Variables aléatoires à densité

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13Variables aléatoires à densité

I Variables aléatoires à densité A) Dénition Dénition :

Soit f : R → R. On dit que f est une

densité de probabilité

si et seulement si :

G f est positive ou nulle. G f est continue sauf éventuellement en un nombre ni de points. Z +∞ Z +∞ G f (t) dt converge et f (t) dt = 1 −∞

−∞

Remarque: Rappel

On note x1 < x2 < · · · < Zxn sont les points de discontinuité de f , x0 = −∞ et xn+1 = +∞

On dit que l'intégrale Z

xi+1

xi

+∞

−∞

f (t) dt converge si et seulement si toutes les intégrales

f (t) dt avec 0 ≤ i ≤ n convergent.

Et on dénit :

Z

+∞

−∞

Exemple :

f (t) dt =

n Z X

xi+1

xi

i=0

f (t) dt

1

−|t| © Soit f dénie sur R par f (t) = 2 e .

Montrer que f est une densité de probabilité.

Dénition :

Soit X une variable aléatoire réelle dénie sur un espace probabilisé (Ω, A, P) et F sa fonction de répartition. On dit que X est une variable

aléatoire à densité

s'il existe une densité de probabilité f telle que : Z

x

∀x ∈ R, F (x) = −∞

f est appelée

densité de

f (t) dt

X

Remarque:

On note x1 < x2 < · · · < xn sont les points de discontinuité de f , x0 = −∞ et xn+1 = +∞ Soit x ∈ R. Il existe un unique k ∈ J0, nK tel que : xk ≤ x < xk+1 . On a alors : F (x) =

k−1 Z X i=0

xi+1

xi

f (t) dt +

Z

x

xk

f (t) dt

Remarque:

Une telle fonction f n'est pas unique. C'est pourquoi dit que f est une densité de X . En particulier, si g est une fonction qui ne dière de f qu'en un nombre ni de points, g est aussi une densité de X .

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Proposition :

Soit f une densité de probabilité, on admet qu'il existe une variable aléatoire X admet f comme densité.

B) Fonctions de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité, de densité f , et F sa fonction de répartion. G F est croissante. G lim F (x) = 0, lim F (x) = 1 x→−∞

x→+∞

G F est continue sur R. G F est de classe C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points. En dehors de ces points, on a F 0 = f .

Démonstration : Proposition : Réciproque

Soit X une variable aléatoire de fonction de répartition F . On suppose : G F est continue sur R. G F est de classe C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points. Alors X est à densité et une densité est donnée par f = F 0 aux points où F est dérivable, et par ce qu'on veut ailleurs.

Méthode

Démonstration : Comment montrer qu'une variable aléatoire est à densité ? G Calculer sa fonction de répartition de F .

G Vérier que F est continue sur R. G Vérier que F est C 1 sauf éventuellement en un nombre ni de points ; G Aux points où F est dérivable, la densité est donnée par f = F 0 et par ce qu'on veut ailleurs. (souvent on choisit 0).

Proposition :

Soit X une variable aléatoire réelle admettant une densité f . On a : G ∀a ∈ R, P([X = a]) = 0 2

Z

b

G ∀a, b ∈ R , P([a ≤ X ≤ b]) = a

f (t) dt

C) Fonction d'une variable aléatoire à densité Positionnement du problème :

Soit X une variable aléatoire à densité f et φ une fonction telle que X(Ω) ⊂ Def (φ). On considère Y = φ(X) et on souhaite savoir si Y est à densité.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité f et (a, b) ∈ R2 . On suppose a 6= 0. Alors Y = aX + b est une variable aléatoire à densité.

Démonstration :

Étudier P(Y ≤ y) suivant le signe de a. 2014-2015

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Remarque:

Si a = 0, Y est certaine, et donc elle n'est pas à densité.

