Variables aléatoires et Lois de probabilité - Estimation

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Variables aléatoires et Lois de probabilité - Estimation Jean Gaudart Laboratoire d’Enseignement et de Recherche sur le Traitement de l’Information Médicale [email protected]

Faculté de Médecine Université de la Méditerranée

J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

2011

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plan 1. Variables Aléatoires 2. Lois de Distribution 2.1 Présentation 2.2 Loi Uniforme 2.3 Loi Normale 2.4 Loi de Student 2.5 Loi du Chi 2 2.6 Loi de Bernoulli et Loi Binomiale 2.7 Loi de Poisson

3. Estimation 3.1 Estimations ponctuelles 3.2 Estimations par intervalle J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Caractéristiques

1. Variables Aléatoire 1.1 Présentation • Exemples – Age (en années) – Tension artérielle systolique (en mmHg) – Stades de gravités d’une maladie (0-1-2-3-4) – Sexe (Homme/Femme) – Cancer (Présence/Absence) – Nombre de malades – … → Mesures qui varient d’un individu à l’autre J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Caractéristiques

• Caractériser une variable aléatoire ⇒ statistiques descriptives – – – – – –

Age (en années) Moyenne, variance, % classes d’âges Tension artérielle systolique (en mmHg) Moyenne, variance Stades de gravités d’une maladie (0-1-2-3-4) n, % n, % Sexe (Homme/Femme) Cancer (Présence/Absence) n, % Moyenne, variance, % >k Nombre de malades

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Caractéristiques

• Exemple – Pourcentage d’individus par classe d’âge dans la population française, au 1er Janvier 2011 %

Mesure : Age J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Présentation Caractéristiques

Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

1.2 Caractéristiques d’une V.A. • Variables Qualitatives ⇒ Mesure d’une qualité – Sexe (Homme/Femme) – Maladie (Présence/Absence) – Stades de gravité (0-1-2-3-4) Attention aux codes Plusieurs modalités, 1 individu ∈ 1 seule modalité

⇒ Types – Nominal : sans ordre – Ordinale : avec ordre J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Caractéristiques

⇒ Caractéristiques – – – – –

Nombre d’individus par modalités Pourcentages d’individus par modalités Classe modale, classe médiane Pourcentages d’individus > une classe (VA ordinales) Diagramme bâton

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Caractéristiques

• Variables Quantitatives ⇒ Mesure d’une quantité – Âge – TAS – Nombre d’enfants dans une fratrie Plusieurs valeurs, 1 individu = 1 seule valeur

⇒ Types – Continue : ex TAS – Discrète : ex Nombre d’enfants Les VA continues sont souvent discrétisées : Âge en années J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Caractéristiques

⇒ Caractéristiques – – – –

Moyenne, variance, mode, médiane Nombre ou % d’individus par classes (VA discrétisées) Pourcentages d’individus > une Valeur Histogramme

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Lois

2. Lois de distribution 2.1 Présentation Depuis plusieurs siècles, de nombreuses mesures ont été réalisées et caractérisées ⇒Caractéristiques similaires / types de mesures ⇒Classification de types de mesures ⇒Règles ou lois et propriétés mathématiques Exemple: loi Normale

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• Exemple : Tension Artérielle Systolique n = 58; m=126 mmHg; var=75,9 mmHg²; min=106mmHg; max=143 mmHg

0.00

0.01

0.02

Density

0.03

0.04

0.05

Histogram of TAS

110

120

130

140

TAS4

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Présentation Lois

f(x)

x

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2.2 Loi Uniforme ⇒ Caractéristiques

Présentation Loi Uniforme

 1 f ( x ) =  (b − a ) si a ≤ x ≤ b  0 si non

– min = a, max = b

a+b µ= 2 2 ( b − a) σ² =

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Présentation Loi Normale

2.3 Loi Normale (Laplace – Gauss) f (x ) = ⇒ Caractéristiques – moyenne = µ, variance = σ²

 1  x − µ  2  exp −  2   2  2  σ   2σ π 1

n

µ=

∑x i =1

n

n

σ² =

∑ (x i =1

i

i

− µ )²

n

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Présentation Loi Normale

• cas particulier: la loi Normale centrée réduite µ= 0 et σ²=1

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Présentation Loi de Student

2.4 Loi de Student (William Gosset) ⇒ Caractéristiques – moyenne = µ, variance = σ², degrés de liberté = ν

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Présentation Loi du Chi 2

Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

2.5 Loi du Chi 2 (Karl Pearson) ⇒ Caractéristiques – degrés de liberté = ν

µ =ν σ ² = 2ν

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Loi Bernoulli / Binomiale

2.6 Loi de Bernoulli et loi Binomiale (Jacques Bernoulli) ⇒ Loi de Bernoulli => loi des variables binaires (succès/échec; 0/1) ⇒Caractéristiques – Probabilité que la mesure prenne la valeur 1 p(X=1)= p  p si x = 1  P ( X = x ) = 1 − p si x = 0  0 si non 

µ=p σ ² = p (1 − p ) J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Variable Aléatoire Lois de distribution Estimation

Présentation Loi Bernoulli / Binomiale

⇒ Loi Binomiale=> loi du nombre de succès ⇒ Caractéristiques – Probabilité de succès p – Nombre de sujets (nombre d’épreuves) n

µ = np

p (1 − p ) σ² = n

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Présentation Loi de Poisson

2.7 Loi de Poisson (Siméon-Denis Poisson) ⇒loi des variables de comptage ⇒Caractéristiques – Nombre moyen λ

µ=λ σ² = λ

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• exemple : SARM, comptage des prélèvements positifs

0.04 0.03 0.00

0.01

0.02

Density

0.05

0.06

Histogram of SAR

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20

25

30

35

40

45

SARM

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Théorème central limite Soit Xn une suite de n variable aléatoires de même loi quelconque , de moyenne µ et de variance σ² Si n est grand, M suit une loi Normale de moyenne µ et de variance σ²/n

http://www.aiaccess.net/French/Glossaires/GlosMod/f_gm_central.htm

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3. Estimation

3.1 Estimation ponctuelle Quelles sont les vraies valeurs, dans la population, lorsqu’on ne possède que des observations faîtes sur un échantillon? Valeur la plus vraisemblable => estimation ponctuelle • Exemples: − TAS moyenne chez un type de patients − % BMI>35 dans la population − Nombre moyen d’infections nosocomiales dans un hôpital J Gaudart, LERTIM, Aix-Marseille Université

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Références Jean Bouyer: éditions INSERM

,

Jean Bouyer: Epidémiologie, méthodes quantitatives, éditions INSERM Coll.: Biostatistiques, éditions Omnisciences

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