : E(X) = E(X) = 

X

p i xi

 1 2 3 4 3 2 1 80 ×2+ ×3+ ×4+ ×5+ ×6+ ×7+ ×8= = 5  16 16 16 16 16 16 16 16

ceci signifie qu’en moyenne la somme des deux scores est de 5









1.3

a retenir définition 1 Soit un univers de probabilité fini U = {w1 ; w2 ; ...; wn } (n ≥ 1) sur lequel est défini une probabilité p (chaque "résultat" wi a une probabilité p(wi ) de se produire) Soit X une fonction qui à chaque élément wi de U associe un nombre réel xi On dit que X est une variable aléatoire (réelle) qui prend r valeurs avecr ≤ n  Pour tout xi avec 1 ≤ i ≤ r on pose p(xi ) = p(cas de U f avorables pour xi )   et on définit ainsi une loi de probabilité que l’on consigne en général dans un tableau. valeurs possibles de X : xi probabilités : pi

x1 p1

x2 p2

... ...

xr pr

total 1

exemple : R

U on lance une pièce de monnaie équilibrée si on fait "pile" alors on gagne 1e pile si on fait "face" alors on perd 1 e on a alors : U = {pile; f ace} face soit X la fonction telle que : X : pile 7−→ 1 et X : f ace 7−→ −1 la loi de probabilité de X est donnée par le tableau ci dessous valeurs possibles de X : xi −1 1 total probabilités : pi 0, 5 0, 5 1

1 -1

propriété 1 Soit X une variable aléatoire réelle de loi de probabilité donnée par le tableau suivant valeurs possibles de X : xi probabilités : pi

x1 p1

x2 p2

... ...

xr pr

total 1

(1) L’espérance (ou valeur moyenne) de X est le nombre réel noté E(X) 

tel que : E(X) = 

i=r X



p i xi 

i=1

(2) La variance de X est le nombre réel noté V (X) 

tel que : V (X) = 

i=r X i=1



pi x2i − (E(X))2 ou V (X) = 

i=r X i=1



pi (xi − E(X))2



(3) l’écart type de X est le nombre réel noté σ(X) 

tel que : σ(X) = 

p

V (X)

 

Remarques : (a) on a les mêmes formules qu’en statistiques pour la moyenne, la variance et l’écart type.

1.4

exercices exercice 1 : une question d’un Q.C.M. de sujetde bac propose 3 réponses dont une seule est la bonne  la bonne réponse rapporte 1 point réponse1 réponse2 réponse3 une mauvaise réponse enlève 0, 25 points  sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point un candidat choisit de s’en remettre au hasard on considère que les probabilités qu’il choisisse une des trois réponses proposées ou qu’il ne réponde pas soient les mêmes (et que leur somme vaut 1) Soit X le nombre de points qu’obtient le candidat pour cette question 1. (a) déterminer les valeurs possibles pour X (b) déterminer la loi de probabilité de X (à consigner dans un tableau) (c) déterminer E(X) et interpréter cette valeur 2. déterminer E(X) dans le cas où 5 réponses sont proposées et interpréter le résultat exercice 2 : un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée le prix à payer pour une partie est de C = 3 e le jeu rapporte le montant R indiqué par la roue en euros on pose : gain = X = R − C

40

0 1

0

5

2 0

1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X

2 5

0 2

2. déterminer la loi de probabilité de X (consigner les résultats dans un tableau)

0

3. (a) déterminer p(X ≥ 3) et p(X < 3)

(b) quelle est la probabilité de recevoir plus que ce que l’on a payé pour jouer ? (c) peut-on en déduire si le jeu est au bénéfice du joueur ou de l’organisateur ?

4. (a) déterminer E(X) et interpréter cette valeur (b) ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ? (justifier) (c) déterminer le prix de la partie pour que le jeu soit "équitable" exercice 3 : un jeu consiste à laisser tomber une bille dans une "planche de Galton" le coût pour jouer est de C = 3e on considère qu’à chaque impact, la bille a la même probabilité de tomber à droite qu’à gauche on considère que la bille va nécessairement se retrouver dans une des 4 cases du bas le jeu rapporte la somme R indiquée par la case 1. soit X le nombre de fois ou la bille est tombée à gauche déterminer le tableau de la loi de probabilité de X (on pourra utiliser un arbre) 2. (a) soit Y ce que rapporte le jeu (Y = R) compléter les correspondances ci dessous : Y = 6 ⇐⇒ X = ... Y = 1 ⇐⇒ X = ... Y = 2 ⇐⇒ X = ... Y = 5 ⇐⇒ X = ...

(b) déduire des résultats ci dessus le loi de probabilité de Y (c) en déduire E(Y ) et interpréter le résultat (d) à partir de quel prix le jeu est-il favorable au joueur ?

6e

1e

2e 5e

1.5

corrigés exercices corrigé exercice 1 : une question d’un Q.C.M. de sujetde bac propose 3 réponses dont une seule est la bonne  la bonne réponse rapporte 1 point réponse1 réponse2 réponse3 une mauvaise réponse enlève 0, 25 points  sans réponse ne rapporte ni n’enlève aucun point un candidat choisit de s’en remettre au hasard on considère que les probabilités qu’il choisisse une des trois réponses proposées ou qu’il ne réponde pas soient les mêmes (et que leur somme vaut 1) Soit X le nombre de points qu’obtient le candidat pour cette question 

1. (a) X ∈ {−0, 25; 0; 1} 





(b) loi de probabilité de X (tableau) valeurs possibles de X : xi −0, 25 2 probabilités : pi 4

1 total 1 1 4 2 par exemple : p(X = −0, 25) = p(f aux) = car deux réponses sont fausses parmi 4 4 choix possibles de l’élève ( 4 = 3 + 1, il ne pas oublier le cas où il ne répond pas) 0 1 4

  P 1 1 2 (c) E(X) = pi xi = × (−0, 25) + × 0 + × 1 = 0, 125   4 4 4 un élève qui répond au hasard, obtient en moyenne 0, 125 points à la question

2. E(X) dans le cas où 5 réponses sont proposées et interpréter le résultat E(X) =

P

p i xi =

 1 1 4 × (−0, 25) + × 0 + × 1 = 0  6 6 6

un élève qui répond au hasard, obtient en moyenne 0 points à la question

corrigé exercice 2 : un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée le prix à payer pour une partie est de C = 3 e le jeu rapporte le montant R indiqué par la roue en euros on pose : gain = X = R − C

40

1

2

5

0

2

1. ensemble des valeurs   possibles pour X : R ∈ {0; 1; 2; 5; 40} 

0

0

5

0 2



0

donc 

X ∈ {−3; −2; −1; 2; 37}







2. loi de probabilité de X (tableau) valeurs possibles de X : xi −3 −2 5 1 probabilités : pi 12 12 



−1 3 12

2 2 12

1 3. (a) p(X ≥ 3) = p(X = 37) = 12 

37 1 12



total 1



12 1 1 11 = − = p(X < 3) = 1 − p(X ≥ −3) = 1 − 12 12 12 12 

(b) la probabilité de recevoir plus que ce que l’on a payé pour jouer , c’est à dire p(R > 3)   2 1 3 est de p(R > 3) = p(R = 5) + p(R = 40) = + = = 25%  12 12 12 (c) il semble alors que le jeu soit à l’avantage de l’organisateur, mais, pour le savoir il faut calculer l’espérance du gain. 4. (a) E(X) =

