Variables aléatoires discrètes

PC

2016/2017

VARIABLES ALÉATOIRES DISCRÈTES

1. Une variable aléatoire X vérifie XhΩi = N et P(X = n + 2) = 5P(X = n + 1) − P(X = n) pour tout entier n. Déterminer la loi de X. On exprimera le résultat en fonction d’un ou plusieurs paramètres, dont on précisera quelles valeurs ils peuvent prendre. 2. Loi du nombre d’échecs On réalise une successions d’épreuves indépendantes de Bernoulli de paramètre p. On note X le nombre d’échecs avant le premier succès (X prend la valeur ∞ si il n’y a que des échecs). Déterminer la loi de X. Quelle est la probabilité de l’événement (X = ∞) ? 3. Voir aussi l’exercice 34 pour une généralisation Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G (p). Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X + Y . 4. Centrale Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes, suivant respectivement les lois G (p1 ) et G (p2 ) (p1 6= p2 ). a) Déterminer la loi de la variable aléatoire S = X1 + X2 . Retrouver le cas p2 = p1 comme «cas limite». b) Déterminer la loi de la variable aléatoire D = X1 − X2 . 5. Un sauteur tente de franchir des haies de plus en plus hautes. Pour n > 2, il ne peut tenter de franchir la nème haie que s’il a franchi la haie précédente ; il réussit alors avec la probabilité n1 . On suppose également qu’il franchit première haie avec probabilité 1. On note X la variable aléatoire indiquant le numéro de la dernière haie franchie (et X = ∞ s’il franchit toutes les haies). Déterminer la loi de X. Déterminer la probabilité de l’événement (X = ∞). 6. Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois géométriques de paramètres p et q > 0. Quelle est la probabilité que la matrice suivante soit diagonalisable ?   X 1 A= . 0 Y 7. Loi hypergéométrique : tirage sans remise On dispose d’une urne contenant N boules, dont certaines sont noires (en proportion p) et les autres blanches. On effectue n tirages successifs et sans remise d’une boule dans l’urne, et on note X le nombre de boules noires tirées. a) Déterminer la loi de X. b) Déterminer, pour chaque entier k, la limite de P(X = k) lorsque N tend vers l’infini. Expliquer. 8. CCP On dispose de deux urnes et de deux jetons que l’on place au hasard dans ces urnes. On effectue une succession de tirages en respectant le protocole suivant : on choisit aléatoirement une deux deux urnes. – si l’urne choisie est non vide, on y tire une boule, que l’on replace aléatoirement dans l’une des deux urnes ; – sinon, on tire une boule dans l’urne non vide, que l’on replace aléatoirement dans l’une des deux urnes. Pour tout entier n ∈ N, on note Xn le nombre de boules situées dans la première urne et on pose   P(Xn = 0) Un = P(Xn = 1) . P(Xn = 2)

1

a) Trouver une matrice A ∈ M3 (R) telle que, pour tout entier n ∈ N, on ait Un+1 = AUn . b) Donner une base du noyau de A. Quelle valeur propre de A vient-on d’identifier ? c) Quelle propriété vérifient les lignes de la matrice A ? En déduire une valeur propre de AT (donc de A). Déterminer un vecteur propre associé (pour la matrice A). d) Trouver une troisième valeur propre et  un vecteur propre associé. La matrice A est-elle diagonalisable ?  `0 e) Démontrer que Un admet une limite `1 , indépendante des probabilités initiales P(X0 = k). Dé`2 terminer cette limite. 9. Soient X1 et X2 deux variables aléatoires indépendantes suivant respectivement les lois géométrique G (p1 ) et G (p2 ). a) Déterminer, pour tout entier k, la probabilité P(X1 > k). b) En déduire la loi de la variable aléatoire Z = min(X1 , X2 ). Vérifier en particulier que c’est encore une loi géométrique (de quel paramètre ?). c) Déterminer la loi de la variable aléatoire U = max(X1 , X2 ). Est-ce encore une loi géométrique ? 10. Soient X, Y deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètres respectifs λ et µ. Déterminer la loi de X sachant X + Y = n. Reconnaître cette loi. 11. On considère n variables aléatoires indépendantes X1 , . . . , Xn , de fonctions de répartition respectives F1 , . . . , Fn . On note Y = max(X1 , . . . , Xn ) et Z = min(X1 , . . . , Xn ). Déterminer les fonctions de répartition de Y et Z. 12. On considère deux variables aléatoires indépendantes X, Y suivant toutes deux la loi du nombre d’échecs de paramètre p (cf. exercice 2). a) Calculer les probabilités P(Y > X) et P(Y = X). Étudier le cas particulier p = 12 . b) On pose U = max(X, Y ) et V = min(X, Y ). En calculant les probabilités P(U 6 u, V > v), déterminer les lois des variables aléatoires U et V . Reconnaître la loi de V . c) On pose W = U − V . Déterminer sa loi. 13. Soient X, Y deux variables aléatoires à valeurs dans N. On suppose que la loi conjointe de X et Y vérifie P(X = n, Y = p) = où a) b) c)

a n!p!

a∈R Déterminer la valeur de a. Reconnaître les lois marginales de X et Y . Les variables X et Y sont elles indépendantes ?

