Variables aléatoires discrètes

Chapitre 21

Variables aléatoires discrètes  On se place dans ce chapitre sur un espace probabilisé

21.1



Ω, P(Ω), P

.

Définition

Dénition ( VAR nie ) Une variable aléatoire réelle discrète X (VAR) est une application de Ω dans R telle que

1. pour tout intervalle I de R, {ω ∈ Ω tel que X(ω) ∈ I} ⊂ P(Ω) 2. X(Ω) comporte un nombre ni de valeurs. Notations : (X = x) pour {ω ∈ Ω tel que X(ω) = x}. (a < X) pour {ω ∈ Ω tel que a < X(ω)}. (X ≤ b) pour {ω ∈ Ω tel que X(ω) ≤ b}.

On notera l'événement On notera l'événement On notera l'événement

Exemple

On lance une pièce 10 fois de suite et on note X la VAR égale au nombre de fois où pile a été obtenue. (X = 3) est l'événement "3 piles et 7 faces ont été obtenus". (X < 5) est l'événement "strictement moins de 5 piles ont été obtenus". ((X ≥ 3) ∩ (X ≤ 5)) = (3 ≤ X ≤ 5) = ((X = 3) ∪ (X = 4) ∪ (X = 5)).

Proposition (Opérations de VAR) Soient X, Y deux VAR sur (Ω, A) et λ un nombre réel. Alors X + Y, λX, XY, max(X, Y ), min(X, Y ) sont des VAR sur (Ω, A).

Exemple

21.2

On choisit 5 cartes simultanément dans un jeu de 32 cartes. R est la VAR égale au nombre de rois, D de dames, V de valets et A d'as dans la main obtenue. Comme un as vaut 5 points, un roi 4 points, une dame 3 points et un valet 1 point, posons P la VAR égale au nombre de points de la main. On obtient P = 5 × A + 4 × R + 3 × D + 1 × V .

Loi et fonction de répartition d'une VAR

443

CHAPITRE 21.

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

. Probabilité PX

Th.

X une var discrète sur (Ω, P(Ω), P ). PX : P ((X(Ω)) → [0; 1], A 7→ P (X ∈ A) (X(Ω), P ((X(Ω))). PX est appelée loi de X . Soit

est une probabilité sur l'espace probabilisé

Déterminer la loi de probabilité de

Important:

X

revient à déterminer l'ensemble

des couples composés des valeurs prises par X et de ses probabilités correspondantes.

Valeurs prises par

X

:

Pour bien démarrer, il faut cerner les valeurs prises par

X

autrement dit

X(Ω)

en s'appuyant

sur l'énoncé de l'exercice et en justiant par des phrases. Puis pour toute valeur

• (X = x)

X(Ω),

on écrit

(décomposition en événements)

• P (X = x) =...

Th.

de

signie que... (phrases)

• (X = x) =...

Exemple

x

(calcul de la probabilité)

Dans l'exemple précédent, le jeu de 32 cartes comporte 4 rois, nous pourrons donc avoir au plus 4 rois dans la main de 5 cartes et au minimum 0. Donc les valeurs prises par R sont 0, 1, 2, 3 et 4 autement dit R(Ω) = [[0; 4]].

. Formule des probabilités totales

Pour un S.C.E. formé des événements (X = xk ), avec xk ∈ X(Ω) P (B) = P (B ∩ (X = x1 )) + · · · + P (B ∩ (X = xn )) Et si de plus

∀xk ∈ X(Ω), P (X = xk ) 6= 0,

alors

P (B) = PX=x1 (B)P (X = x1 ) + · · · + PX=xn (B)P (X = xn )

Dénition ( Fonction de répartition ) Soit X une var discrète sur (Ω, P(Ω), P ). On appelle fonction de répartition de X la fonction numérique réelle F dénie par F :

  

R→R

  x 7→ P (X 6 x) On considère le jeu suivant : le joueur paie 3 euros pour jouer. Ensuite, il lance trois pièces équilibrées. Pour chaque "Pile" qu'il obtient, il gagne 2 euros On désigne par X le nombre de "Pile" obtenus et par Y le gain (algébrique) du joueur. 1. Quelles sont les valeurs de X ?

Test 546

2. Exprimer Y en fonction de X . 3. Quelles sont les valeurs de Y ? 4. Déterminer la loi de X . 5. Déterminer la loi de Y . 6. Déterminer les fonctions de répartitions de X et de Y .

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Page 444

21.3.

Th.

ESPÉRANCE

. Propriétés de la fonction de répartition

Soient

X

une var discrète sur

(Ω, P(Ω))

et

F

sa fonction de répartition.

∀x ∈ R, F (x) ∈ [0; 1]

1.

