Variables aléatoires et Lois de probabilité - Estimation Jean Gaudart Laboratoire d’Enseignement et de Recherche sur le Traitement de l’Information Médicale
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Faculté de Médecine Université de la Méditerranée
J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
2011
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plan 1. Variables Aléatoires 2. Lois de Distribution 2.1 Présentation 2.2 Loi Uniforme 2.3 Loi Normale 2.4 Loi de Student 2.5 Loi du Chi 2 2.6 Loi de Bernoulli et Loi Binomiale 2.7 Loi de Poisson
3. Estimation 3.1 Estimations ponctuelles 3.2 Estimations par intervalle J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Caractéristiques
1. Variables Aléatoire 1.1 Présentation • Exemples – Age (en années) – Tension artérielle systolique (en mmHg) – Stades de gravités d’une maladie (0-1-2-3-4) – Sexe (Homme/Femme) – Cancer (Présence/Absence) – Nombre de malades – … → Mesures qui varient d’un individu à l’autre J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Caractéristiques
• Caractériser une variable aléatoire ⇒ statistiques descriptives – – – – – –
Age (en années) Moyenne, variance, % classes d’âges Tension artérielle systolique (en mmHg) Moyenne, variance Stades de gravités d’une maladie (0-1-2-3-4) n, % n, % Sexe (Homme/Femme) Cancer (Présence/Absence) n, % Moyenne, variance, % >k Nombre de malades
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Caractéristiques
• Exemple – Pourcentage d’individus par classe d’âge dans la population française, au 1er Janvier 2011 %
Mesure : Age J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Présentation Caractéristiques
Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
1.2 Caractéristiques d’une V.A. • Variables Qualitatives ⇒ Mesure d’une qualité – Sexe (Homme/Femme) – Maladie (Présence/Absence) – Stades de gravité (0-1-2-3-4) Attention aux codes Plusieurs modalités, 1 individu ∈ 1 seule modalité
⇒ Types – Nominal : sans ordre – Ordinale : avec ordre J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Présentation Caractéristiques
⇒ Caractéristiques – – – – –
Nombre d’individus par modalités Pourcentages d’individus par modalités Classe modale, classe médiane Pourcentages d’individus > une classe (VA ordinales) Diagramme bâton
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Caractéristiques
• Variables Quantitatives ⇒ Mesure d’une quantité – Âge – TAS – Nombre d’enfants dans une fratrie Plusieurs valeurs, 1 individu = 1 seule valeur
⇒ Types – Continue : ex TAS – Discrète : ex Nombre d’enfants Les VA continues sont souvent discrétisées : Âge en années J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Caractéristiques
⇒ Caractéristiques – – – –
Moyenne, variance, mode, médiane Nombre ou % d’individus par classes (VA discrétisées) Pourcentages d’individus > une Valeur Histogramme
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Lois
2. Lois de distribution 2.1 Présentation Depuis plusieurs siècles, de nombreuses mesures ont été réalisées et caractérisées ⇒Caractéristiques similaires / types de mesures ⇒Classification de types de mesures ⇒Règles ou lois et propriétés mathématiques Exemple: loi Normale
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• Exemple : Tension Artérielle Systolique n = 58; m=126 mmHg; var=75,9 mmHg²; min=106mmHg; max=143 mmHg
0.00
0.01
0.02
Density
0.03
0.04
0.05
Histogram of TAS
110
120
130
140
TAS4
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Présentation Lois
f(x)
x
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2.2 Loi Uniforme ⇒ Caractéristiques
Présentation Loi Uniforme
1 f ( x ) = (b − a ) si a ≤ x ≤ b 0 si non
– min = a, max = b
a+b µ= 2 2 ( b − a) σ² =
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Loi Normale
2.3 Loi Normale (Laplace – Gauss) f (x ) = ⇒ Caractéristiques – moyenne = µ, variance = σ²
1 x − µ 2 exp − 2 2 2 σ 2σ π 1
n
µ=
∑x i =1
n
n
σ² =
∑ (x i =1
i
i
− µ )²
n
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Présentation Loi Normale
• cas particulier: la loi Normale centrée réduite µ= 0 et σ²=1
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Loi de Student
2.4 Loi de Student (William Gosset) ⇒ Caractéristiques – moyenne = µ, variance = σ², degrés de liberté = ν
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Présentation Loi du Chi 2
Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
2.5 Loi du Chi 2 (Karl Pearson) ⇒ Caractéristiques – degrés de liberté = ν
µ =ν σ ² = 2ν
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Loi Bernoulli / Binomiale
2.6 Loi de Bernoulli et loi Binomiale (Jacques Bernoulli) ⇒ Loi de Bernoulli => loi des variables binaires (succès/échec; 0/1) ⇒Caractéristiques – Probabilité que la mesure prenne la valeur 1 p(X=1)= p p si x = 1 P ( X = x ) = 1 − p si x = 0 0 si non
µ=p σ ² = p (1 − p ) J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Présentation Loi Bernoulli / Binomiale
⇒ Loi Binomiale=> loi du nombre de succès ⇒ Caractéristiques – Probabilité de succès p – Nombre de sujets (nombre d’épreuves) n
µ = np
p (1 − p ) σ² = n
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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation
Présentation Loi de Poisson
2.7 Loi de Poisson (Siméon-Denis Poisson) ⇒loi des variables de comptage ⇒Caractéristiques – Nombre moyen λ
µ=λ σ² = λ
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• exemple : SARM, comptage des prélèvements positifs
0.04 0.03 0.00
0.01
0.02
Density
0.05
0.06
Histogram of SAR
15
20
25
30
35
40
45
SARM
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Théorème central limite Soit Xn une suite de n variable aléatoires de même loi quelconque , de moyenne µ et de variance σ² Si n est grand, M suit une loi Normale de moyenne µ et de variance σ²/n
http://www.aiaccess.net/French/Glossaires/GlosMod/f_gm_central.htm
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3. Estimation
3.1 Estimation ponctuelle Quelles sont les vraies valeurs, dans la population, lorsqu’on ne possède que des observations faîtes sur un échantillon? Valeur la plus vraisemblable => estimation ponctuelle • Exemples: − TAS moyenne chez un type de patients − % BMI>35 dans la population − Nombre moyen d’infections nosocomiales dans un hôpital J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université
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Références Jean Bouyer: éditions INSERM
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Jean Bouyer: Epidémiologie, méthodes quantitatives, éditions INSERM Coll.: Biostatistiques, éditions Omnisciences
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