14. Soient X, Y, Z trois variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G (p). a) Déterminer la loi de S = X + Y . b) Déterminer la loi conditionnelle de X sachant (S = k) pour tout k > 2. c) Calculer P(S > n) pour tout entier n > 2. d) Calculer les probabilités P(S > Z), P(S 6 Z) et P(S = Z). 15. CCP Un joueur tire un nombre N ∈ N∗ , avec P(N = n) = 21n pour tout n > 1. Si N est pair, la joueur gagne N jetons ; sinon, il en perd N . Donner la probabilité que le joueur gagne, l’expression de son gain algébrique G et son espérance. 16. Le nombre N de voitures passant devant une station d’essence en un jour suit la loi de Poisson de paramètre λ > 0. Chaque voiture décide de s’arrêter à la station avec probabilité p indépendamment des autres. On note K le nombre de voitures qui s’arrêtent à la station. Déterminer l’espérance de K. 17. On dispose d’une pièce déséquilibrée, qui tombe sur Face avec probabilité p ∈ ]0, 1[. On lance la pièce jusqu’à l’obtention d’au moins un résultat «Face» et au moins un résultat «Pile». a) Démontrer que le jeu s’arrête presque sûrement. b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de lancers nécessaires pour que le jeu se termine. Calculer E(X). Pour quelle valeur de p cette espérance est-elle minimale ? 18. On suppose que chaque naissance amène une fille ou un garçon avec même probabilité, et que chaque famille décide d’avoir des enfants tant qu’elle n’a pas eu de garçon (les naissances s’arrêtent dès le premier garçon). On note F (resp. G) le nombre de filles (resp. de garçons) par famille. Déterminer la loi de F et de G, ainsi que leur espérance. 2

19. On dispose de N dés. On les lance une première fois et on note X1 le nombre de 6 obtenus. On relance alors les dés n’ayant pas donné 6 et on note X2 le nombre de 6 obtenus lors de ce deuxième lancer. On répète l’expérience indéfiniment (lorsque tous les dés ont amené 6, on n’en lance plus aucun et on a alors Xk = 0). Pour tout entier n > 1, on note Sn = X1 + · · · + Xn : nombre total de dés ayant amené 6 à l’issue des n premiers lancers. a) Démontrer, par récurrence, que Sn suit une loi B(N, pn ), où pn est à déterminer. b) Démontrer que l’événement «tous les dés finissent par donner 6 en un temps fini» est quasi-certain. c) On définit alors la variable aléatoire  T = min n > 1|Sn = N . Déterminer la loi de T . Que reconnaît-on dans le cas N = 1 ? d) Vérifier que la variable aléatoire T admet une espérance et exprimer celle-ci sous forme de somme (finie). 20. On considère une suite (Xn )n>1 de variables aléatoires indépendantes de même loi B(p) et on étudie la première apparition de deux succès consécutifs dans cette suite. Pour tout entier n > 1, on note An l’événement «les deux premiers succès consécutifs ont lieu aux rangs n et n + 1». a) Calculer P(A1 ) et P(A2 ). Démontrer que, pour tout entier n > 1, on a P(An+2 ) = (1 − p)P(An+1 ) + p(1 − p)P(An ). b) Démontrer que l’événement «on obtient deux succès consécutifs en un temps fini» est quasi-certain. c) On note T la variable aléatoire définie par l’égalité ∀n > 1, l’événement An est égal à l’événement (T = n). Démontrer que T admet une espérance et la calculer. 21. Une ampoule a une durée de vie (exprimée en jours) T qui suit la loi géométrique G (p). Quelle est la durée de vie moyenne de cette ampoule ? Au bout de n jours, l’ampoule fonctionne encore. Quelle est la durée moyenne pendant laquelle elle fonctionnera encore ? 22. Régression linéaire Soient X et Y deux variables aléatoires admettant chacune une variance. On suppose que σ 2 (X) > 0. Déterminer les réels a et b qui minimisent la quantité 
2  E Y − (aX + b) . Vérifier que la valeur minimale est σ 2 (X)σ 2 (Y ) − Cov(X, Y )2 . σ 2 (X) 23. Soit X une variable aléatoire suivant une loi géométrique G (p). Déterminer l’espérance de la variable 1 aléatoire Y = X . 24. Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson P(λ). Déterminer l’espérance de la variable 1 aléatoire Y = X+1 . 25. Mines On considère  n variables aléatoires indépendantes X1 , . . . , Xn , suivant chacune une loi binomiale B(p).  X1   On pose U =  ...  et M = U U T . Xn a) Donner la loi de rg(M ) et de Tr(M ). b) Quelle est la probabilité que M soit une matrice de projection ? 26. Une urne contient initialement une boule blanche et une boule noire. On effectue une succession de tirages. À chaque tirage, on ajoute c boules de la même couleur que celle que l’on vient de tirer. On note Xn la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si le nème tirage amène une boule blanche et 0 sinon. Enfin, on note Zn = X1 + · · · + Xn . a) Déterminer, pour n ∈ N∗ et k ∈ [[0, n]], P(Xn+1 = 1 | Zn = k). Démontrer que P(Xn+1 = 1) = b) Déterminer la loi de Xn pour tout entier n > 1. 3