2. La fonction

F

est croissante sur

lim F (x) = 0

3.

x→−∞

∀a, b ∈ R,

4.

avec

et

R.

lim F (x) = 1

x→+∞

a < b,

on a

P (a < X 6 b) = F (b) − F (a)

On lance une fois un dé à 6 faces et on note X la VAR égale à la face obtenue. 1. Déterminer la loi de X .

Test 547

2. Etablir sa fonction de répartition. 3. Tracer la représentation graphique de la fonction de répartition.

Th.

. De la fonction de répartition d'une VAR discrète à sa loi

Soit

X une VAR ∀k ∈ N,

discrète à valeurs dans

N.

Alors

P (X = k) = F (k) − F (k − 1) . Caractérisation d'une loi

Th.

Soit

n ∈ N∗. {(xi , pi ), i ∈ [[1; n]]} (Ω, P (Ω)) si

Un ensemble isable ni 1.

card (Ω) ≥ n

2.

∀i ∈ [[1; n]], pi > 0 n X

3.

pi

dénit une loi de probabilité sur un espace probabil-

vaut 1.

i=1

21.3

Espérance

Dénition ( Espérance ) Soit X une var discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ) de loi {(xk , pk ), k ∈ {1; ..; n}}. On appelle espérance mathématique (ou moyenne) de X le nombre noté E(X) déni par E(X) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn I E(X)

est une moyenne des valeurs de

Test 548 Th.

X

pondérée par les probabilités correspondantes.

On considère une urne contenant 1 boule rouge, 2 boules noires et 2 boules jaunes. On eectue des tirages successifs sans remise jusqu'a ce qu'il ne reste plus dans l'urne que deux couleurs diérentes. On note X la var "nombre de tirage eectués". Déterminer la loi de X. Calculer son espérance.

. linéarité de l'espérance 1. Soit

X

une VAR et

a, b

deux nombres réels alors on a

E(aX + b) = aE(X) + b 2. Soient

X, Y 2

VAR alors on a la formule

E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) Page 445

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CHAPITRE 21.

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

Une urne contient 2 blanches et 8 noires. On tire successivement 2 boules. Soit B le nombre de blanches et N le nombre de noires obtenues. 1. On suppose que les tirages sont sans remise. (a) Déterminer la loi de B puis calculer E(B).

Test 549

(b) Trouver une relation liant B et N . (c) En déduire la loi de N et son espérance. 2. Refaire la question précédente lorsque les tirages sont avec remise.

Test 550

Andy est un ivrogne : quand il n'a pas bu la veille, il s'enivre le jour même ; et s'il a bu la veille, il y a une chance sur trois pour qu'il reste sobre. On relève son état d'ivresse pendant 400 jours sachant qu'au jour 0 il était ivre. On note X le nombre de jours où il était sobre, et Xi la variable qui vaut 1 si Andy est sobre le i-ème jour et 0 sinon. 1. Exprimer X en fonction des Xi 1 1 2. Soit pi = P (Xi = 1). Montrer la relation pi = − pi−1 + . 3 3 3. En déduire la loi des Xi puis calculer E(X).

Dénition ( VAR centrée ) 1. Dire que X est centrée signie que E(X) = 0

2. La variable X − E(X) est appelée VAR centrée associée à X 21.4

Moments d'une VAR discrète

Dénition ( Moment d'ordre r ) Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ). Soit r un entier naturel. On appelle moment d'ordre r de X le nombre : mr (X) = E (X r )

Dénition ( Variance ) Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ). On appelle variance de X le nombre :   2 V (X) = E (X − E(X))

(Moyenne quadratique des écarts à la moyenne) Th.

. Calcul de la variance

Soit

X

une VAR discrète nie sur

1. Formule de Huygens : 2. Soient

Test 551

a

et

b

(Ω, P(Ω), P ).

V (X) = E(X 2 ) − E(X)2 .

deux nombres réels, on a

V (aX + b) = a2 V (X).

On lance n fois consécutives une pièce. La probabilité d'obtenir "pile" est p et celle d'obtenir "face" est q = 1 − p. Pour tout entier naturel k, supérieur ou égal à 2, on dit que le ki`eme lancer est un changement s'il amène un résultat diérent de celui du (k − 1)i`eme lancer. On note Xn la variable aléatoire égale au nombre de changements survenus durant les n premiers lancers. 1. Donner la loi de X2 . 2. Donner la loi de X3 . 3. Vérier que E(X3 ) = 4pq et que V (X3 ) = 2pq(3 − 8pq).

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Page 446

21.5.

INÉGALITÉS AVEC

E(X)

ET

V (X).

