Variables aléatoires réelles à densité

S4 Maths 2011-2012

Probabilités 1

Variables aléatoires réelles à densité

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences

2011-2012

Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1

Variables aléatoires réelles à densité Soient X une v.a.r. définie sur un espace probabilisé , A, P , à valeurs dans X , P X la probabilité image de P par X, F X la fonction de répartition de X (et de P X ). On a déjà vu que : F X est croissante sur , à valeurs dans 0, 1 , continue à droite en tout point, et vérifie xlim F X x 0 et lim F X x PX x 1. De plus, F X est continue en x si et seulement si P X x 0. x On a déjà étudié le cas où X est une v.a.r. discrète : F X est une fonction en escalier sur et les seuls points de probabilité non nulle sont les points de discontinuité de F X (ce sont les points de l’ensemble X qui est au plus dénombrable). Dans ce chapitre, on s’intéresse à des v.a.r. X pour lesquelles F X est continue sur : on a alors PX x 0 pour tout réel x. On dira que X est une v.a.r. à densité.

1 - Définitions - Propriétés. Définition. On appelle densité ou densité de probabilité sur toute fonction f de dans - f est positive ; - f est continue sur sauf éventuellement en un nombre fini de points ; - l’intégrale f x dx est convergente et f x dx 1.

vérifiant :

Définition. Une variable aléatoire réelle X est dite à densité s’il existe une fonction f X de dans sur sauf éventuellement en un nombre fini de points, telle que pour tout x , FX x

positive, continue x f X t dt.

f X est alors une densité, appelée densité de X (et de P X ) et X est une variable aléatoire réelle à densité. Remarques. (i) f X est effectivement une densité car 1

x

lim F X x

x

lim

x

f X t dt

f X x dx.

(ii) Si f X est une densité de X, alors toute fonction g X positive et différant de f X en un nombre fini de points seulement est encore une densité de X.

x

Soit X une v.a.r. de densité f X . D’après les propriétés de l’intégrale, la fonction de répartition F X : x f X t dt est continue sur . Elle est également dérivable en tout point x où f X est continue, de dérivée

FX x fX x . Réciproquement, si F X est continue sur et continûment dérivable sur sauf éventuellement en un x nombre fini de points a 1 , . . . , a n , alors pour tout réel x, on a F X x F X t dt, de sorte que X est une v.a.r. à densité. Proposition. Une variable aléatoire réelle X est à densité si et seulement si sa fonction de répartition est continue sur et continûment dérivable sur sauf éventuellement en un nombre fini de points a 1 , . . . , a n . La variable aléatoire X admet alors pour densité la fonction f X définie par : \ a1, . . . , an F X x si x . fX x 0 si x a1, . . . , an

Stéphane Ducay

1

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Variables aléatoires réelles à densité

La loi de probabilité P X d’une variable aléatoire à densité est donc caractérisée par sa fonction de répartition F X ou de façon équivalente par sa densité f X . Proposition. Soit X une une variable aléatoire à densité, de densité f X . Pour tous réels a et b tels que a a f X t dt ; PX a PX a FX a

b, on a :

a

PX Pa

a X

PX b

a

1

Pa

FX a

X

b

1 Pa

f X t dt X

b

f X t dt ;

a

Pa

b

X

b

FX b

FX a

a

f X t dt.

Remarque. x h

Pour tout réel x et tout réel h strictement positif, on a P x X x h f X t dt. Si f X est continue x x h Px X x h en x, alors lim lim 1 f X t dt f X x , ce qui peut se traduire par l’écriture h 0 h 0 h h x différentielle P x X x dx f X x dx, et justifie le terme ”densité de probabilité”.

2 - Exemples de v.a.r. à densité. V.a.r. Uniforme sur a, b . 1 X

b

a, b , f X x

V.a.r. Exponentielle Exp X

0,

a 0 si x

,

V.a.r. Normale N , , et pour tout x X

a, b

0 si x a si x a 1 si x

x b

, FX x

a, b

a a, b b

0. e

, fX x

si x

x

si x

0

0 si x , 0, , fX x

0

1

, FX x

. 1 2

e

1 2

x

2

e

x

si x

0

0 si x

0

.