P

p i xi = 

  1 3 2 1 21 5 × (−3) + × (−2) + × (−1) + ×2+ × 37 = = 1, 75 e   12 12 12 12 12 12 



(b) ce jeu est plus favorable au joueur car en moyenne le joueur gagne 1, 75 e 





(c) le jeu soit "équitable" si E(X) = 0,   ce qui se produit si le prix de la partie est de 3 + 1, 75 = 4, 75 e 



on peut retrouver cette valeur en résolvant l’équation suivante : 1 3 2 1 5 × (0 − x) + × (1 − x) + × (2 − x) + × (5 − x) + × (40 − x) = 0 12 12 12 12 12 57 −x=0 12 x=

  57 = 4, 75   12

 

corrigé exercice 3 : un jeu consiste à laisser tomber une bille dans une "planche de Galton" le coût pour jouer est de C = 3e on considère qu’à chaque impact, la bille a la même probabilité de tomber à droite qu’à gauche on considère que la bille va nécessairement se retrouver dans une des 4 cases du bas le jeu rapporte la somme R indiquée par la case

il y a 8 issues possibles 1 p(X = 3) = 8 3 p(X = 2) = 8 3 p(X = 1) = 8 1 p(X = 0) = 8

1e

2e 5e X =0

6e

X =1



X ∈ {0; 1; 2; 3}   (pour déterminer les probabilités on utilise un arbre)

X =2



X =3

1. soit X le nombre de fois ou la bille est tombée à gauche déterminer le tableau de la loi de probabilité de X

G

X=3

G

X=2

G G G

X=2

G G

X=1

G

X=2

G

X=1

G

X=1

G d’où le tableau de loi de probabilité suivant valeurs possibles de X : xi probabilités : pi

0 1 8

1 3 8

2 3 8

3 1 8

total

G

1

G G

2. (a) soit Y le rapport du jeu (Y = R) on a donc ci dessous : Y Y Y Y

= 6 ⇐⇒ X = 1 ⇐⇒ X = 2 ⇐⇒ X = 5 ⇐⇒ X

=3 =2 =1 =0

(b) d’où le tableau de loi de probabilité suivant pour Y valeurs possibles de Y : yi 5 2 1 6 total 1 3 3 1 probabilités : pi 1 8 8 8 8   P 3 3 1 20 1 = 2, 5 e (c) on a alors E(Y ) = pi yi = × 5 + × 2 + × 1 + × 6 =   8 8 8 8 8 

ce qui signifie que le rapport moyen est de 2, 5 e 







(d) à partir de quel prix le jeu est-il favorable au joueur ? : 2, 5 e 





X=0

2

répétition d’expériences identiques et indépendantes

2.1 2.1.1

activités activité 1 Une étude statistique a montré que, dans un petit centre hospitalier, pour chaque journée : la probabilité d’avoir deux urgences est de 20% la probabilité d’avoir une urgence est de 70% la probabilité de n’avoir aucune urgence est de 10% un médecin est de service aux urgences pendant deux jours, on s’intéresse au nombre X d’urgences qu’est susceptible de traiter ce médecin durant son remplacement de deux jours on suppose de plus que les nombres d’urgences d’un jour à l’autre sont indépendantes 1. compléter l’arbre pondéré suivant b

...

deux b

×0, 2

... b

une : X = ... b

aucune : X = ...

...

deux : X = ... b

... b

une

...

b

... b

une : X = ... b

aucune : X = ...

... ...

deux : X = ...

b

...

aucune ...

deux : X = ...

b

une : X = ... b

aucune : X = ...

b

...

2. en déduire les valeurs possibles pour X 3. justifier que p(X = 3) = 0, 28 4. déterminer en détaillant les calculs les probabilités p(X = 0), p(X = 1), p(X = 2), p(X = 4) 5. en déduire la loi de probabilité de X (donner un tableau) 6. déterminer la probabilité qu’il traite au moins une urgence 7. donner le nombre moyen d’urgences qu’est susceptible de traiter le médecin (arrondir à l’entier le plus proche)

2.1.2

activité 2 on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à D on s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers 1. donner les valeurs possible pour X 2. construire un arbre pondéré et déterminer la loi de probabilité de X 3. déterminer p(X ≥ 1) et interpréter le résultat 4. déterminer E(X) et interpréter le résultat

5. montrer que pour n lancers on a p(X ≥ 1) = 1 − 0, 75n et en déduire le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois la lettre A soit d’au moins 99%

2.1.3

activité 3 un certain Q.C.M. comporte uniquement deux questions – une bonne réponse rapporte 1 point – une mauvaise réponse enlève 1 point – une question laissée sans réponse n’enlève ni n’ajoute aucun point pour un certain élève E : – E trouve la bonne réponse (BR) dans 80% des cas – E se trompe (F ) dans 15% des cas – E ne répond pas (SR) pour le reste des cas on considère que les réponses proposées par E sont indépendantes soit X le nombre de points obtenu suite aux deux questions 1. compléter l’arbre pondéré ci dessous BR :

X = ...

b

SR :

X = ...

b

F :

b

...

BR b

×0, 8

... ...

BR :

X = ...

b

SR :

X = ...

b

F :

b

... b

...

SR b

X = ...

... ...

...

BR :

X = ...

b

SR :

X = ...

b

F :

b

...

F b

X = ...

... ...

X = ...

2. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X 3. déterminer la loi de probabilité de X 4. quelle est la probabilité que E obtienne au moins un point ? 5. combien de points peut espérer avoir un élève comme E ?

2.2 2.2.1

corrigés activités corrigé activité 1 la probabilité d’avoir deux urgences est de 20% la probabilité d’avoir une urgence est de 70% la probabilité de n’avoir aucune urgence est de 10% un médecin est de service aux urgences pendant deux jours, on s’intéresse au nombre X d’urgences qu’est susceptible de traiter ce médecin durant son remplacement de deux jours on suppose de plus que les nombres d’urgences d’un jour à l’autre sont indépendantes 1. arbre pondéré : ×0, 2

deux : X = 2 + 2 = 4 b

deux ×0, 7 b

une : X = 2 + 1 = 3 b

aucune : X = 2 + 0 = 2

b

×0, 2

×0, 1 ×0, 2

b

deux : X = 3 b

×0, 7 une ×0, 7 b

une : X = 2 b

aucune : X = 1

b

×0, 1 ×0, 2

×0, 1

deux : X = 2 b

aucune×0, 7 b

une : X = 1 b

aucune : X = 0

b



2. X ∈ {0; 1; 2; 3; 4} 

×0, 1

 



3. p(X = 3) = p(deux et une) + p(une et deux) = 0, 2 × 0, 7 + 0, 7 × 0, 2 = 0, 14 + 0, 14 = 0, 28 

4. p(X = 0) = p(aucune et aucune) = 0, 1 × 0, 1 = 0, 01 







 

 

p(X = 1) = 0, 7 × 0, 1 + 0, 1 × 0, 7 = 0, 14   p(X = 2) = p(deux et aucune) + p(une et une) +p(aucune et deux)  p(X = 2) = 0, 2 × 0, 1 + 0, 7 × 0, 7 + 0, 1 × 0, 2 = 0, 53 



p(X = 4) = p(deux et deux) = 0, 2 × 0, 2 = 0, 04 





5. on en déduit la loi de probabilité de X (tableau) valeurs possibles de X : xi 0 1 2 3 probabilités : pi

0, 01

0, 14

0, 53

0, 28

4

total

0, 04

1

6. probabilité qu’il traite au moins une urgence 



p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 01 = 0, 99   ou bien   p(X ≥ 1) = p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) + p(X = 4) = 0, 14 + 0, 53 + 0, 28 + 0, 04 = 0, 99 