Dénition ( Ecart-Type ) Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ). On appelle écart-type de X le nombre : p

σ(X) =

V (X)

Dénition ( VAR réduite ) Soit X une var discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ).

1. Dire que X est réduite signie que σ(X) = 1 2. Si σ(X) 6= 0 alors la VAR X ∗ =

X − E(X) est appelée la VAR centrée réduite associée à σ(X)

X. Exemple

: Une urne contient

2

boules blanches et

4

boules noires.

On tire les boules une à une sans les remettre jusqu'à obtenir la première boule blanche. Soit

B

le nombre de

tirages nécessaires. Expliciter la loi de

B,

son espérance et sa variance.

◦

La première boule blanche peut être obtenue au tirage n

1,2,3,4 ou 5 mais pas au tirage 6 car cela impliquerait

que les 5 boules précédentes sont noires, ce qui n'est pas possible donc

B(Ω) = [[1, 5]]. Bi : " piocher

Pour calculer les probabilités correspondantes, on introduit les évènements

i-ième

2 , 6

P (B = 1)

=

P (B1 ) =

P (B = 2)

=

P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 )PB1 (B2 ) =

P (B = 3)

=

P (B1 ∩ B2 ∩ B3 ) = P (B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 ) =

P (B = 4)

=

P (B = 5)

2 4 4 × = 6 5 15

4 3 2 1 × × = 6 5 4 5 P (B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ) = P (B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 )PB1 ∩B2 ∩B3 (B4 )

=

4 3 2 2 2 × × × = 6 5 4 3 15 P (B1 ∩ B2 ∩ B3 ∩ B4 ∩ B5 )

=

P (B1 )PB1 (B2 )PB1 ∩B2 (B3 )PB1 ∩B2 ∩B3 (B4 )PB1 ∩B2 ∩B3 ∩B4 (B5 )

=

3 2 1 2 1 4 × × × × = 6 5 4 3 2 15

=

21.5

une boule blanche au

tirage "

E(B)

=

E(B 2 )

=

V (B)

=

2 4 1 2 1 7 +2× +3× +4× +5× = 6 15 5 15 15 3 2 4 1 2 1 + 32 × + 42 × + 52 × =7 12 × + 22 × 6 15 5 15 15 14 E(B 2 ) − [E(B)]2 = 9 1×

Inégalités avec

E(X)

et

V (X).

Proposition (Positivité de l'espérance) Soit X une VAR discrète nie sur (Ω, P(Ω), P ). Si X est positive alors

1. E(X) ≥ 0. 2. E(X) = 0 si et seulement si P (X = 0) = 1. Proposition (Croissance de l'espérance) Soient X et Y deux VAR discrètes nies sur (Ω, P(Ω), P ). X ≤ Y ⇒ E(X) ≤ E(Y )

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CHAPITRE 21.

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

. Inégalité de Markov

Th.

X une ∀a > 0,

Soit

(Ω, P(Ω), P )

VAR nie sur un espace probabilisé

P (X ≥ a) ≤

E(X) a

. Inégalités de Bienaymé-Tchebychev

Th.

Soit

X

une VAR nie sur un espace probabilisé

(Ω, P(Ω), P ).

P (|X − E(X)| ≥ a) ≤

21.6

VAR Exemple

Soit

à valeurs positives. Alors

∀a > 0,

on a

V ar(X) a2

f (X)

: Soit X une VAR nie telle que

f : x 7→ x2 − 5

1.

Alors

X(Ω) = [[−3; 4]]

et de loi :

x

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

P (X = x)

1 32

3 32

5 32

7 32

4 32

6 32

2 32

4 32

et on pose

Y = f (X).

Y (Ω) = {−5; −4; −1; 4; 11}.

2. Par le théorème de transfert,

E(Y ) = 3. Calculons

1 3 5 7 4 6 2 4 f (−3) + f (−2) + f (−1) + f (0) + f (1) + f (2) + f (3) + f (4) 32 32 32 32 32 32 32 32

P (Y = −1). P (Y = −1)

=

P (f (X) = −1)

P (Y = −1)

=

P (Y = −1)

=


P X 2 − 5 = −1
P X2 = 4

P (Y = −1)

=

P ((X = 2) ∪ (X = −2))

P (Y = −1)

=

P (X = 2) + P (X = −2)

P (Y = −1)

=

P (Y = −1)

=

par incompatibilité,

6 3 + 32 32 9 32

Dénition ( VAR f(X) ) Soit X une var sur (Ω, P(Ω), P ) et f une fonction numérique d'une variable réelle. On note f (X) l'application dénie par  f (X) :

 

Ω→R

  ω 7→ f (X(ω))

Test 552

Soient X une variable aléatoire réelle et g : R+ → R+ une fonction strictement croissante. Montrer que E (g(|X|)) ∀a > 0, P (|X| > a) 6 g(a)

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Page 448

21.7.