3 - Espérance mathématique d’une v.a.r. à densité. Soit X une v.a.r. à densité, définie sur un espace probabilisé Définition. On dit que X admet une espérance mathématique si l’intégrale On appelle alors espérance mathématique de X le réel E X Exemple. X v.a.r. Exponentielle Exp , 0. x EX xf X x dx x e dx xe 0

x 0

e 0

x

dx

, A, P , admettant une densité f X .

xf X x dx est absolument convergente. xf X x dx.

1e

x 0

1 .

Remarques. i Si X est borné, alors X possède toujours une espérance mathématique. ii Une v.a.r. continue peut ne pas avoir d’espérance mathématique. Par exemple, soit X une v.a.r. suivant la loi de Cauchy C 0, , i.e. X et f X x , 0. 2 x2 1 1 Arc tan x 1 f X x dx dx 1. On a 2 2 2 x2 x dx est intégrale divergente en 1 De plus, xf X x dx et , et donc E X n’existe pas. 2 x2 Stéphane Ducay

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Définitions. Une v.a.r. discrète X est dite centrée si E X 0. Si une v.a.r. X n’est pas centrée, alors la v.a.r. Y X E X est centrée, et est appelée v.a.r. centrée associée à X.

4 - Fonction d’une v.a.r. à densité. Soit X une v.a.r. à densité, définie sur un espace probabilisé , A, P , et une application de dans . Il se peut que l’application X, notée X , ne soit pas une v.a.r. à densité ; par exemple, si est constante ou si est la fonction partie entière, alors X est une v.a.r. discrète (voir exercice 6). Rappelons que si X est une v.a.r. discrète, alors X est toujours une v.a.r. discrète. Si X une v.a.r. à densité, une condition suffisante pour que X soit une v.a.r. à densité est que soit une fonction strictement monotone et dérivable sur . Proposition. Soit X une v.a.r. à densité de densité f X , et une fonction strictement monotone et dérivable sur . La v.a.r. Y X est à densité et admet pour densité la fonction f Y définie par fY x

fX

1

1

x

x

si x

.

0 si x La preuve de ce résultat repose sur la détermination de la fonction de répartition F Y de Y. En pratique, c’est souvent cette démarche qui est utilisée, comme le montrent les exemples suivants. Exemples. 1) Y X aX b, avec a 0. Si a 0, alors pour tout x , PY x P aX b x P X FY x

b F X x a b . La densité de probabilité de Y est a alors donnée par F Y , lorsque F Y est dérivable. Si F X est dérivable en x a b (ou de façon équivalente f X 1F x b 1 f X x b ; sinon, on peut prendre continue en x a b ), on a alors f Y x FY x a a a X a fY x 0. Si a 0, alors pour tout x , x b FY x PY x P aX b x P X 1 F X x a b . Si F X est dérivable en x a b (ou a 1F x b 1 fX x b ; de façon équivalente f X continue en x a b ), on a alors f Y x FY x a X a a a sinon, on peut prendre f Y x 0. 2) Y X X2. Pour tout x 0, F Y x PY x P X2 x P 0. 2 Pour x 0, F Y x PY x PX 0 PX 0 0 (car X v.a.r. abs. continue). Pour tout x 0, FY x PY x P X2 x P x X x FX x FX x . La fonction de répartition de Y est donc F Y x

x

FX

x

FX

x si x

0

. 0 si x 0 Une densité de probabilité de Y est donnée par F Y , lorsque F Y est dérivable. Pour tout x 0, f Y x FY x 0. Pour tout x 0, si F X est dérivable en x et x (i.e. f X continue en x et x ), alors 1 1 1 fY x FY x x x fX x fX x ; sinon on peut prendre F F 2 x X 2 x X 2 x fY x 0. Si on ne veut pas étudier la dérivabilité de F Y en 0, on peut prendre f Y 0 0.

Proposition. Si X est une variable aléatoire réelle de fonction de répartition F X continue strictement croissante et si U est une variable aléatoire de loi Uniforme sur 0, 1 , alors la variable aléatoire Y F 1 U a la même loi que X. Stéphane Ducay

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Ce résultat, dont la preuve est laissée au soin du lecteur, permet de réduire la simulation informatique de la loi de X à celle de U. Théorème. Si la v.a.r. E X

X admet une espérance mathématique, alors elle est donnée par la formule x f X x dx.