7. nombre moyen d’urgences qu’est susceptible de traiter le médecin (arrondir à l’entier le plus proche) E(X) =

P



pi xi = 0, 01 × 1 + 0, 14 × 1 + 0, 53 × 2 + 0, 28 × 3 + 0, 04 × 4 = 2, 2 soit 2 urgences 





2.2.2

corrigé activité 2 on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à D on s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers 

1. X ∈ {0; 1; 2; 3} 





2. arbre pondéré et la loi de probabilité de X 0,25

A

X=3

: 0, 253

0,75 A

X=2

: 0, 252 × 0, 75

A

0,25

0,25

A

0,75 0,25

A

X=2

A 0,75 A 0,25

A

X=2

0,75 A

X =1

0,25

A

X=1

0,75 A

X=0

: 0, 25 × 0, 752

A

0,25 0,75

A

X=1

0,75

A : 0, 753

p(X = 0) = 0, 753 ≈ 0, 42 p(X = 1) = 3 × 0, 251 × 0, 752 ≈ 0, 42 p(X = 2) = 3 × 0, 252 × 0, 75 ≈ 0, 14 p(X = 3) = 0, 253 ≈ 0, 02 3. p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578 la probabilité d’avoir au moins une fois la face A est d’environs 58% P 4. E(X)= pi xi ≃ 0, 42 × 0 + 0, 42 × 1 +  0, 14 × 2 + 0, 02 × 3 ≃ 0, 75 soit 0, 75 fois la face A en moyenne 



5. pour n lancers on a : p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 75n le nombre minimal de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois la lettre A soit d’au moins 99% vérifie l’inéquation : 1 − 0, 75n ≥ 0, 99 on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 17 valeur de n 16 17 valeur de 1 − 0, 75n 0, 989 0, 992

2.2.3

corrigé activité 3

1. arbre pondéré b

BR :

X = 1+1 = 2

b

SR :

X =1+0=1

×0, 8

BR ×0, 15 b

×0, 8

×0, 05 ×0, 8

b

F : b

b

×0, 15 SR ×0, 15 b

b

×0, 05

F b

×0, 15

×0, 05 

2. X ∈ {−2; −1; 0; 1; 2} 

BR :

X=1

SR :

X=0

F :

×0, 05 b

×0, 8

X = 1 + (−1) = 0

b

b

b

X = −1

BR :

X=0

SR :

X = −1

F :

X = −2





3. loi de probabilité de X   p(X = 2) = p(BR ∩ BR) = 0, 8 × 0, 8 = 0, 64 = 64% 





p(X = 1) = p(BR ∩ SR) + p(SR ∩ BR) = 0, 8 × 0, 15 + 0, 15 × 0, 8 = 0, 12 + 0, 12 = 24%  p(X = 0) = p(BR ∩ F ) + p(SR ∩ SR) + p(F ∩ BR)   p(X = 0) = 0, 8 × 0, 05 + 0, 15 × 0, 15 + 0, 05 × 0, 8 = 10, 25% 





p(X = −1) = p(SR ∩ F ) + p(F ∩ SR) = 0, 15 × 0, 05 + 0, 05 × 0, 15 = 1, 5% 

p(X = −2) = p(F ∩ F ) = 0, 05 × 0, 05 = 0, 25% 







valeurs possibles de X : xi

−2

−1

0

1

2

total

probabilités : pi

0, 0025

0, 015

0, 1025

0, 24

0, 64

1

 

4. probabilité que E obtienne au moins un point  p(X ≥ 1) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 24 + 0, 64 = 0, 88 



5. nombre P de points peut espérer avoir un élève comme E   E(X) = pi xi = 0, 0025 × (−2) + 0, 015 × (−1) + 0, 1025 × 0 + 0, 24 × 1 + 0, 64 × 2 = 1, 5 points 



2.3

à retenir propriété 2 soit une expérience aléatoire E dont l’univers des résultats possibles est U = {x1 ; x2 ; x3 } et où les événements x1 , x2 , x3 ont pour probabilités respectives p1 , p2 , p3 . soit une expérience aléatoire F composée d’une succession de 2 répétitions "identiques" et "indépendantes" de l’expériences aléatoires E. l’ensemble des résultats possibles de F ainsi que les probabilités de chacun des résultats possibles sont en correspondance avec un arbre pondéré comme ci dessous x1

p(x1 ∩ x1 ) = p1 × p1

b

x2

p(x1 ∩ x2 ) = p1 × p2

b

x3

p(x1 ∩ x3 ) = p1 × p3

x1

p(x2 ∩ x1 ) = p2 × p1

b

x2

p(x2 ∩ x2 ) = p2 × p2

b

x3

p(x2 ∩ x3 ) = p2 × p3

x1

p(x3 ∩ x1 ) = p3 × p1

b

x2

p(x3 ∩ x2 ) = p3 × p2

b

x3

p(x3 ∩ x3 ) = p3 × p3

×p1

x1 b

×p1

×p2

b

×p3 ×p1

b

x2

×p2

b

×p2

b

×p3 ×p1

×p3

x3 b

×p2 ×p3



b

1. la somme des probabilités des branches qui partent d’un noeud vaut p1 + p2 + p3 = 1 

2.  la probabilité d’un des événements x1 ∩ x1 , x1 ∩ x2 , ..., x3 ∩ x3 , est égale  au produit des probabilités des branches suivies pour arriver à cet événement   p(x1 ∩ x1 ) = p1 × p1 , ... , p(x3 ∩ x3 ) = p3 × p3 remarques : i. on généralise cette propriété au cas où on répète avec indépendance, un nombre fini quelconque de fois la même expérience aléatoire ayant un nombre fini de résultats ii. "indépendantes" signifie intuitivement que le résultat d’une quelconque des expériences aléatoire n’a aucune influence sur les résultats des autres expériences iii. on généralise cette propriété au cas d’une succession d’expériences aléatoires non identiques et indépendantes ayant chacune un nombre fini de résultats possibles exemple : on lance deux fois une pièce de monnaie non équilibrée avec indépendance P ×0, 8