LOI UNIFORME

. Loi d'une VAR f(X)

Th.

Soit

Y

X

1.

(Ω, P(Ω), P ), f une (Ω, A, P ) telle que

une var sur

est une var sur

application dénie sur

X (Ω)

et

Y = f (X).

Y (Ω) = f (X(Ω))

2. pour tout

X

y ∈ Y (Ω), P (Y = y) =

P (X = x)

x∈f −1 ({y})

Th.

. Théorème de Transfert

Soit

X

une var nie sur

(Ω, P(Ω), P )

et

E(f (X)) =

f une fonction dénie X f (x)P (X = x)

sur

X (Ω)

alors,

x∈X(Ω)

21.7

Loi uniforme

Dénition ( Loi Uniforme ) Soit n ∈ N∗ , dire qu'une VAR X suit une loi uniforme sur [[1; n]] signie que X(Ω) = [[1; n]]

∀k ∈ [[1; n]], P (X = k) =

1 n

On notera X ,→ U[[1;n]] . Situation caractéristique :

Tous les éventualités sont équiprobables.

Point Méthode : Considérons un dé à 6 faces équilibré.

Soit

X

la VAR égale à la face obtenue au cours d'un

lancer. Rédaction : On lance une fois un dé et les résultats obtenus, de

X, 1 k) = . 6 Donc

1

à

6,

sont tous équiprobables.

la VAR égale au résultat obtenu, suit une loi uniforme sur

[[1; 6]]

et

∀k ∈ [[1; 6]], P (X =

Proposition (Espérance et Variance) Si X ,→ U[[1;n]] alors E(X) =

21.8

n+1 n2 − 1 et V (X) = 2 12

Schéma de Bernoulli

Dénition ( Schéma de Bernoulli ) Soit p ∈]0; 1[. Dire qu'une VAR X suit un schéma de Bernoulli de paramètre p signie que X(Ω) = {0; 1} et P (X = 1) = p et P (X = 0) = 1 − p

On notera X ,→ B(1; p). Situation caractéristique :

Expérience répétée une fois avec 2 issues possibles, succès de probabilité

p

ou échec.

Point Méthode : Timothé mange un morceau de galette des rois. Soit la VAR

Page 449

X

égale à

1

s'il a la fève et

0

sinon.

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CHAPITRE 21.

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

La probabilité d'avoir la fève est de Rédaction :

1 . 8

Soit l'expérience "manger un morceau de galette des rois". A cette expérience, 2 issues sont possibles :

X

1 , 8

•

soit Tim a la fève avec la probabilité

•

soit Tim ne l'a pas avec la probabilité

est la VAR égale à

Donc

X

1

7 . 8

0

si Tim a la fève et

sinon.

suit un schéma de Bernoulli de paramètre

1 , 8

ainsi

P (X = 0) =

7 8

et

P (X = 1) =

1 . 8

Proposition (Espérance et Variance) Si X ,→ B(1, p) alors

E(X) = p et V (X) = p(1 − p)

21.9

Loi binomiale

Dénition ( Loi binomiale ) Soit n un entier naturel non nul et p ∈]0; 1[. Dire qu'une VAR X suit une loi binomiale de taille n et de paramètre p signie que  n  k  n−k X(Ω) = [[0; n]] et ∀k ∈ [[0; n]], P (X = k) =   p (1 − p) k 

On notera X ,→ B(n; p). Situation caractéristique

:

Expérience répétée

n

fois dans des conditions identiques et indépendantes avec, à

chaque fois, 2 issues possibles, succès de probabilité

p

ou échec.

Point Méthode : On tire successivement et avec remise

11

boules dans une urne contenant 4 boules bleues et 2

boules rouges. Soit la VAR

X

égale au nombre de boules bleues obtenues lors des

11

tirages.

Rédaction : Soit l'expérience "tirer une boule dans l'urne". A cette expérience, 2 issues sont possibles :

•

soit elle est bleue avec la probabilité

2 , 3

•

soit elle est rouge avec la probabilité

1 . 3

On la répète

X

11

fois dans des conditions identiques et indépendantes.

comptabilise le nombre de boules bleues obtenues.

Donc

  2 X ,→ B 11; . 3 



 k  11−k 1  11  2 ∀k ∈ [[0; 11]], P (X = k) =   3 3 k

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Page 450

21.9.