Remarques. i On admet que ce résultat est valable dans tous les cas ( X discrète, à densité, ...) dès lors que l’intégrale ci-dessus a un sens. ii On peut ainsi calculer l’espérance mathématique de X sans qu’il soit nécessaire de déterminer sa loi de probabilité, mais en utilisant seulement celle de X. Par exemple, on a E X 2 x 2 f X x dx. Proposition. Soient X une v.a.r. à densité, a un réel, 1 et aient une espérance mathématique. Alors E aX aE X et E 1 X E 2 X

2

1

deux applications de

X

E

2

dans

tels que X,

1

X et

2

X

X .

5 - Moments d’une v.a.r. à densité. Définition. Soit r un entier naturel non nul. On appelle moment d’ordre r d’une v.a.r. à densité X l’espérance mathématique de X r si elle existe. Dans ce cas, on a E X r x r f X x dx. Proposition. Si une v.a.r. à densité X admet un moment d’ordre r, alors elle admet tous les moments d’ordre r r. En particulier, l’existence du moment d’ordre 2 entraîne l’existence de l’espérance mathématique. Définitions. Soit r un entier naturel non nul. On appelle moment centré d’ordre r d’une v.a.r. à densité X l’espérance mathématique de X E X r si elle existe. En particulier, on appelle variance de X, et on note Var X le moment centré d’ordre 2 s’il existe. On a alors Var X E X EX 2 x E X 2 f X x dx. Si X a une variance, on appelle écart-type de X le nombre

X

Var X .

Remarques. i Pour que X ait une variance, il faut et il suffit que X admette un moment d’ordre 2. ii Une v.a.r. à densité peut ne pas avoir de variance, même si E X existe (voir exercice 2). Proposition. Soient X une v.a.r. à densité ayant une variance, a un réel. Alors Var aX a 2 Var X et Var X a Var X . Définitions. X est réduite et Une v.a.r. à densité X est dite réduite si Var X 1. Si X est une v.a.r., alors Y X X EX Z est centrée et réduite, et sont appelées v.a.r. réduite et centrée réduite associées à X. X Théorème de Koenig-Huyghens. E X 2. Soit X une v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2. Alors Var X E X2 Pour le calcul de la variance, on utilise souvent cette dernière formule plutôt que la définition. Stéphane Ducay

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6 - Loi Normale N ,

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.

Soit X une v.a.r. suivant une loi Normale N , 1 e 12 x 2 pour tout x fX x . 2

, i.e. une v.a.r. à densité de densité de probabilité

6.1. Cas d’une loi N 0, 1 . 1 e x22 pour tout x . Vérifions que f X est bien une densité de probabilité. On a f X x 2 Il est clair que f X est continue et positive sur . Par ailleurs, rappelons que

e

x2

0

dx

. En effet,

e

x2

dx

e

x2

dx, ces deux intégrales étant

0 x2

e

convergentes, donc

dx

2I, avec I

e

x2

dx

changement de variables polaires /2

I2

r2

e 0

/2 0

On en déduit que

r cos

y

r sin

1 e r2 2 1 2

rdr d

0

x

f X x dx

dy, d’où I 2

e

0

0

x2 y2

dxdy. Par le

0

, on obtient /2

0

y2

e

0

d e

x2 2

0

dx

1d 2 1 2

4

, d’où I e

u2

et le résultat annoncé.

2

2 du

1.

Calcul de E X . 0

xf X x dx

On peut vérifier que xf X x dx

EX

xf X x dx, ces deux intégrales étant convergentes, et donc

0

0.

Calcul de Var X . 0

On peut vérifier que E X2

2 0

x2e

x2 2

x 2 f X x dx 2 2

x 2 f X x dx

dx

0

2

e

x2 2

dx

2

dx

2 0

E X2

x xe

x2 2

dx. En intégrant par parties, on a

0 x2 2

dx

e

0

0

On a alors Var X

x2 2

0

e

0

E X2

x2e

x2 2

xe

x 2 f X x dx, ces deux intégrales étant convergentes, et donc

0

x2 2

dx. On en déduit que

0

1 e 2 EX 2

x2 2

1 e 2

dx

x2 2

dx

f X x dx

1.

1.