×0, 8 b

b

×0, 2 b

F ×0, 2

P

p(P ∩ P ) = 0, 8 × 0, 8 = 0, 64

F

p(P ∩ F ) = 0, 8 × 0, 2 = 0, 16

P

p(F ∩ P ) = 0, 2 × 0, 8 = 0, 16

F

p(F ∩ F ) = 0, 2 × 0, 2 = 0, 04

b

×0, 8 b

b

×0, 2

b





2.4

exercices exercice 4 : un comité d’entreprise choisit le train comme moyen de transport pour les employés inscrits à un voyage, deux formules sont proposées : • la formule no 1 : voyage en 1ère classe plus hôtel pour un coût total de 150 e ; • la formule no 2 : voyage en 2e classe plus hôtel pour un coût total de 100 e. 40 % des employés inscrits choisissent la formule no 1. Le comité d’entreprise propose une excursion facultative pour un coût de 30 e. 80 % des employés ayant choisit la formule no 1 choisissent l’excursion facultative, de même pour ceux ayant choisit la formule no 2. On interroge au hasard un employé inscrit à ce voyage. On note : • U l’évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 1 » ; • D l’ évènement : « l’employé inscrit choisit la formule no 2 » ; • E l’ évènement : « l’employé inscrit choisit l’excursion facultative ». 1. Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation. 2. Montrer que la probabilité que l’employé inscrit choisisse la formule no 2 et l’excursion facultative est égale à 0, 48. 3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise). (a) Déterminer les différentes valeurs possibles que peut prendre C. (b) Déterminer la loi de probabilité de C. (c) Calculer l’espérance de cette loi. Interpréter le résultat. 4. au retour du voyage, un robot envoie au hasard un courriel à l’un des employés pour lui demander s’il est satisfait du voyage, puis le robot recommence une deuxième fois (on peut retomber sur le même employé ) Soit X le nombre de fois où l’on est tombé sur un employé ayant choisit la formule no 1 (a) quelle est la probabilité que l’on soit tombé deux fois sur un employé qui a choisit la formule no 1 ? (construire un arbre) (b) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui a choisit la formule no 2 ? (c) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui a choisit la formule no 2 ? si on a envoyé 3 courriels ? (d) combien faut-il envoyer de courriels pour tomber au moins une fois sur un employé qui a choisit la formule no 2 avec une probabilité d’au moins 99% ? exercice 5 : une urne contient 8 billes vertes et x rouges on tire au hasard deux billes dans l’urne avec remise, on considère que les tirages sont indépendants 1. calculer la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes (a) si x = 2 (b) si x = 32 2. combien faut-il mettre de billes rouges dans l’urne pour que la probabilité que le tirage ci dessus donne deux billes de couleurs différentes avec une probabilité de 75% ? 3. en utilisant la calculatrice, conjecturer la valeur de x qui semble maximiser la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes et donner cette probabilité

2.5

corrigés exercices corrigé exercice 4 : 1. arbre de probabilités U ×0, 4

×0, 8 b

E

C = 150 + 30 = 180 e

E

C = 150 + 0 = 150e

E

C = 100 + 30 = 130e

E

C = 100 + 0 = 100e

b

b

×0, 2 b

D ×0, 6

×0, 8 b

b

b

×0, 2

2. p(D ∩ E) = 0, 6 × 0, 8 = 0, 48 3. Soit C le coût total du voyage (excursion comprise). (a) C ∈ {100; 130; 150; 180} (b) loi de probabilité de C valeurs possibles de C : xi probabilités : pi

100

130

150

180

total

0, 6 × 0, 2 = 0, 12

0, 48

0, 08

0, 4 × 0, 8 = 0, 32

1

(c) espérance de cette loi et interprétation   P E(X) = pi xi = 0, 12 × 100 + 0, 48 × 130 + 0, 08 × 150 + 0, 32 × 180 = 144 e  le coût moyen du voyage est de 144 e 4. X le nombre de fois où l’on est tombé sur un employé ayant choisit la formule no 1 (a) p(X = 2) = 0, 4 × 0, 4 = 0, 16 U ×0, 4

×0, 4 b

b

×0, 8 b

D ×0, 6

U

X=2

D

X=1

U

X=1

D

X=0

b

×0, 4 b

b

(b) p(X < 2) = 1 − p(X = 2) = 1 − 0, 16 = 0, 84

×0, 8

b

(c) quelle est la probabilité que l’on soit tombé au moins une fois sur un employé qui a choisit la formule no 2 pour 3 courriels envoyés ? trois fois sur la formule no 1 : p(X = 3) = 0, 43 = 0, 064 au moins une fois sur la formule no 2 :p(X < 3) = 1 − 0, 43 = 0, 936

(d) combien faut-il envoyer de courriels pour tomber au moins une fois sur un employé qui a choisit la formule no 2 avec une probabilité d’au moins 99% ? n fois sur la formule no 1 : p(X = n) = 0, 4n au moins une fois sur la formule no 2 : p(X < n) = 1 − 0, 4n il reste à résoudre l’inéquation : 1 − 0, 4n ≥ 0, 99 on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 6 valeur de n 5 6 n valeur de 1 − 0, 4 ≃ 0, 989 ≃ 0, 995

corrigé exercice 5 : une urne contient 8 billes vertes et x rouges on tire au hasard deux billes dans l’urne avec remise, on considère que les tirages sont indépendants 1. calculer la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes ×

8 8+x

×

x 8+x

×

8 8+x

×

x 8+x

V b

8 V × 8+x b

R b

b

×

x 8+x

b

V

R

(a) si x = 2 : p(deux couleurs) = p(V ∩ R) + p(R ∩ V ) = (b) si x = 32 : p(deux couleurs) = p(V ∩ R) + p(R ∩ V ) =

b

b

R

8 2 2 8 × + × = 0, 32 8+2 8+2 8+2 8+2 32 32 8 8 × + × = 0, 32 8 + 32 8 + 32 8 + 32 8 + 32

2. combien faut-il mettre de billes rouges dans l’urne pour que la probabilité que le tirage ci dessus donne deux billes de couleurs différentes avec une probabilité de 75% ? il suffit de résoudre l’équation : p(deux couleurs) = p(V ∩ R) + p(R ∩ V ) =

8 x x 8 16x × + × = = 0, 75 8+x 8+x 8+x 8+x (8 + x)2

⇐⇒ 0, 75(8 + x)2 = 16x ⇐⇒ 0, 75(64 + 16x + x2 ) = 16x ⇐⇒ 48 + 12x + 0, 75x2 = 16x ⇐⇒ 0, 75x2 − 4x + 48 = 0 ∆ = (−4)2 − 4 × 0, 75 × 48 = −128 < 0 cette équation n’a pas de solution dans R donc il est impossible d’obtenir une probabilité de 75% 3. en utilisant la calculatrice, conjecturer la valeur de x qui semble maximiser la probabilité d’obtenir deux billes de couleurs différentes et donner cette probabilité on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que x = 8 et p = 0, 5 valeur de x 7 8 9 16x valeur de ≃ 0, 49 0, 5 ≃ 0, 49 (8 + x)2

3 3.1

devoirs maison devoir maison 1 Exercice 1 : (13p186) une urne contient 9 billes dont 3 bleues, 3 rouges, 2 jaunes et une verte (a) on effectue un tirage au hasard d’une des billes avec équiprobabilité, calculer les probabilités suivantes p(J), p(R), p(V ) et p(B) (probabilités respectives de tomber sur une bille, jaune, rouge, verte, bleue) (b) une verte rapporte 10 points une bleue rapporte 2points une rouge ou une jaune rapportent 3 points soit X le nombre de points obtenus suite au tirage au hasard déterminer la loi de X (c) déterminer les probabilités suivantes i. p(X ≥ 3)

ii. p(X < 5)

(d) déterminer E(X) et donner une interprétation Exercice 2 : (19p187) on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée on gagne : 10 e si trois "face" apparaissent 7 e si deux "face" apparaissent 3 e si un "face" apparaît on perd : 30 e s’il n’y a que des piles X est le gain consécutif aux trois lancers (a) déterminer la loi de X (b) ce jeu est-il équitable (E(X) = 0) ? est-il favorable ou défavorable au joueur ? Exercice 3 : (46p193) le service de dépannage d’un magasin de matériel informatique dispose d’une équipe de conseillers prêts à dépanner les clients qui les appellent au téléphone lorsque tous les conseillés sont occupés, l’appel est mis en attente on admet que les appels sont indépendants les uns des autres et que la probabilité d’attente pour un appel est de 0, 25 un client appelle le service à quatre reprises soit X le nombre de fois où il doit attendre on note R l’événement : "l’appel est mis en attente" (a) déterminer la loi de probabilité de X (b) calculer E(X) (c) calculer la probabilité de l’événement A : le client a eu au moins une attente (d) combien d’appels faut-il faire pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99 ? interpréter ce résultat

3.2

corrigé devoir maison 1 Exercice 1 : (13p186) une urne contient 9 billes dont 3 bleues, 3 rouges, 2 jaunes et une verte