Méthode

Cas général

Si φ est de classe C 1 , étudier P(Y ≤ y) = P(φ(X) ≤ y) (et sa dérivée) en faisant intervenir le sens de variation de φ. Si φ n'est pas monotone, dresser le tableau de variation de φ et s'aider du graphe de φ.

Exemple : © Soit X une variable à densité f . Etudier Y

= exp(X).

Proposition :

Soit X une variable à densité f et soit n un entier. Alors X n est à densité.

D) Somme de variables aléatoires à densité indépendantes Dénition : Produit de convolution

Soit f et g deux densités de probabilités sur R. On appelle produit de convolution de f et de g l'application : +∞

Z f ? g : z 7→

−∞

f (x)g(z − x) dx

Cette intégrale impropre est eectivement convergente pour tout z ∈ R.

Théorème :

Soient X et Y des variables aléatoires indépendantes de densité respectives fX et fY . Alors Z = X + Y est une variable à densité dont une densité est fX ? fY

Ainsi, une densité de Z est : Z

+∞

fZ : t 7→ x=−∞

fX (x)fY (t − x) dx

et sa fonction de répartition est : Z

z

Z

+∞

P(Z ≤ z) = F (z) = t=−∞

x=−∞

fX (x)fY (t − x) dx dt

Corollaire :

Si de plus X et Y sont à valeurs positives ou nulles, alors une densité de X + Y est l'application f: R → R Z z  fX (x)fY (z − x) dx si z > 0 z 7→ 0  0 sinon

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E) Minimum et maximum de variables aléatoires à densité indépendantes Soit (Xk )16k6n n variables aléatoires à densité indépendantes. On note fk une densité de Xk et Fk sa fonction de répartition. On s'intéresse à Mn = max Xn et mn = min Xk . 16k6n

16k6n

Maximum

G Soit x ∈ R, on étudie F (x) = P(Mn 6 x) en remarquant :

Méthode

P(Mn 6 x) = P(X1 6 x, X2 6 x, . . . , Xn 6 x) = P(X1 6 x)P(X2 6 x) . . . P(Xn 6 x) = F1 (x)F2 (x) . . . Fn (x) G On remarque que F est continue sur R et C 1 sauf en un nombre ni de points car F1 , . . . , Fn le sont. G On conclut que Mn est à densité et on obtient une densité par dérivation de F .

Minimum

G Soit x ∈ R, on étudie F (x) = P(mn 6 x) en remarquant :

Méthode

P(mn > x) = P(X1 > x, X2 > x, . . . , Xn > x) = P(X1 > x)P(X2 > x) . . . P(Xn > x) = (1 − F1 (x))(1 − F2 (x)) . . . (1 − Fn (x)) G On a alors F (x) = 1 − (1 − F1 (x))(1 − F2 (x)) . . . (1 − Fn (x)) G On remarque que F est continue sur R et C 1 sauf en un nombre ni de points car F1 , . . . , Fn le sont. G On conclut que mn est à densité et on obtient une densité par dérivation de F .

II Espérance et variance A) Dénition Dénition : Espérance

SoitZ X une variable aléatoire réelle de densité f . Si

+∞

tf (t) dt est absolument convergente, on dit que X admet une espérance. Z +∞ Dans ce cas, on appelle espérance de X et on note E(X) la valeur tf (t) dt. −∞

−∞

B) Linéarité de l'espérance Proposition :

Soit X variable aléatoire à densité sur R admettant une espérance. Soient α et β deux réels. Alors, αX + β admet une espérance. De plus : E(αX + β) = αE(X) + β

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Théorème : Linéarité de l'espérance

Soient X et Y deux variables aléatoires à densité admettant toutes deux une espérance. On suppose que X + Y est aussi à densité. Alors X + Y admet une espérance et on a : E(X + Y ) = E(X) + E(Y )

Dénition :

Une variable aléatoire est dite centrée si elle admet une espérance et que celle-ci est nulle.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une espérance. Alors X − E(X) est centrée.