Ainsi, on dit que X suit la loi Normale centrée réduite. Fonction de répartition de X. Elle est donnée pour tout réel x par F X x

x

x

1 e t22 dt. Cette fonction n’étant pas 2 exprimable par des fonctions usuelles, on utilise généralement une valeur approchée de cette fonction. Ces valeurs approchées sont présentées dans une table appelée table de la loi normale centrée réduite. La fonction F X est souvent notée . La table ne donne des valeurs approchées de x que pour des x compris entre 0 et 3. On pourra admettre que x 1 pour tout x 3. On remarquera aussi que pour tout réel x, x 1 x , ce qui permet d’obtenir des valeurs approchées de x que pour des x 0. Précisons enfin que est une bijection strictement croissante de sur 0, 1 .

Stéphane Ducay

f X t dt

5

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x x

2,99

Quelques valeurs supplémentaires 3 3,5 4 4,5

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5

0,998605 0,998650 0,999767 0,999968 0,999997 1,000000

Exemple de calcul. Soit X une v.a.r. de loi normale N 0, 1 . On a P X 1, 23 1, 23 0, 8907 et P 0, 06 X 1, 23 1, 23 0, 06 1, 23 1 0, 06 1, 23 0, 06 1 0, 8907 0, 5239 1 0, 4146. Remarque Si X suit la loi normale N 0, 1 , alors Y X suit la loi normale N 0, 1 . En effet, pour tout réel x, PY x P X x PX x 1 PX x 1 PX x 1 x x . FY x Stéphane Ducay

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6.2. Loi normale N , , avec réel et 0. x 2 1 1 On a f X x e 2 pour tout x . Le paramètre est un paramètre de localisation (point où 2 f X atteint son maximum), et le paramètre un paramètre d’échelle, caractérisant l’applatissement de la courbe en cloche représentative de f X . Vérifions que f X est bien une densité de probabilité. Il est clair que f X est continue et positive sur . De x plus, par le changement de variable t , on a x 2 1 1 1 e t22 dt 1 e t22 dt 1. f X x dx e 2 dx 2 2 2 Fonction de répartition de X. Pour tout réel x, on a F X x

x

x

f X t dt

Par le changement de variable u

t

(c’est-à-dire t

x

FX x

1 2

e u

x

1 2

e

1 2

u2

du

1 2

t

2

dt.

), on obtient alors x 1 e 12 u 2 du 2

.

Proposition. X suit la loi normale N ,

si et seulement si Y

Preuve. Supposons que X suit la loi normale N , X FY x PY x P x

X

suit la loi normale N 0, 1 .

. Pour tout réel x, on a PX x FX

x

x

x .

Ainsi, F Y est la fonction de répartition de la loi normale N 0, 1 et Y suit donc la loi normale N 0, 1 . X suit la loi normale N 0, 1 . Pour tout réel x, on a Réciproquement, supposons que Y X x x x x FX x PX x P P Y FY . On reconnait la fonction de répartition de la loi normale N ,

et X suit donc la loi normale N ,

.

Calcul de E X et Var X . Des propriétés de l’espérance mathématique et de la variance on déduit : X 1 EX 0 EY E , d’où E X X 1 Var X , d’où Var X 2 et X . 1 Var Y Var 2 Exemple de calcul. X 2 suit la loi normale N 0, 1 . On a Soit X une v.a.r. de loi normale N 2, 10 . Alors Y 10 14, 3 2 X 2 P X 14, 3 P P Y 1, 23 1, 23 0, 8907 10 10 1, 4 2 14, 3 2 X 2 P 0, 06 Y 1, 23 P 1, 4 X 14, 3 P 10 10 10 1, 23 0, 06 0, 4146. Proposition. Soient a et b deux réels avec a 0. X suit la loi normale N , si et seulement si Y

aX

b suit la loi normale N a

b, |a|

.

Preuve. Y aX

b suit la loi N a b, |a| aX b a b a X si et seulement si suit la loi N 0, 1 |a| |a| X suit la loi N 0, 1 si a 0 , c’est à dire X suit la loi N , si et seulement si X suit la loi N 0, 1 si a 0

Stéphane Ducay

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7 - Tableau des v.a.r. à densités usuelles. Nom