2 3 1 3 1 1 p(R) = = p(V ) = (a) p(J) = et p(B) = = 9 9 3 9 9 3







(b) loi de X valeurs possibles de X : xi

2 3 9

probabilités : pi

3 2 3 5 + = 9 9 9

total

10 1 9

1

(c) probabilités

 

6 5 1 2 i. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 10) = + = = 9 9 9 3    3 5 8 ii. p(X < 5) = p(X = 2) + p(X = 3) = + = 9 9 9 



3 5 1 31 31 (d) E(X) = pi xi = × 2 + × 3 + × 10 = = points 9 9 9 9 9

 31 ce qui signifie que le gain moyen pour ce jeu est de points 9

P

Exercice 2 : (19p187) on lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée ×0, 5 ×0, 5 ×0, 5

F

X = 10

F ×0, 5

F

F

×0, 5 ×0, 5

F

(a) loi de X xi −30 pi

0, 53 = 0, 125

(b) E(X) =

P

X=3 e

F

X=7 e

F

X=3 e

F ×0, 5

F

×0, 5 ×0, 5

e

X=7 e

F

×0, 5

×0, 5

X=7

F ×0, 5

×0, 5

e

F

X = 3e

F ×0, 5 F

X = −30 e

3

7

10

total

3 × 0, 5 × 0, 52 = 0, 375

3 × 0, 52 × 0, 5 = 0, 375

0, 53 = 0, 125

1



pi xi = 0, 125 × (−30) + 0, 375 × 3 + 0, 375 × 7 + 0, 125 × 10 = 1, 25 e 

ce qui signifie que le gain moyen pour ce jeu est de 1, 25 e 











ce jeu n’est pas équitable car E(X) 6= 0, de plus, il est favorable au joueur car E(x) > 0

Exercice 3 : (46p193) 0, 25

R b

0, 25

R

0, 25 b

R:X=4 b

R:X=3 b

R:X=3 b

R:X=2 b

R:X=3 b

R:X=2 b

R:X=2 b

R:X=1 b

R:X=3 b

R:X=2 b

R:X=2 b

R:X=1 b

R:X=2 b

R:X=1 b

R:X=1 b

R:X=0

b

0, 75

R

0, 75 0, 25

b

R b

0, 75 0, 25

0, 25

R b

R

0, 75 0, 25

b

0, 75

R

0, 75 0, 25

b

b

0, 75

0, 25

R b

0, 25

R

0, 75 0, 25

b

0, 75

R

0, 75 0, 25

b

R b

0, 25 0, 75

R b

R

0, 75 0, 25

b

0, 75

R

0, 75 0, 25

b

0, 75

(a) loi de probabilité de X xi 0 1 4 p(X = xi ) 0, 75 4 × 0, 25 × 0, 753 ≃ 0, 31 ≃ 0, 42 (b) E(X) =

P

2 6 × 0, 252 × 0, 752 ≃ 0, 21

3 4 × 0, 253 × 0, 75 ≃ 0, 046

4 0, 254 ≃ 0, 0039

Total



pi xi = 1 

(c) probabilité de l’événement A : le client a eu au moins une attente : 

p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) ≃ 1 − 0, 31 ≃ 0, 69 





(d) nombre d’appels qu’il faut faire pour que p(X ≥ 1) ≥ 0, 99 ? soit n le nombre d’appels à faire, n vérifie l’inéquation : 1 − 0, 75n ≥ 0, 99 car p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 75n on utilise le tableau de valeurs de la calculatrice : pour trouver que n ≥ 17 valeur de n 16 17 n valeur de 1 − 0, 75 ≃ 0, 989 ≃ 0, 992 interprétation : il faut donc au moins 17 appels pour que la probabilité d’attendre au moins une fois soit d’au moins 99%

1

3.3

corrigé devoir maison 2 exercice 1 : (50p194) voici le bilan des interventions des pompiers dans une ville de France pour une année nature de l’intervention incendie accident de circulation secours à victime autres proportion 8% 7% 59% 26% on choisit au hasard deux interventions, ce choix est assimilé à un tirage avec remise pour X = nombre d’interventions sur les 2 liées à des incendies I

×0, 08

×0, 08 b

I :X =2 b

I :X =1 b

I :X =1 b

I :X =0

b

×0, 92 b

I

×0, 08

b

×0, 92

×0, 92

1. la probabilité que les deux soient liées à des incendies est :   interventions p(X = 2) = 0, 08 × 0, 08 = 0, 0064 





2. p(X = 1) = 0, 08 × 0, 92 × 2 = 0, 1472 

− 0, 922

3. p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1







= 0, 1536 





exercice 2 : (63p196) 1. tableau : ``` ``` ```activité participation `````

natation loisir

oui

20% × 30% = 6%

non total

30% - 6% = 24% 30%





aquagym 1 × 20% = 5% 4 20% - 5% = 15% 20%

2. (a) p(competition ∩ oui) = 35%  



(b) p(non) = 54% est en effet plus de la moitié 

3. poui (competition) = 4. (a)

S probabilité



  35% ≃ 0, 76 soit 76%  46%

60 39%

75 11%

100 15%

115 35%

p(60) = p([loisir ∪ aquagym] ∩ non) = 24% + 35% = 39% p(75) = p([loisir ∪ aquagym] ∩ oui) = 6% + 5% = 11% p(100) = p(competition ∩ non) = 15% p(60) = p(competition ∩ oui) = 35% 5. E(S)= 0, 39 × 60 + 0, 11 × 75 + 0, 15 × 100 +  0, 35 × 115 = 86, 9 soit 86, 9 e en moyenne par adhérent 



nat compétition

total

46% - 11% = 35%

46%

50% - 35% = 15% 100% - 50% = 50%

54% 100%

exercice 3 : (51 p 194) 1. la somme des probabilités vaut 1 donc a vérifie l’équation suivante : 35 5 21 9 2a = − − = 35 35 35 35





1 3 + + 2a = 1 7 5

9 9 1 a= × = 35 2 70   



3 9 9 78 1 ×3+ ×5= 2. E(X) = × 0 + × 2 + 7 5 70 70 35    3. E(X) = 0, 85 × (−2) + 0, 1 × 10 + 0, 04 × 15 + 0, 01 × 30 = 0, 2 





l’espérance est positive donc le jeu est favorable pour le joueur 





exercice 4 : (65 p 197)





1 n−1 1. p(R) = p(B) = n

n

2. (a) arbre × ×

1 n

1 n b

R : X = 16

b

B : X = −5

R b

× b

n−1 n ×

1 n

R : X = −5 b

B n−1 × n

(b) loi de probabilité de X X −5 2(n − 1) probabilité n2

3. E(X) =

b

n−1 × n

1 (n − 1)2 n2

b

B : X=1

16 1 n2

(n − 1)2 1 2(n − 1) × (−5) + × 1 + 2 × 16 2 2 n n n





−10(n − 1) + (n − 1)2 + 16 −10n + 10 + n2 − 2n + 1 + 16 n2 − 12n + 27 E(X) = = = n2 n2 n2 

4. le jeu est équitable si et seulement si E(X) = 0 n2 − 12n + 27 =0 n2 n2 − 12n + 27 = 0 ∆ = (−12)2 − 4 × 2 × 27 = 36 ∆ > 0 donc l’équation admet deux solutions √ √ −(−12) − 36 −(−12) + 36 =9 et n2 = =3 n1 = 2×1 2×1 

le jeu est équitable si et seulement si n = 9  car n ≥ 3 5. le jeu est favorable au joueur si et seulement si E(X) > 0   n 0 3 9 +∞ or il faut donc n ≥ 9 (car n ≥ 4) 2 signe de n − 12n + 27 + 0 - 0 +