C) Théorème de transfert Théorème :

Soient X une variable aléatoire de densité f , et φ une fonction continue sur un intervalle I , sauf en un nombre ni de points. On suppose que Y = φ(X) est une variableZ aléatoire à densité. Y admet une espérance si et seulement si Z +∞ Dans ce cas, E(Y ) = φ(t)f (t) dt.

+∞

−∞

φ(t)f (t) dt est absolument convergente.

−∞

Exemple :

Soit X une variable à densité f et Y = exp(X). Montrer le théorème de transfert dans ce cas. © Si X admet pour densité la fonction f dénie par f (t) = 21 exp(−|t|), étudier E(Y ).

D) Variance Dénition : Variance

Soit X une variable aléatoire à densité. On dit que X admet une variance et on note V(X) = E (X − E(X))2




si cette espérance existe.

Remarque:

X 2 admet une espérance si et seulement si X admet une espérance et une variance.

Proposition : Formule de Koenig

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une espérance et une variance. On a : V (X) = E(X 2 ) − (E(X))2

Démonstration : 2014-2015

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Dénition : Ecart-type

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. On dénit

l'écart-type de

X par σ(X) =

p V(X)

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité, admettant une variance. Soit a, b ∈ R. Alors : V(aX + b) = a2 V (X), σ(aX + b) = |a|σ(X)

Dénition :

Soit X une variable à densité admettant une variance. On dit que X est centrée et réduite si E(X) = 0 et V (X) = 1.

Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité admettant une variance. On appelle variable aléatoire centrée réduite associée à X , la variable aléatoire X ∗ dénit par : X∗ =

X − E(X) σ(X)

Elle est centrée réduite.

E) Inégalité de Bienaymé-Tchebychev Théorème :

Soit X une variable aléatoire à densité p admettant une variance. On note m = E(X) et σ = σ(X) = V (X). Soit ε > 0. P ([|X − m| ≥ ε]) ≤

σ2 ε2

Démonstration : Lemme : Inégalité de Markov

Soit Y une variable aléatoire positive et à densité, admettant une espérance. Soit t ∈ R∗+ . On a : P ([Y ≥ t]) ≤

Démonstration :

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E(Y ) t

Appliquer le lemme à Y = (X − m)2 .

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III Loi uniforme A) Dénition Dénition :

Soit a et b deux réels a < b. On dit que X suit la loi uniforme sur [a, b] si elle admet pour densité la fonction f: R → R  x 7→

1 b−a

0

si x ∈ [a, b] sinon

On note X ,→ U([a, b]).

B) Fonction de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b]. Notons F sa fonction de répartition. On a : F : R → R   0 t−a t 7→  b−a 1

si t < a si a ≤ t ≤ b si t > b

f 1 → − j

F 1 → − j

1 b−a

a a

O

→ − 1 b i

O

→ − 1 b i

C) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur [a, b]. On a : E(X) =

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(b − a)2 a+b , V (X) = 2 12

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IV Loi exponentielle A) Dénition Dénition :

Soit λ > 0. On dit que X suit la loi exponentielle de paramètre λ si elle admet pour densité la fonction f: R → R  0 x 7→ λe−λx

si x < 0 si x ≥ 0

On note : X ,→ E(λ).

B) Fonction de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Notons F sa fonction de répartition. On a : F : R → R  0 si t < 0 t 7→ 1 − exp(−λt) si t ≥ 0

f

F

1 → − j O

1 → − j → − 1 i

O

→ − 1 i

C) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi exponentielle de paramètre λ. On a : E(X) =

1 1 , V (X) = 2 λ λ

D) Invariance temporelle Théorème :

Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Soient s, t ∈ R+ . P[X>t] (X > s + t) = P(X > t)

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V Loi normale A) Dénition Dénition : On dit que X suit la loi normale centrée réduite si elle admet pour densité la fonction f: R → R

 2 1 x √ exp − 2 2π

x 7→

On note : X ,→ N (0, 1)