1 + cE(Zn ) . 2 + cn

27. Utilisation des fonctions indicatrices À la fin du spectacle, n personnes reprennent leur manteau au vestiaire. On donne à chacun un manteau choisi aléatoirement parmi les n manteaux. On note X le nombre de personnes retrouvant leur manteau. Pour tout entier k, on note Ak l’événement «la personne no k retrouve son manteau». En exprimant la variable aléatoire X en fonction des variables aléatoires 1Ak , déterminer l’espérance de X. 28. Problème du collectionneur Des vignettes sont en vente, à l’unité, sous emballage opaque. La collection complète comporte n vignettes. On suppose qu’à chaque achat, la probabilité d’obtenir chacune des n vignettes est la même. a) On achète n vignettes et on note X le nombre de vignettes manquantes pour terminer la collection. Exprimer la variable aléatoire X en fonction des variables aléatoires 1Ak , où Ak est l’événement «la vignette numéro k manque à la collection». En déduire l’espérance de X. b) On décide d’acheter des vignettes jusqu’à ce que la collection soit complète. On note Tk le temps d’attente nécessaire à l’obtention de la k ème vignette à partir du moment où l’on obtient la k − 1ème vignette distincte (nombre de vignettes qu’il faut encore acheter en plus de celles qu’on a déjà achetées), et Sn le nombre total de vignettes à acheter pour avoir la collection complète. Déterminer l’espérance Pn de Tn en fonction de Hn = k=1 k1 . Combien faut-il s’attendre à acheter de vignettes lorsque n = 20 ? 29. On suppose que n personnes se retrouvent dans l’ascenseur d’un immeuble comportant p étages. Chacune s’arrête à l’un quelconque des étages. On note X le nombre d’arrêts de l’ascenseur. Déterminer E(X). 30. On joue à Pile ou Face avec une pièce donnant Pile avec probabilité p. On note N le nombre de lancers nécessaires à l’obtention du premier Pile ; on relance alors la pièce N fois. Déterminer l’espérance du nombre total X de Pile obtenus. 31. On considère deux variables aléatoires X, Y indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G (p). Déterminer l’espérance de la variable aléatoire Z = X/Y . 32. On lance une infinité de fois une pièce, qui sort Pile avec probabilité p. On s’intéresse à la longueur L1 de la première séquence homogène (i.e. composée uniquement de Pile, ou de Face). a) Déterminer la loi de L1 et son espérance. Pour quelle valeur de p cette espérance est-elle minimale ? Quel vaut-elle ? Interpréter. b) Déterminer la loi de L2 , longueur de la deuxième séquence homogène, ainsi que son espérance. 33. CCP P∞ Une variable aléatoire X vérifie GX (t) = λ n=0 loi de X. En déduire E(X) et V(X).

n2 +n+1 n t n!

pour un certain λ ∈ R. Déterminer λ puis la

34. Loi binomiale négative On considère une suite (X1 , . . . , Xn ) de variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi géométrique G (p). On note Sn = X1 + · · · + Xn . a) Quelles sont les valeurs prises par la variable aléatoire Sn ? Comment cela se traduit-il sur sa fonction génératrice ? b) Déterminer la fonction génératrice de Sn .
k−1 n c) Démontrer que, pour tout k > n, on a P(Sn = k) = k−n p (1 − p)k−n . On pourra commencer par

−n k−n k−1 vérifier que, pour k > n, on a k−n = (−1) k−n . 35. On lance une pièce supposée équilibrée n fois de suite. a) À quelle condition sur n la fréquence du nombre de Pile obtenus est-elle comprise entre 40% et 60%, avec une probabilité de 95% au moins ? b) À l’issue de 1 000 lancers, on observe une proportion de Pile égale à 65%. Peut-on considérer que la pièce est équilibrée ? 36. On considère une suite (Xn )n de variables aléatoires à valeurs dans N admettant chacune une espérance. On suppose que E(Xn ) −→ 0. Démontrer que P(Xn = 0) −→ 1. n→∞

n→∞

37. On considère une suite (Xn )n>1 de variables aléatoires indépendantes, suivant chacune une loi de Bernoulli B(p). On pose Yn = Xn Xn+1 . a) Déterminer la loi, l’espérance et la variance de Yn . b) Étudier, pour n, p > 1, l’indépendance de Yn et Yp . Calculer la covariance des ces deux variables aléatoires. c) On pose Zn = n1 (Y1 + · · · + Yn ). Calculer l’espérance et la variance de Zn .
d) Démontrer que, pour tout réel ε > 0, on a P |Zn − p2 | > ε −→ 0. n→∞

4