4

tp

4.1

tp1

tp : loi de probabilité

nom, prénom : ...

buts : – modéliser Mathématiquement une expérience aléatoire – utiliser un tableur – conjecturer des résultats – faire des démonstrations de certaines conjectures situation : on lance deux dés équilibrés à six faces on s’intéresse à la somme X des deux scores obtenus on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilité on cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers 0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne 10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) puis, suivre les consignes 1. (a) que permet d’obtenir la formule =ENT(6*ALEA()+1) ? : ... (b) écrire une formule qui donne un entier aléatoire compris entre 1 et 4 : ... 2. 3. 4. 5.

pour la somme : formule entrée en C2 : ... pour l’effectif en E4, formule entrée en E4 : ... pour tirer E4 jusqu’à O4, formule modifiée entrée en E4 : ... (a) pour la fréquences en E5 formule entrée en E5 : ... (b) pour tirer E5 jusqu’à O5, formule modifiée entrée en E5 : ... 6. formule entrée en E6 : ... 7. quelle semble être la somme la plus probable ? : ... 8. quelle semble être la valeur moyenne de la somme ? : ... 9. compléter la dernière PP PP dé 1 1 2 PP dé2 PP P 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6

ligne du tableau des sommes des deux dés ci dessous 3

4

5

6

4 5 6 7 8

5 6 7 8 9

6 7 8 9 10

7 8 9 10 11

10. construire le tableau de loi de probabilité de X ci dessous (avec les valeurs possibles de X ainsi que les probabilités associées)

11. calculer la valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près

12. le résultat ci dessus est-il en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec le tableur ? (justifier)

4.2

corrigé tp1

corrigé tp : loi de probabilité situation : on lance deux dés équilibrés à six faces on s’intéresse à la somme X des deux scores obtenus on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilité on cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers 0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne 10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) puis, suivre les consignes 1. (a) la formule =ENT(6*ALEA()+1) 

permet d’obtenir un entier aléatoire compris entre 1 et 6



 

(b) formule qui donne un nombre aléatoire compris entre 1 et 4 : =ENT(4*ALEA()+1) 2. pour la somme : formule entrée en C2 : =A2 +B2 ou =somme(A2 :B2) 3. pour l’effectif en E4, formule entrée en E4 : =nb.si(C2 :C1001 ;E3) 4. pour tirer E4 jusqu’à O4, formule modifiée entrée en E4 : =nb.si($C2 :$C1001 ;E3) 5. (a) pour la fréquences en E5 formule entrée en E5 : =E4/P4 (b) pour tirer E5 jusqu’à O5, formule modifiée entrée en E5 : =E4/$P4 6. formule entrée en E6 : =E4*E3 7. quelle semble être la somme la plus probable ? : 7 8. quelle semble être la valeur moyenne de la somme ? : 7 9. compléter la dernière PP PP dé 1 1 2 PP dé2 PP P 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8

ligne du tableau des sommes des deux dés ci dessous 3

4

5

6

4 5 6 7 8 9

5 6 7 8 9 10

6 7 8 9 10 11

7 8 9 10 11 12

4 3 36

5 4 36

6 5 36

10. loi de probabilité de X X : xi p(X = xi ) = pi

2 1 36

3 2 36

7 6 36

8 5 36

9 4 36

10 3 36

11 2 36

12 1 36

Σ 1

11. valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près E(X) = 

2 3 4 5 6 5 4 3 2 1 1 ×2+ ×3+ ×4+ ×5+ ×6+ ×7+ ×8+ ×9+ ×10+ ×11+ ×12 = 7 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36

12. oui , le résultat ci dessus est en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec le tableur car la valeur théorique trouvée est de 7 et celle trouvée dans la pratique avec le tableur est proche de 7

4.3

tp2

tp : loi de probabilité

nom, prénom : ...

buts : – modéliser Mathématiquement une expérience aléatoire – utiliser un tableur – conjecturer des résultats – faire des démonstrations de certaines conjectures situation : on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée on s’intéresse au nombre de fois X où l’on a obtenu "pile" on cherche quelle est la valeur de X la plus probable et sa probabilité on cherche quelle est la valeur moyenne de X quand on fait un grand nombre de lancers 0. ouvrir et enregistrer dans vos documents (dossier math), le document tp(tableur), ligne 10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) sous le nom "tp2 loi de probabilite" puis, suivre les consignes ci dessous sachant que : dans ce tp, "pile" sera remplacé par 1 et "face" par 0 1. entrer en A2 la formule =ENT(2*ALEA()) puis appuyer sur F9 plusieurs fois et observer ce que l’on obtient. Que permet d’obtenir cette formule ? : ... 2. tirer cette formule jusqu’à C2 3. obtenez en D2 le nombre de fois que l’on a obtenu 1 parmi les trois lancers en utilisant la formule =nb.si(plage de cellules ;critère) formule entrée : D2 = ... 4. sélectionner le groupe de cellules de A2 à D2 et tirer jusqu’à la ligne 1001 5. obtenez en G3 le nombre de fois où l’on a obtenu 0 fois le nombre 1 parmi les 1000 séries de trois lancers en utilisant la formule =nb.si(plage de cellules ;critère) formule entrée : G3 = ... 6. modifier la formule précédente et tirer jusqu’à J3 formule modifiée : J3 = ... 7. entrer la formule qu’il faut en K3,

K3 = ...

8. entrer la formule qu’il faut en G4 afin de pouvoir la tirer jusqu’en J4, G4 = ... obtenir le total en K4 avec la formule K4 = ... 9. en G5, la formule entrée est : G5 = ... tirer cette formule jusqu’à J5 et obtenir le total 10. en G9, la formule entrée est : G9 = ... 11. en G10, la formule entrée est : G10 = ... 12. en G11, la formule entrée est : G11 = ... 13. quel semble être le "nombre de fois où l’on obtient pile" le plus probable parmi 3 lancers ? : ... 14. donner un valeur approchée de l’espérance de X : ... cette valeur :

et donner une interprétation de

15. construire un arbre correspondant à cette situation au verso de cette feuille en indiquant les valeurs de X 16. construire le tableau de loi de probabilité de X (avec les valeurs possibles de X ainsi que les probabilités associées) 17. calculer la valeur exacte de E(X) ainsi qu’une valeur approchée à 0,1 près 18. le résultat ci dessus est-il en accord avec le résultat obtenu expérimentalement avec le tableur ? (justifier)

4.4

corrigé tp2

tp : loi de probabilité situation : X = nombre de ’piles" si on lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée 0. document tp(tableur), ligne 10 de site.math.free.fr (du programme de 1es) 



1. =ENT(2*ALEA()) donne un nombre entier aléatoire égal à 0 ou 1 avec équiprobabilité  2. tirer cette formule jusqu’à C2 3. obtenez en D2 le nombre de fois que l’on a obtenu 1 parmi les   trois lancers en utilisant la formule =nb.si(plage de cellules ;critère) formule entrée : D2 = N B.SI(A2 : C2, 1) 



4. sélectionner le groupe de cellules de A2 à D2 et tirer jusqu’à la ligne 1001 

5. formule entrée : G3 = N B.SI(D2 : D1001, G2)  

 

6. formule modifiée : J3 = N B.SI($D$2 : $D$1001, G2) 



7. entrer la formule qu’il faut en K3,

 