Densité de probabilité

Uniforme sur

1 b a

fx

a, b Normale N ,

si x

a, b

0 si x

a, b

1 2

fx

2

n

n1 n1 2

fx

Exponentielle

Cauchy

Gamma

n2

e

2 ap p

fx

G a, p

B p, q

1 2

n1x

fx

C ,

Beta

,

n2 2

fx

Exp

fx

1 2

n

1 p,q

xp

1

n 1

0

0 si x

0

0 si x

0

x

2

x

0

si x

0

ax

0 si x

0

0 si x

n2

2n 22 n 1 n 2 2

n2 2 si n 2 3

n1 n2 2

2

si n 2

n2 4

5

1 2

0

si x

2

n n 2 si n 3

1

si x

q 1

2n

si n

si x

xp 1e

1

2

n 2

,

2

0

1 n n n2 2 1 2

x

2

a 12

0

n1 1 2

n 12 n 22 x

b

b

n

x2 n

1

fx

Sn

F n1, n2

si x

n 2

a

Variance

2

0 si x

Student

Fisher

n 2 2

e 2x n 22

fx

x

1 2

e

x

Chi-deux

Espérance

p a 0, 1 0, 1

p a2

p p

pq

q

p q

2

p q 1

8 - Exercices. Exercice 1. 1) Soient deux réels a et b tels que a

b, et X une variable aléatoire de loi Uniforme sur a, b , k si x a, b c’est-à-dire de densité de probabilité f X x . 0 si x a, b a) Déterminer la constante k, puis la fonction répartition F X de X. b) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X. 2) Soient un réel strictement positif et X une variable aléatoire de loi Exponentielle Exp , c’est-à-dire ke x si x 0, de densité de probabilité f X x . 0 si x ,0 a) Déterminer la constante k, puis la fonction répartition F X de X. b) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.

Stéphane Ducay

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Exercice 2. Etant donnés deux réels strictement positifs a et , soit X une variable aléatoire réelle dont la fonction de 1 a si x a, x répartition est donnée par F X x . 0 si x ,a 1) Déterminer une densité de probabilité f X de X. 2) Pour quelles valeurs de la variable aléatoire X admet-elle une espérance mathématique ? La calculer lorsqu’elle existe. 3) Pour quelles valeurs la variable aléatoire X admet-elle un moment d’ordre 2 ? Calculer sa variance lorsqu’elle existe. Exercice 3. 1) Soit X une variable aléatoire de densité de probabilité f X . Déterminer une densité de probabilité de la variable aléatoire Y X 2 . 2) Appliquer ce résultat dans les cas suivants : a) X suit une loi Normale centrée réduite. b) X suit une loi Uniforme sur 0, 1 . Exercice 4. Soit X une variable aléatoire de loi Uniforme sur 1, 1 . Soit un réel strictement positif et 1 ln X 1 . Déterminer une densité de probabilité de Y. Reconnaitre la loi. Y 2 Exercice 5. Soit n variables aléatoires X 1 ,..., X n indépendantes de même loi Uniforme sur 0, 1 . Déterminer la fonction de répartition et une densité de probabilité des variables aléatoires Y max X 1 , . . . , X n et Z min X 1 , . . . , X n . Exercice 6. Soient X une variable aléatoire de loi Exponentielle Exp , et Y X , où x désigne la partie entière de x. Déterminer la loi de probabilité de Y et son espérance mathématique. Exercice 7. Soit X une variable aléatoire de loi Normale N , . Calculer les probabilités P |X , P |X | | 2

et P |X

|

3

.

Exercice 8 Les portes isoplanes ont une hauteur standard de 2, 02 m. Quelle est la proportion d’individus susceptibles de s’y cogner la tête dans une population dont la taille est distribuée suivant une loi Normale de moyenne 1, 70 m et d’écart-type 10 cm ? On donne 3, 2 0, 999313. Exercice 9 A l’entrée d’une caserne militaire se trouve une guérite dans laquelle peut s’abriter la sentinelle en cas d’intempéries. Les sentinelles sont des appelés dont la taille est approximativement distribuée suivant une loi Normale de moyenne 175 cm et d’écart-type 8 cm. A quelle hauteur minimale doit-on situer le toit de la 2, 3263. guérite pour qu’au moins 99% des sentinelles puissent s’y tenir debout ? On donne 1 0, 99 Exercice 10. Une machine automatique fabrique des tubes en série dont la diamètre X est réparti selon une loi Normale de moyenne 20 cm et d’écart-type 1, 5 mm. a) Calculer la probabilité qu’une pièce prise au hasard ait un diamètre compris entre 19, 75 et 20, 25 cm. b) Quel intervalle de centre 20 cm peut-on garantir avec une probabilité 0, 95 ?

Stéphane Ducay

9