Dénition :

Soit m ∈ R et σ ∈ R∗+ . On dit que X suit la loi normale de paramètre m et σ 2 si elle admet pour densité la fonction f: R → R x 7→

  1 (x − m)2 √ exp − 2σ 2 2πσ

On note : X ,→ N (m, σ 2 )

B) Fonction de répartition Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale centrée réduite. Notons Φ sa fonction de répartition. On a : Φ: R → R  2 Z t 1 x √ exp − t 7→ dx 2 2π −∞

Φ vérie les propriétés suivantes : â Φ(0) =

1 2

â ∀t ∈ R+ , Φ(−t) = 1 − Φ(t) â φ ne s'exprime pas simplement, on utilise des tables de la loi normale.

f

1

F

→ − j O

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1 → − j

→ − 1 i

O

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→ − 1 i

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C) Espérance et variance Proposition :

Soit X une variable aléatoire à densité suivant une loi normale de paramètre m et σ . On a : E(X) = m, V (X) = σ 2

D) Loi de aX + b Proposition :

Soit X une variable aléatoire admettant une espérance m et une variance σ 2 avec σ > 0. Soit a ∈ R∗ et b ∈ R. On a : aX + b ,→ N (am + b, a2 σ 2 )

Remarque:

Soit X une variable aléatoire. On suppose X ,→ N (m, σ 2 ) Alors X ∗ ,→ N (0, 1)

E) Sommes de gaussiennes indépendantes Théorème :

Soit X et Y deux variables aléatoires indépendantes. On suppose : X ,→ N (m, σ 2 ) e t Y ,→ N (m0 , σ 0 ) 2

Alors

2

X + Y ,→ N (m + m0 , σ 2 + σ 0 )

Ce résultat se généralise au cas de n variables aléatoires gaussiennes et indépendantes.

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F) Table de la loi normale centrée réduite On tabule ici les valeurs de la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite N (0, 1). Par dénition, 1 φ(x) = √ 2π

Z

x

2 /2

e−t

−∞

dt

Les décimales se lisent sur les lignes, et on ajoute les centièmes rangés en colonnes. Par exemple, la valeur de Φ(1, 93) est donnée à l'intersection de la ligne 1, 9 et de la colonne 0, 03, et l'on peut lire Φ(1, 93) = 0, 9732, à 10−4 près. Au delà de la valeur x = 3, 9, la valeur de Φ(x) est presque égale à 1 (toujours à 10−4 près), elle n'est donc plus tabulée. Enn, pour les valeurs négatives de x, on utilise la relation Φ(−x) = 1 − Φ(x) x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.0 .5 .5039 .5079 .5119 .5159 .5199 .5239 .5279 .5318 .5358 0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .5714 .5753 0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141 0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517 0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879 0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224 0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549 0.7 .7580 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7793 .7823 .7852 0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133 0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389 1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .8554 .8577 .8599 .8621 1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830 1.2 8849 .8869 .8888 .8906 .8925 .8943 .8962 .8980 .8997 .9015 1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177 1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9279 .9292 .9306 .9319 1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9429 .9441 1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545 1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633 1.8 .9641 .9649 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9699 .9706 1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9761 .9767 2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817 2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857 2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9875 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890 2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916 2.4 .9918 .9920 .9922 .9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936 2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952 2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964 2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974 2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981 2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986 3.0 .9986 .9987 .9987 .9988 .9988 .9989 .9989 .9989 .9990 .9990 3.1 .9990 .9991 .9991 .9991 .9992 .9992 .9992 .9992 .9993 .9993 3.2 .9993 .9993 .9994 .9994 .9994 .9994 .9994 .9995 .9995 .9995 3.3 .9995 .9995 .9995 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9996 .9997 3.4 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9997 .9998 3.5 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 .9998 3.6 .9998 .9998 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.7 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.8 9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 .9999 3.9 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000 .10000

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VI Simulations de loi A) Obtenir un tracé expérimental de la densité L'objectif est le suivant : G On dispose d'un nombre important de simulations d'une variable aléatoire dont on soupçonne qu'elle puisse être à densité. G On voudrait un tracé expérimental d'une densité. On note X la variable aléatoire, F sa fonction de répartiton, et f une densité.