LOI BINOMIALE

Proposition (Espérance et Variance) Si X suit la loi binomiale B(n, p) alors E(X) = np et V (X) = np(1 − p)

Test 553

Test 554

Un test consiste à répondre à 5 questions. Pour chaque question 3 réponses sont proposées dont une seule est juste. Un candidat répond au hasard. Chaque réponse juste rapporte 4 points ; chaque réponse fausse coûte 2 points. Soient B le nombre de réponse bonnes, S la somme des points marqués par le candidat et X = max(0; S). Quelle est la loi suivie par B ? Etablir la loi de S . Etablir celle de X et calculer E(X). Une urne contient 2 boules blanches et 8 boules noires. Un joueur tire successivement 5 boules avec remise. S'il tire une boule blanche, il gagne 2 points, sinon il en perd 3. Soit X le nombre de boules blanches et Y le nombre de points obtenus. 1. Déterminer la loi de X, puis E(X) et V (X). Exprimer Y en fonction de X. En déduire la loi de Y, puis E(Y ) et V (Y ). 2. Déterminer la loi de X, puis E(X) si l'on suppose que le jeu est sans remise.

Test 555

1. On pose 20 questions à un candidat. Pour chaque question, k réponses sont proposées dont une seule est la bonne. Le candidat choisit au hasard une des réponses. On lui attribue un point par bonne réponse. Soit X1 le nombre de points obtenus. Déterminez la loi de X1 . 2. Déterminez k pour que le candidat obtienne en moyenne une note de 5 sur 20.

Proposition (Somme de 2 VAR) Soient X1 et X2 deux VAR indépendantes qui suivent respectivement les lois binomiales de même paramètre p, B(n1 , p) et B(n2 , p) alors X1 + X2 suit la loi binomiale B(n1 + n2 , p) Une population de personnes présente une propriété donnée avec une proportion inconnue p ∈ ]0, 1[. On choisit un échantillon de n personnes et l'on pose Xi = 1 si le i-ème individu présente la propriété étudiée, 0 sinon. On considère que les variables aléatoires Xi ainsi dénies sont indépendantes et suivent toute une loi de Bernoulli de paramètre p. a) Quelle est la loi suivie par

Test 556

Sn = X1 + · · · + Xn ?

b) Déterminer espérance et variance de Sn /n. c) Soit ε > 0. Etablir   Sn 1 − p > ε 6 P n 4nε2 d) Pour ε = 0, 05, quelle valeur de n choisir pour que Sn /n soit voisin de p à ε près avec une probabilité supérieure à 95 % ?

Page 451

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CHAPITRE 21.

21.10

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

Exercices

Exercice 1 D1

On dispose de deux dés : un dé cubique

D2

faces marquées 1 et un dé

comporte 1 face marquée 0, 3 faces marquées 2, 2

comportant 3 faces marquées 0, 2 faces marquées 1, 1 face marquée

2.

D1

1. On lance le dé

et on note

X1

le nombre obtenu. Déterminer la loi de

X1

et sa fonction

de répartition. 2. Mêmes questions pour 3. On lance

D1

et

D2

X2

le nombre obtenu en lançant le dé

D2 .

Z = X1 + X2

simultanément, déterminer la loi de

et de

R = X1 X2 .

Exercice 2 U1 et U2 , de six boules numérotées de 1 à 6 ainsi que d'un dé équiliU1 contient les boules numérotées 1 et 2, l'urne U2 contient les boules

On dispose de deux urnes bré. Initialement, l'urne numérotées

3, 4, 5

et

6.

On appelle échange l'expérience consistant à lancer une fois le dé et à changer d'urne la boule portant le numéro obtenu avec le dé. Pour

n

n ∈ N,

on note

Xn

la variable aléatoire égale au nombre de boules contenues dans

U1

après

échanges successifs. 1. Les cinq premiers lancers du dé donnent : Quel est le contenu de 2. Quelle est la loi de

X1

3. Déterminer la loi de

U1

1, 3, 2, 3, 5.

à l'issue du cinquième échange ?

? Calculer son espérance

E(X1 ).

X2 .

4. Quelles sont les valeurs possibles de 5. Montrer que pour tout entier

n

P (Xn+1 = 0) =

de

Xn

N

∗

?

, on a

1 P (Xn = 1) 6

∀k ∈ {1, .., 5}, P (Xn+1 = k) =

et

P (Xn+1 = 6) =

1 P (Xn = 5) 6

7−k k+1 P (Xn = k − 1) + P (Xn = k + 1) 6 6

Exercice 3 Un service après-vente dispose d'équipes de dépannage qui interviennent auprès de la clientèle sur appel téléphonique. Les appels se produisent de façon indépendante, et la probabilité qu'un retard se produise dans le dépannage à la suite d'un appel est

p=

1 . 4 X le E(X).