K3 = SOM M E(G3 : J3)



 



8. entrer la formule qu’il faut en G4 afin de pouvoir la tirer jusqu’en J4, G4 = G3/$K$3 

obtenir le total en K4 avec la formule K3 = SOMME(G4 :J4) 



9. en G5, la formule entrée est : G5 = =G4*G2)

  10. en G9, la formule entrée est : G9 = K5  













 

11. en G10, la formule entrée est : G10 = K6 − G92   

12. en G11, la formule entrée est : G11 = G100.5   13. le "nombre de fois où l’on obtient pile" le plus probable parmi 3 lancers : 1 ou 2 fois    

14. E(X) = 1,5 soit 1,5 fois pile en moyenne pour 3 lancers 





 

15. arbre correspondant à cette situation P

X=3

P

X=2

P

16. loi de probabilité de X valeurs possibles :xi 0

1

2

3

total

P P

probabilités : pi 17. E(X) =

1 8



3 8

3 8

X=2

P

1 8

1

P

X

p i xi   1 3 3 1 P E(X) = × 0 + × 1 + × 2 + × 3 = 1, 5   8 8 8 8 18. le résultat ci dessus est en accord avec  le résultat obtenu  expérimentalement avec le tableur car on trouve 1,5 pour les deux 



X=1

P

X=2

P

X =1

P

X=1

P

P P

X=0

5 5.1

évaluations évaluation 1

nom et prénom : ... évaluation probabilités et variables aléatoires exercice 1 : dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point (un score négatif est ramené à 0) 1. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, 2 1 p(2 points) =? réponse C : réponse A : 1 réponse B : 6 6 2. avec le dé suivant, p(pair) =?

score probabilités

réponse A : 0, 05

1 0, 1

2 0, 05

3 0, 2

réponse B : 0, 7

4 0, 03

5 0, 02

réponse D : 6 total ?

6 ?

réponse C : 0, 68

réponse D :

3 6

3. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires) dans lequel on choisit une carte au hasard 1 32 1 (a) p(coeur) =? réponse B : réponse C : réponse D : 8 réponse A : 8 4 8 (b) p(roi ∩ coeur) =?

réponse A :

1 32

réponse B :

12 32

réponse C :

11 32

réponse D : 11

(c) p(roi ∪ coeur) =?

réponse A :

1 32

réponse B :

12 32

réponse C :

11 32

réponse D : 11

(d) p(Roi) =?

réponse A :

4 32

réponse B :

32 28

réponse C : 87, 5%

garçons 3 10 13

gaucher 4. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante droitier total (a) p(f ille) =?

réponse A :

2 30

réponse B :

17 30

réponse C :

réponse D : 28%

2 5

filles 2 15 17

total 5 25 30

réponse D : 17

(b) p(f ille ∩ droitier) =?

réponse A :

42 30

réponse B :

27 30

réponse C :

1 2

(c) p(f ille ∪ droitier) =?

réponse A :

15 30

réponse B :

42 30

réponse C :

27 30

réponse D :

réponse D : 15

(d) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ? 2 3 2 2 pG (f ille) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 30 30 17 5 (e) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ? 2 2 15 5 pf ille (gaucher) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 17 30 17 17 5. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1 On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne 1 2 1 (a) p(2vertes) =? réponse A : réponse B : réponse C : 4 6 2 (b) p(2rouges) =?

réponse A :

1 4

réponse B : 0

réponse C :

1 9

15 25

réponse D :

4 9

réponse D :

2 4

6. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 1 2 1 p(double 6) =? réponse B : 6 réponse C : réponse D : réponse A : 36 6 6

exercice 2 : un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée 10

le prix à payer pour une partie est de 2 euros le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie 1. déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour X 2. déterminer la loi de probabilité de X (consigner les résultats dans un tableau)

0

1

5

5

0

0 5

1

0

3. déterminer p(X ≤ 0) et p(X > 0)

4. déterminer E(X) l’espérance de X et interpréter cette valeur. 5. ce jeu est-il plus favorable à l’organisateur ou au joueur ? 6. déterminer le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle.

exercice 3 : on lance trois fois de suite un dé équilibré à 4 faces inscrites de A à D on s’intéresse au nombre X de fois où l’on a obtenu la lettre A parmi les trois lancers 1. donner les valeurs possibles pour X 2. compléter l’arbre pondéré suivant

...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

...

A

X = ...

A

A ...

...

A

b

...

...

A

A ...

A

(a) donner les probabilités suivantes i. p(X = 0) ii. p(X ≥ 1) et interpréter le résultat

(b) donner les probabilités suivantes pour quatre lancers du dé i. p(X = 0) (c)

ii. p(X ≥ 1)

i. justifier que pour n lancers (n entier ) on a p(X ≥ 1) = 1 − 0, 75n

ii. quel est le nombre minimal n de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois la lettre A soit d’au moins 99%

5.2

corrigé évaluation 1

exercice 1 : 1. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6,  2 1 p(2 points) =? réponse C : réponse D : 6 réponse A : 1 réponse B : 6

6 score probabilités

2. avec le dé suivant, p(pair) =?

réponse A : 0, 05

1 0, 1

2 0, 05

3 0, 2

réponse B : 0, 7

4 0, 03



5 0, 02

total ?

6 ?

réponse C : 0, 68







réponse D :

3 6

3. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires) dans lequel on choisit une carte au hasard

(a) p(coeur) =?



1 32 réponse B : réponse C : 4 8



1 réponse A : 8





(b) p(roi ∩ coeur) =?

1 12 réponse A : réponse B : 32 32

(c) p(roi ∪ coeur) =?

1 réponse A : 32

12 réponse B : 32

4 32

32 28

(d) p(Roi) =?

réponse A :

réponse B :

(a) p(f ille) =?



réponse C :

réponse D : 11 



réponse C : 87, 5%





11 32

11 réponse C : réponse D : 11 32



4. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante

2 réponse A : 30

réponse D : 8

gaucher droitier total

(b) p(f ille ∩ droitier) =?

27 réponse B : 30

(c) p(f ille ∪ droitier) =?

15 réponse A : 30

42 réponse B : 30



réponse D : 28%

garçons 3 10 13

17 2 réponse B : réponse C : 30 5

42 réponse A : 30



filles 2 15 17

total 5 25 30

réponse D : 17





1 15 réponse C : réponse D : 2 25





27 éponse C : réponse D : 15 30

(d) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ? 3 2 2 2 pG (f ille) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 30 30 17

5 (e) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit "  gaucher" ? 2 2 15 5 pf ille (gaucher) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 17 30

17 17 5. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1 On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne 2 1 1 (a) p(2vertes) =? réponse B : réponse C : réponse A : 4 6 2 (b) p(2rouges) =?

1 réponse A : 4

réponse B : 0







4 réponse D : 9



1 2 réponse C : réponse D : 9 4



6. On lance deux fois de suite un dééquilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 1 1 2 p(double 6) =? réponse A : réponse B : 6 réponse C : réponse D : 36 6 6  

exercice 2 : 

1. X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8} 

 

2. le tableau de la loi de probabilité de X est : valeurs possibles de X : xi -2 -1 4 2 probabilités : pi = 0, 4 = 0, 2 10 10 



3 3 = 0, 3 10

8 1 = 0, 1 10

total 1 



3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6 ; p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4     X   4. E(X) = pi xi = 0, 4 × (−2) + 0, 2 × (−1) + 0, 3 × 3 + 0, 1 × 8 = 0, 7 



ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie

 



  

5. le jeu est plus favorable au joueur car il gagne en moyenne 0,7 euros. 



