variables aléatoires, lois classiques

U NIVERSITÉ PAUL V ERLAINE – M ETZ

L2 Mathématiques

D ÉPARTEMENT DE M ATHÉMATIQUES

Probabilités et statistiques

Feuille no. 2

2007/2008 Ph. Bonneau

VARIABLES ALÉATOIRES , LOIS

Exercice I Dans chacun des cas suivants, donner la loi de probabilités de la variable aléatoire,calculer et représenter graphiquement sa fonction de répartition et calculer son espérance et sa variance. 1. On lance un seul dé équilibré et on note X la variable aléatoire du résultat obtenu. 2. On lance 2 dés équilibrés et on note X la somme des résultats obtenus et Y l’écart des résultats obtenus. Exercice II On joue à pile ou face avec une pièce équilibrée. On gagne 1 euros pour pile et on perd 1 euro pour face. On joue 6 fois de suite et on note X la variable aléatoire du gain obtenu après ces 6 parties. Donner la loi de probabilités de X, calculer et représenter graphiquement sa fonction de répartition FX et calculer l’espérance et la variance de X. Exercice III On lance 2 dés équilibrés et on note S la somme des résultats obtenus. – Si 2 ≤ S ≤ 3, on obtient 20 points ; – si 3 < S ≤ 5,on obtient 10 points ; – si 5 < S < 10,on obtient 5 points ; – si 10 ≤ S ≤ 12, on obtient 1 point. Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le nombre de points marqués. 1. Donner la loi de probabilités de X, calculer et représenter graphiquement sa fonction de répartition FX et calculer l’espérance et la variance de X. 2. Quelle est la probabilité d’obtenir strictement moins de 10 points ? plus de 2 points ? Exercice IV Un sac contient quatre jetons noirs et quatre jetons blancs. 1. On considère des séries de quatre tirages dans le sac avec remise. On note X la variable aléatoire qui à chaque tirage associe le nombre de jetons noirs tirés. Déterminer la loi de X, sa fonction de répartition, son espérance et sa variance. Quelle est la probabilités de tirer au moins un jetons noirs et strictement moins de 4 jetons noirs ? 2. On tire maintenant 4 jetons du sac, simultanément. Répondre aux mêmes questions. Exercice V Une loterie comporte 20 billets dont 2 gagnants, l’un pour un lot de 100 euros, l’autre pour un lot de 60 euros. On achète trois billets. 1. Calculer les probabilités des événements suivants : – A = “gagner les 2 lots” ; – B = “gagner le lot de 100 euros seulement” ; – C= “gagner le lot de 60 euros seulement” ; – D= “ne rien gagner”. 2.

(a) Déterminer la loi de probabilités de la variable aléatoire X qui à chaque ensemble de trois billets achetés associe la somme gagnée ; (b) calculer l’espérance de gain m = E(X) ; m (c) On fixe le prix de vente du billet à . Vérifier que la vente des 20 billets permet d’obtenir la somme mises en jeu. 3

Exercice VI Une urne contient 6 boules dont quatre de couleur blanche et deux de couleur rouge. On tire trois boules simultanément dans l’urne. 1. Soit X la variable aléatoire qui à toute épreuve associe le nombre de boules rouges tirées. Déterminer la loi de X et sa fonction de répartition.

2. Soit X 0 la variable aléatoire qui à toute épreuve associe le nombre de boules blanches tirées. Déterminer la loi de X 0 et sa fonction de répartition. 3. On répète 4 fois l’épreuve 1. On désigne par Y le nombre de fois où l’événement (X ≥ 1) s’est réalisé. Déterminer la loi de Y Exercice VII On suppose que le pourcentage de gauchers est de 1%. Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de gauchers dans un échantillon de 200 personnes choisies au hasard dans la population. Déterminer la loi de X. Quelle est la probabilité pour qu’il y ait moins de 4 gauchers dans l’échantillon ? Quelle est la probabilité pour qu’il y ait plus de 6 gauchers dans l’échantillon ? Exercice VIII Dans la production d’une machine fabricant des pièces en série, on trouve 8% de pièces defectueuses. Dans un contrôle portant sur 40 pièces, quelle est la probabilité qu’on en trouve 4 défectueux ? quelle est la probabilité qu’on en trouve au plus 4 défectueux ? Dans un contrôle portant sur 100 pièces, quelle est la probabilité qu’on en trouve 6 défectueux ? quelle est la probabilité qu’on en trouve au plus 9 défectueux ? Exercice IX Dans un texte de 1000 lignes, on trouve en moyenne 25 erreurs typographiques, quelle est la probabilité de trouver moins de 4 erreurs dans un texte de 100 lignes. Exercice X Un chef d’entreprise, pour éviter l’attente des camions venant livrer, envisage de construire de nouveau poste de déchargement. Il y en a actuellement 5. Pour simplifier l’étude, on considère qu’il faut une journée entière pour décharger un camion. On désigne par X la variable aléatoire mesurant le nombre de camion venant livrer chaque jour. 1. Une enquète statistique préalable à montré qu’on pouvait assimiler la loi de X à une loi de Poisson de paramètre λ = 4. (a) quelle est, à 10−3 près, la probabilité de n’avoir aucun camion en attente ? (b) combien faudrait-il de postes de déchargement pour porter cette probabilité à 0, 95 ? 2. On prévoit à l’avenir de doubler la fréquence de livraison, ce qui porterait le paramètre λ de la loi de Poisson de la variable aléatoire X à λ = 8. Combien faudrait-il alors de postes de déchargement pour que la probabilité de n’avoir aucun camion en attente soit supérieure à 0, 95 ? Exercice XI Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite. 1. calculer les probabilités P(X < 0),

P(X < 0, 82),

P(X > 1, 42),

P(X > −1, 95),

P(−1 < X < 1),

P(−1, 5 < X < 2, 25) P(|X| > 2).

2. calculer la valeur de a pour que P(X < a) = 0, 8238,

P(X > a) = 0, 0632,

P(X < a) = 0, 0268,

P(X > a) = 0, 9651 .

Exercice XII 1. La variable aléatoire X suit une loi N(18; 2, 5). Calculer les probabilités P(X < 17),

P(X > 20),

P(16 < X < 19, 5) .

2. La variable aléatoire X suit une loi N(68; 15). calculer la valeur de a pour que P(X < a) = 0, 8315. Exercice XIII Une agence de vente par correspondance fournit aux personnes intéressées une documentation sur le produit qui les intéresse. On estime qu’une personne sur 10 ayant recu la documentation passe commande. Sur 600 personnes qui ont recu la documentation, quelle est la probabilité pour qu’il y ait au moins 70 commandes ? quelle est la probabilité pour qu’il y ait plus de 50 commandes ?