Obtenir un graphique d'une densité

G Soit L la liste comprenant les simulations de la variable aléatoire.

Méthode

G On calcule le minimum m et le maximun M de la liste L G On discrétise l'intervalle [m, M ] en un certain nombre N de petits intervalles. (Par exemple N = 30) M −m et pour i ∈ J0, N K, on pose xi = m + i ∗ h On pose alors h = N G Une valeur approchée de la fonction de répartition F en x est donnée par la fréquence des simulations vériant X 6 x. F (xi+1 ) − F (xi ) G Une valeur approchée de la densité en xi est donnée par h G On compte donc le nombre ni de simulations dans l'intervalle [xi , xi+1 ] et on considère ni donc que f (xi ) ≈ len(L) ∗ h G Faire un graphique !

from random import random import matplotlib . pyplot as plt from math import ∗ import numpy as np def densite ( L ) : m = min( L ) M = max( L ) h = ( M−m ) /30 f = [0] ∗ 31 for x in L : k = floor (( x−m )/ h ) f [ k ] += 1 for k in range ( len ( f ) ) : f [ k ] = f [ k ]/( len ( L ) ∗ h ) return f def

densite_graphe ( L ) : f = densite ( L ) m = min( L ) M = max( L ) X = [ m + i ∗ ( M−m ) /30 plt . plot ( X , F ) plt . show ()

for

i

in range (31) ]

On peut aussi faire :

import matplotlib . pyplot as plt plt . hist ( s , 100 , normed=True ) # de la densit é . plt . show () 2014-2015

histogramme tout fait

normed = True permet la repr é sentation C. Courant

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B) Loi uniforme

def

uniforme ( a , b ) : return ( b−a ) ∗ random ()

Loi uniforme

+a

C) Loi exponentielle

def

expon ( mu ) : x=random () return (− log (1 − x )/ mu )

np . random . exponential ( beta , N )

Loi exponentielle

Loi exponentielle toute faite

# simule N f o i s une l o i exponentielle # de paramè tre mu=1/beta

D) Loi normale G On cherche à simuler une loi normale centrée réduite. Pour le cas général, on utilise que si X ,→ N (0, 1) alors σX + µ ,→ N (µ, σ 2 ). G On peut utiliser la même idée que pour la loi exponentielle. Cependant, on ne connait pas de forme explicite Φ−1 . Il faudra utiliser des approximations : la fonction norm.ppf du module scipy.stats nous fournit

la fonction.

from scipy . stats import ∗ def normal ( mu , sigma ) : x = random () return sigma ∗ norm . ppf ( x )+mu

Loi normale

Mais bien sûr, c'est déjà programmé dans python (avec des méthodes bien plus précises) : np . random . normal ( mu , sigma , N )

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Loi normale toute faite

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BCPST2

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13

V. A. à densité

Je ne connais rien d'autre si propre à frapper l'imagination que cette merveilleuse forme d'ordre cosmique donnée par la Loi de Fréquence des Erreurs(*)... Elle règne avec sérénité et en toute abnégation au milieu de la confusion sauvage.   Francis Galton (*) loi normale © Exercice 1: On note f la fonction dénie sur R par :

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd07.tex

∀x ∈ R, f (x) =

1 π(1 + x2 )

1◦ ) Montrer que f

est une densité de probabilité. Soit X une variable aléatoire admettant f comme densité : on dit que X suit la loi de Cauchy 2◦ ) a) Déterminer la fonction de répartition de X . b) Calculer les probabilités : P (X ≤ 0), P (X ≥ 0), P (X ≤ −1) et P (X ≥ 1). c) La variable aléatoire X admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer.   3◦ ) Soit V une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur − π2 , π2 Montrer que tan V suit la loi de Cauchy. 4◦ ) a)