1. Un même client a appelé le service à 8 dates diérentes. Soit ce client a subi. Dénir la loi de probabilité de

X.

2. On considère un ensemble de 8 clients diérents.

Calculer

nombre de retards que Calculer

V (X).

2 d'entre eux sont mécontents parce

qu'ils ont subi un retard. On contacte 4 clients parmi les 8. Soit mécontents parmi les 4 contactés. Déterminer la loi de

M.

M le nombre E(M ).

de clients

Calculer

Exercice 4 Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire, les boules étant indiscernables au toucher. On y prélève une boule, chaque boule ayant la même probabilité d'être tirée, on note sa couleur,

Lycée Châtelet Douai

Page 452

21.10.

et on la remet dans l'urne avec

c

> 1). n tirages (n > 2). Xi = 1 si on obtient une

EXERCICES

boules de la couleur de la boule tirée ( c

On répète cette épreuve, on réalise ainsi une succession de

(Xi )i∈N

On considère les variables aléatoires

e`me

i

au

tirage et

Xi = 0 sinon. 2 6 p 6 n,

On dénit alors, pour

1. Donner la loi de

X1

X2

puis

3. Que représente la variable 4. Soit

p ∈ N∗ ,

la variable aléatoire

ainsi que

2. Déterminer la loi de

dénies par

Zp

par :

Zp = X1 + · · · + Xp .

E(X1 ).

E(X2 ).

Zp

Zp (Ω)

? Déterminer

déterminer très soigneusement

Xp

P(Zp =k) (Xp+1 = 1)

pour

k ∈ Zp (Ω).

P (Xp+1 = 1) =

est une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre

(Pp ) : X1 , .., Xp

en posant

Z2 .

ainsi que la loi de

5. En utilisant la formule des probabilités totales, montrer que

6. En déduire que

boule blanche

suivent une loi de Bernoulli de paramètre

1 ) 2

1 2

1 + cE(Zp ) 2 + pc

(par récurrence

Exercice 5 Une urne contient 4 boules blanches et 4 noires. On eectue des tirages successifs sans remise. Soit

X1

la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la

X2

boule blanche.

X1 .

1. Déterminer la loi de 2. Soit

1-ère

la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la

2-ième

boule blanche. Déter-

miner sa loi.

Exercice 6 Une urne contient 3 boules bleues, 2 vertes, 5 rouges.

N la VAR E(N ) et V (N ).

1. On tire une à une, avec remise 3 boules de cette urne. Soit boules bleues tirées. Quelle est la loi de

N

? Préciser

2. On tire simultanément 3 boules de cette urne. Soit (a) Etablir la loi de

X

puis calculer

X

égale au nombre de

le nombre de boules bleues tirées.

E(X).

(b) Quelle est la probabilité de tirer 3 boules de la même couleur ? (c) Quelle est la probabilité de tirer 1 boule de chaque couleur ? (d) Quelle est la probabilité de tirer 2 boules au moins de la même couleur ?

Exercice 7 Deux urnes

U1

et

U2

contiennent respectivement 2 boules blanches et 1 noire, et 1 blanche et

3 noires. On eectue un premier tirage dans une urne choisie au hasard et on remet la boule obtenue dans son urne d'origine.

ie`me tirage, (resp. U2 ). Au

si la boule obtenue est blanche (resp. noire), le

On considère la variable aléatoire tirage et

Xi = 0

X1

puis de

P (Xi+1 = 0) P (Xi+1 = 1).

Page 453

dénie par

tirage se fait dans

U1

Xi = 1 si l'on obtient une boule blanche au ie`me

sinon.

1. Donner la loi de 2. Calculer

Xi

(i + 1)e`me

X2 .

en fonction de

P (Xi = 0)

et

P (Xi = 1).

Faire de même avec

Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil

CHAPITRE 21.

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

(P (Xi = 0))i∈N∗ est une suite arithmético-géométrique. P (Xi = 0) en fonction de i puis celle de P (Xi = 1).

3. Montrer que la suite l'expression de 4. Calculer

En déduire

lim P (Xi = 0).

i→+∞

Exercice 8 On réalise une suite de lancers d'une piéce équilibrée.

Pk note X

Fk

On note

(resp.

) l'événement : on obtient pile (resp. face) au

On

la variable aléatoire qui prend la valeur

puis face dans cet ordre aux lancers prenant la valeur 1. Calculer

0

k−1

et

k (k

k

k e´me

lancer".

si l'on obtient pour la première fois pile

désignant un entier supérieur ou égal à 2),

X

si l'on obtient jamais une telle succession.

P (X = 2). (X = 3) = P1 P2 F3 ∪ F1 P2 F3 ,

2. En remarquant que

calculer

P (X = 3).