7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle. E(X) = 0 ⇐⇒ 0, 4(0 − y) + 0, 2(1 − y) + 0, 3(5 − y) + 0, 1(10 − y) = 0 ⇐⇒ −0, 4y + 0, 2 − 0, 2y + 1, 5 − 0, 3y + 1 − 0, 1y = 0

⇐⇒ −y + 2, 7 = 0



le prix doit être de 2,7 euros pour avoir une espérance nulle





⇐⇒ y = 2, 7



exercice 3:   1. X ∈ {0 ; 1 ; 2 ; 3} 



2. arbre pondéré 0,25 0,25

0,25

A

A

X=3

: 0, 253

0,75 A

X=2

: 0, 252 × 0, 75

A

0,75 0,25

A

X=2

A 0,75 A 0,25 0,25

A

X=2

0,75 A

X =1

0,25

A

X=1

0,75 A

X=0

: 0, 25 × 0, 752

A

0,75

A

X=1

0,75

A : 0, 753

i. p(X = 0) = 0, 753 ≈ 0, 42 ii. p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 753 ≈ 0, 578, la probabilité d’avoir au moins une fois A est de 57, 8% (b) pour quatre lancers du dé i. p(X = 0) = 0, 754 ≃ 31, 6% ii. p(X ≥ 1) ≃ 1 − 31, 6% ≃ 68, 4% (c) i. pour n lancers (n entier ) on a p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 75n ii. le nombre minimal n de lancers à faire pour que la probabilité d’obtenir au moins une fois la lettre A soit d’au moins 99% est de 17, on utilise le tableau de valeurs valeur de n 16 17 de la calculatrice n valeur de 1 − 0, 75 0, 989 0, 992 (a)

exercice 2 : Un élève décide de répondre au hasard à un Q.C.M. de bac. Pour chaque question, il y a 4 propositions de réponses dont une seule bonne réponse. 1. pour une question, quelle est la probabilité p qu’il ait la bonne réponse ? 2. le Q.C.M. comporte trois questions. Pour chaque question, l’élève répond au hasard. On considère que ses réponses aux questions sont indépendantes les unes des autres. On note X le nombre de bonnes réponses parmi les trois questions. a. justifier pourquoi X suit une loi binomiale. b. construire un arbre de probabilité associé à la situation avec les valeurs de X et les probabilités associées. c. donner la loi de probabilité de X. d. donner la probabilité qu’il ait exactement deux bonnes réponses. e. donner la probabilité qu’il ait au moins une bonne réponse. f. donner le nombre de questions qu’il faudrait au Q.C.M. pour que la probabilité qu’il ait au moins une bonne réponse soit d’au moins 99%

10 corrigé activité 1 : (notion de variable aléatoire) un jeu consiste à faire tourner une roue bien équilibrée le prix à payer pour une partie est de 2 euros le jeu rapporte le montant indiqué par la roue en euro on pose : X = gain = rapport du jeu - prix de la partie on dit que X est une variable aléatoire

0

1

5

5

0

0 5

1

0

1. X ∈ {−2 ; −1 ; 3 ; 8}

2.

valeurs possibles :xi

-2

-1

3

8

total

probabilités : pi

4 = 0, 4 10

2 = 0, 2 10

3 = 0, 3 10

1 = 0, 1 10

1

3. p(X ≤ 0) = p(X = −2) + p(X = −1) = 0, 6 p(X > 0) = 1 − p(X ≤ 0) = 0, 4 4. E(X) =

X

p i xi

E(X) = −2 × 0, 4 + (−1) × 0, 2 + 3 × 0, 3 + 8 × 0, 1 = 0, 7 ceci signifie qu’en moyenne le gain est de 0,7 euros par partie 5. V (X) =

X

pi x2i − E(X)2

V (X) = (−2)2 × 0, 4 + (−1)2 × 0, 2 + 32 × 0, 3 + 82 × 0, 1 − 0, 72 = 10, 41 σ(X) =

p

σ(X) =



V (X)

10, 41 ≃ 3, 22

6. le jeu est à gain positif car E(X) = 0, 7 > 0, il est plus favorable au joueur car il gagne en moyenne 0,7 euros. 7. soit y le prix de la partie pour que l’espérance soit nulle. E(X) = 0

Corrigé Devoir Maison 46 page 129 arbre : 27000

: R = 81000 : 0, 43

0,6

15000

: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6

0,4

27000

: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6

0,6

15000

: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62

0,4

27000

: R = 69000 : 0, 42 × 0, 6

0,6

15000

: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62

0,4

27000

: R = 57000 : 0, 4 × 0, 62

0,6

15000

: R = 45000 : 0, 63

27000

0,4

27000

0,4

0,6

0,4

15000

27000

0,4 0,6

15000

0,6

15000 

 

p(R = 81000) = 0,064 , la probabilité que la recette soit de 81000 euros est de 6,4%  



loi de probabilité de R : valeurs possibles : xi probabilités : pi

45000 0, 63 0,216

57000 3 × 0, 4 × 0, 62 0,432

69000 3 × 0, 42 × 0, 6 0,288

81000 0, 43 0,064

total 1

E(R) = 0, 216 × 45000 + 0, 432 × 57000 + 0, 288 × 69000 + 0, 064 × 81000 = 59400 



l’espèrance de la recette est de 59400 euros  . 





59400 - 50000 = 9400, 9400>0 donc le projet est rentable . 



74 page 134 1.



a. p(R) = p(B ∩ R) + p(J ∩ R) = 0, 2 × 0, 5 + 0, 5 × 0, 3 = 0,25

  p(B ∩ M ) 0, 2 0, 2 = b. pB (M ) = = = 0,4   1 − 0, 5 0, 5 p(B)

c. pR (B) = 2.

  0, 5 × 0, 2 p(B ∩ R) = = 0,4   p(R) 0, 25 

a. p(4 pièces)= 0, 24 = 0,0016 







b. p(1 jeton)= 4 × 0, 31 × 0, 73 = 0,4116 



c. p(aucun jeton)= 0, 74 = 0,2401 



















76 page 135 1.

a. arbre

0,4

S

0,6

S

0,75

S

A

3 12 4 12

B 0,25 0,24

5 12

S S

C 0,76

p(S) = p(A ∩ S) + p(B ∩ S) + p(C ∩ S) =

S

  3 4 5 × 0, 4 + × 0, 75 + × 0, 24 = 0,45   12 12 12

4 × 0, 75   p(B ∩ S) = 12 ≃ 0,55 b. pS (B) =   p(S) 0, 45 

2. p(X = 1) = 3 × 0, 451 × 0, 552 ≃ 0,41 





0,45

0,45

V

0,45

V

X=3

: 0, 453

0,55V

X=2

: 0, 452 × 0, 55

V

0,55 0,45

V

X=2

V 0,55V 0,45 0,45

V

X=2

0,55 V

X=1

0,45

V

X=1

V 0,55 

X=0

: 0, 45 × 0, 552

V

0,55

V

X=1

0,55

V 3.



a. pn = p(X ≥ 1) = 1 − p(X = 0) = 1 − 0, 55n 

: 0, 553



b. 1 − 0, 55n > 0, 9999 ⇐⇒ 0, 0001 > 0, 55n ⇐⇒ ln(0, 0001) > ln(0, 55n ) ⇐⇒ ln(0, 0001) > nln(0, 55) ⇐⇒

ln(0, 0001) 0 ⇐⇒ g > 

0, 38 0, 06

soit au moins 6,34 euros 





1 2





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