On pose h la fonction dénie sur R \ 1 par h(x) = Étudier les variations de h.

b)

On dénit la variable aléatoire Y =

© Exercice 2:

1+x 1−x

1+X . Montrer que Y suit également la loi de Cauchy. 1−X

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd04.tex

1 ) Soit X

une variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0, 1]. On dénit Y = X 2 . Montrer que Y est une variable aléatoire à densité et déterminer une densité de Y . ◦ 2 ) Espérance et variance de Y ? ◦

© Exercice 3: Soit X une va suivant une loi normale de paramètre m et σ . On pose Y = exp X . Déterminer la fonction de répartition de Y , ainsi que son espérance et sa variance. /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd05.tex

© Exercice 4:

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd02.tex

Pour cet exercice, on utilisera une table de la loi normale centrée réduite. Une société de service en informatique veut répondre à un appel d'ore pour réaliser le portail web 2014-2015

C. Courant

Exercices : I

BCPST 952

Exercices : V. A. à densité

Lycée du parc

d'une entreprise. Le responsable de projet estime que la durée nécessaire, en jours de travail, pour réaliser le site demandé suit une loi normale de paramètres m et σ où m vaut 400 jours et σ , 20 jours. 1◦ ) Quelle est la probabilité qu'il soit eectivement ni avant 400 jours ? Avant 410 jours ? 2◦ ) Quelle durée devrait-il annoncer au client pour avoir 90% de chances de nir dans les temps ? 3◦ ) Le commercial décide qu'on peut toujours travailler plus vite et annonce au client que le projet est réalisable en 350 jours. Quelle est la probabilité que le projet soit ni dans les temps ?

© Exercice 5:

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd03.tex

La Société Anonyme B.-N. fabrique des nains (de jardin) d'une hauteur moyenne de 1 mètre. Notons X la hauteur d'un nain en bout de la chaîne de fabrication. On supposera que X suit une loi normale de paramètres m et σ , telle que E(X 2 ) = 1, 01. 1◦ ) Déterminer m et σ . 2◦ ) Quelle est la probabilité qu'un nain mesure entre 98 centimètres et 1, 02m ?

© Exercice 6: Loi du χ2 Soit Y une variable aléatoire gaussienne centrée réduite. Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire X = Y 2 et montrer que X admet une densité que l'on déterminera. Déterminer espérance et variance de X . /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd06.tex

© Exercice 7: Soit f (x) = xe−x si x > 0 et f (x) = 0 sinon.

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad17.tex

1◦ ) Montrer

que f est une densité de probabilité. 2◦ ) Trois personnes A, B , C arrivent à deux guichets. C , par courtoisie, laisse passer A et B puis prendra la place du premier parti. On note TA et TB les temps de passage au guichet de A et B . On suppose que ces deux variables aléatoires sont indépendantes et admettent f pour densité. Soit M le temps d'attente de C . TA admet-elle une espérance ? Si oui, la calculer. 3◦ ) Donner la loi de M . 4◦ ) Soit Y la partie entière de TA . Donner la loi de Y .

© Exercice 8:

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad20.tex

Soit (Xi )16i62n+1 une suite de variables aléatoires indépendantes suivant toute une loi uniforme sur [0, 1]. On les range dans l'ordre croissant et on dénit la médiane Mn , c'est-à-dire la n + 1-ième valeur. 2n+1 X

  2n + 1 i x (1 − x)2n+1−i 1 ) Montrer : ∀x ∈ [0, 1], P (Mn 6 x) = i i=n+1 ◦

2014-2015

C. Courant

Exercices : II

BCPST 952

Exercices : V. A. à densité

Lycée du parc

2◦ ) Montrer

que Mn est à densité et qu'elle admet une espérance. 3◦ ) Calculer E(Mn ). Z 1

On rappelle que

xp (1 − x)q dx =

0

p!q! . (p + q + 1)!