3. Sur le modéle de la question précédente, écrire, pour tout entier l'événement

(X = k)

4. Déterminer P (X

comme réunion de

= k)

pour tout entier

(k − 1)

k

k

supérieur ou égal à 3,

événements incompatibles.

supérieur ou égal à 2.

Exercice 9 Soit

X

une variable aléatoire binomiale de taille

Calculer l'espérance de la variable

n

et de paramètre

p ∈ ]0, 1[.

1 Y = . X +1

Exercice 10 Une urne contient celle-ci et on note

n X

boules blanches et

n

boules rouges. On tire simultanément

n

boules dans

le nombre de boules rouges obtenues lors de ce tirage.

1. Quelle est la loi de

X

?

2. On considère dans cette question une urne contenant

n−1

laquelle on eectue

tirages simultanés.

obtenues. Quelle est la loi de

n−1 X

3. En remarquant que

Y

n

On note

blanches,

Y

n−1

rouges et dans

le nombre de boules rouges

?

P (Y = j) = 1,

calculer l'espérance de X.

j=0

Exercice 11 Soit

X

une VAR à valeur dans

Calculer l'espérance de

[[0, n]]

telle qu'il existe

a ∈ R

vériant

P (X = k) = a

n k

! .

X.

Exercice 12 Dans une urne contenant

n boules blanches et n boules rouges, on prélève successivement et sans X le nombre de tirages juste nécessaire à l'obtention de toutes les

remise les boules. On note boules rouges.

X.     2n X  k − 1   2n   =  k=n n−1 n

a) Déterminer la loi de

b) En déduire que

c) Calculer l'espérance de

Lycée Châtelet Douai

X.

Page 454

21.11.

21.11

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

Exercices Complémentaires

Exercice 1 Lors d'un concours d'équitation, un cavalier eectue un parcours de 2000 mètres à la vitesse de 10 kilomètres par heure. Il doit franchir 10 obstacles, indépendants les uns des autres. La probabilité de franchir un obstacle sans faute est de 1. On note

X

3 . 5

la variable aléatoire qui désigne le nombre d'obstacles franchis sans fautes par

le cavalier. Déterminer la loi de

X,

ainsi que son espérance.

2. On suppose que si un obstacle est franchi sans faute, le cavalier ne perd pas de temps, dans le cas contraire, le cavalier perd une minute. Soit en minutes du parcours. Exprimer

T

T

en fonction de

la variable aléatoire égale à la durée

X,

en déduire la durée moyenne d'un

parcours.

Exercice 2 Une urne contient

4

boules numérotées de 1 à

4.

On tire successivement 2 boules. Le tirage se

fait avec remise. On considère les variables aléatoires suivantes :

• P

la VAR égale au numéro de la première boule tirée.

• D

la VAR égale au numéro de la seconde boule tirée.

1. Donner les lois respectives de P et D. 2. Soit

X1

la VAR égale au plus petit numéro tiré. Autrement dit

X1 = min(P, D) Calculer 3. Soit

X2

P (X1 = 4).

Etablir la loi de

X1 .

Calculer

E(X1 ).

la VAR égale au plus grand numéro tiré. Autrement dit

X1 = max(P, D) Calculer

P (X2 = 4).

Etablir la loi de

X2 .

Calculer

E(X2 ).

Exercice 3 On dispose d'un paquet de Un joueur

B

A

6

cartes. Ces cartes sont numérotées de

propose à un joueur

à chaque partie :

B

B

tire une carte au hasard, montre le nombre

carte dans le paquet. Puis

A

1

à

6.

le jeu suivant, moyennant une mise de 1 euro que lui verse

β

qu'elle porte et remet la

tire une carte au hasard; quand celle-ci porte le nombre

•

Si

α < β,

alors

A

donne à

B

la somme

(β − α)

•

Si

α > β,

alors

B

donne à

A

la somme de 1 euro :

•

Si

α = β,

alors

B

a simplement perdu 1 euro, le montant de la mise.

euros :

B

B

a donc gagné

2. Soit

X

E(X).

a donc perdu 2 euros.

B

suivant les

B.

Donner la loi de

X.

Le jeu avantage-t-il l'un des joueurs ?

4. Calculer la variance de

Page 455

euros.

(α, β).

la V.A. représentant les gains de

3. Calculer

:

(β − α − 1)

1. Dresser le tableau à double entrée donnant les gains (positifs ou négatifs) de diérentes valeurs du couple

α

X.

Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil

CHAPITRE 21.

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

Exercice 4 Une urne contient

2

boules blanches et

8

Soit

Xn

2

Yn

Exprimer

Xn .