© Exercice 9: Soit (Xn )n>0 une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes de loi E(1). Xk ? 1◦ ) Loi de k n X Xi ◦ 2 ) Montrer que Zn = max(X1 , . . . , Xn ) et suivent la même loi. i i=1 /home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad29.tex

3◦ ) Montrer

que Zn admet une espérance et une variance.

Montrer que : 1 6 E(Zn ) 6 n et

1 6 V(Zn ) 6 n n

© Exercice 10:

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Covac/Covad05.tex

© Exercice 11:

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd26.tex

Roméo et une Juliette se donnent rendez-vous à minuit (sous un balcon). L'heure d'arrivée de la Juliette suit une loi normale d'espérance minuit et d'écart-type 4 minutes. L'heure d'arrivée de Roméo suit une loi normale d'espérance minuit et cinq minutes (il a envie de se faire attendre) et d'écart-type 3 minutes. Elle est prête à attendre au plus 10 minutes, lui au plus 5 minutes. Quelle est la probabilité que cette grande histoire d'amour ne commence jamais ?

A l'aide de la loi normale, calculer les intégrales suivantes : ◦

1 ) 2◦ ) 3◦ )

Z

+∞

e −∞ Z +∞ −∞ Z +∞

−2x2 −4x−2

xe−2x

dx

2 −2x−1

x2 e−2x

dx

2 −8x−1

dx

◦

4 ) 5◦ ) 6◦ )

−∞

© Exercice 12:

Z

+∞

−1 Z +∞ −∞ Z +∞

2 −4x−1

e−2x

dx

x3 e−2x

2 −4x−1

dx

x4 e−2x

2 −6x−1

dx

−∞

/home/carine/Dropbox/952Maths/Basexo/Proba/Vac/VAd24.tex

Une usine a une chaine de montage. On commence à fabriquer des objets à l'instant t = 0. Il y a n machines qui travaillent en parallèle. On note Xi le temps de fabrication d'un objet sur la i-ème machine. Lorsque l'objet est fabriqué, la machine s'arrête. On suppose que Xi ,→ U([0, 1]). Soit t ∈ [0, 1]. 2014-2015

C. Courant

Exercices : III

BCPST 952

Exercices : V. A. à densité

Lycée du parc

1◦ ) Soit Nt

le nombre d'objet fabriqués à l'instant t. Reconnaitre la loi de Nt . 2◦ ) Soit Tk le temps nécéssaire à la fabrication de k objets. Montrer P(Tk 6 t) = P(Nt > k). Exprimer P(Tk 6 t) comme une somme. 3◦ ) Montrer que Tk est à densité et qu'une densité est donnée par fk (t) = 4◦ ) Déterminer

n! tk−1 (1 − t)n−k (k − 1)!(n − k)!

l'espérance de Tk .

© Exercice 13: Soit n ∈ N et fn dénie par

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  e−t tn si t>0 fn (t) =  0 n! sinon Z x Z x e−x xn ◦ ∗ fn (t) dt = 1 ) Montrer : ∀x ∈ R+ , + fn+1 (t) dt. n! 0 0 Z +∞ fn (t) dt = 1. En déduire que fn est une densité de probabilité. Montrer que 0

2 ) Soit Xn

admettant fn comme densité de probabilité. Montrer que Xn admet une espérance et une variance et les calculer. 3◦ ) Soit Yt ,→ P(t) le nombre de voiture arrivant à un péage entre l'instant 0 et l'instant t. Soit Zn le temps nécessaire pour qu'il y ait n voitures de passées. a) Montrer [Zn 6 t] = [Yt > n] b) En déduire que Zn admet une densité de la forme fk avec k à préciser. ◦

2014-2015

C. Courant

Exercices : IV