Yn le nombre de points E(Xn ) et V (Xn ). Xn . En déduire E(Yn ) et V (Yn ).

boules

3.

points, sinon il en perd

le nombre de boules blanches et

Déterminer la loi de

n

boules noires. Un joueur tire successivement

avec remise. S'il tire une boule blanche, il gagne

obtenus.

Calculer

en fonction de

Exercice 5 U

On considère deux urnes notées respectivement  l'urne  l'urne

U V

V.

et

On suppose que :

contient deux boules noires et deux boules blanches; contient deux boules noires, deux boules blanches et deux boules vertes.

(E)

1. On considère l'expérience suivante

U,

dans l'urne

: "on tire au hasard et simultanément deux boules

on note leur couleur, puis on les remet dans l'urne

U ".

(a) Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même couleur.

n∈N

Soit

n ≥ 2.

tel que

n

On répète

fois l'expérience

(E)

et on note

N

la variable

aléatoire égale au nombre de fois où on a obtenu deux boules de même couleur lors de ces

n

tirages dans l'urne

(b) Donner la loi de

N

U.

en explicitant

P (N = k)

k

pour

appartenant aux valeurs prises

N.

par

E(N )

(c) Préciser la valeur de l'espérance

de

n

(d) Quelle est la probabilité que, sur ces

N

ainsi que de sa variance

V (N ).

tirages, on ait obtenu au moins une fois deux

boules de même couleur ?

(F)

2. On considère une autre expérience dans l'urne

U.

U.

: "on tire au hasard et simultanément deux boules

Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules de l'urne

Si elles ont des couleurs diérentes, on repose les deux boules dans l'urne

recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne

X

On note

U

le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne

U, a = P (A).

l'événement : "au premier tirage dans l'urne on note

a

sa probabilité, c'est-à-dire

(a) Calculer

P (X = 1), P (X = 2)

(b) Montrer que, pour tout entier 3. On considère deux réels

(un )n≥2

r, s

et

U

puis on

soit vide".

U

soit vide. On désigne par

A

les deux boules sont de même couleur" et

P (X = 3).

n≥2

:

P (X = n) = a(1 − a)n−2 .

distincts et non nuls ainsi qu'un réel

λ.

On considère la suite

dénie par :

u2 = 0,

un+1 = λrn−2 + sun .

∀n ≥ 2,

Montrer par récurrence que :

∀n ≥ 2,

un =

4. On considère une nouvelle expérience boules dans l'urne

V.

de l'urne

V.

(G)


λ rn−2 − sn−2 r−s :

"on tire au hasard et simultanément deux

Si les deux boules sont de même couleur, on enlève ces deux boules

Si elles sont de couleurs diérentes, on repose les deux boules dans l'urne

puis on recommence l'expérience jusqu'à ce que l'urne On note

Y

V, b = P (B).

b

sa probabilité, c'est-à -dire

(a) Calculer la probabilité (b) Calculer

P (Y = 2)

et

V

soit vide".

le nombre de tirages nécessaires pour que l'urne

l'événement : "au premier tirage dans l'urne on note

V

V

soit vide. On désigne par

B

les deux boules sont de même couleur" et

b.

P (Y = 3).

(c) A l'aide du système complet d'événements

(B, B),

démontrer que, pour tout

n≥2

:

P (Y = n + 1) = bP (X = n) + (1 − b)P (Y = n) Lycée Châtelet Douai

Page 456

21.11.

EXERCICES COMPLÉMENTAIRES

(d) A l'aide de la question 3, montrer que :

∀n ≥ 2,

P (Y = n) =


ab (1 − a)n−2 − (1 − b)n−2 b−a

Exercice 6 +∞   X n

xk est valable pour x ∈] − 1, 1[ (1 − x)k+1 k n=k Soit p un nombre réel tel que 0 < p < 2/3. Dans un pays, la probabilité qn n exactement n enfants est de p /2 quand n > 1; par ailleurs, la probabilité, à d'avoir un garçon est de 1/2.

On admet que l'égalité

1. Calculer la probabilité Calculer la probabilité 2. Soient

n ∈ N∗

et

xn =

k ∈ N∗ .

k ∈ N.

qu'une famille ait chaque naissance,

q qu'une famille ait au moins un enfant. q0 qu'une famille n'ait aucun enfant.

k ∈ [[0, n]].

On considère une famille de

n

enfants ;

calculer la probabilité pour que cette famille ait exactement 3. Soit

et

k

garçons.

Calculer la probabilité pour qu'une famille ait exactement

k

garçons.

4. Calculer la probabilité pour qu'une famille n'ait aucun garçon.

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Alain Couteèle et Mélissa Bailloeuil