Variables aléatoires réelles discrètes

S4 Maths 2011-2012

Probabilités 1

Variables aléatoires réelles discrètes

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences

2011-2012

Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1

Variables aléatoires réelles discrètes 1 - Définition. Loi de probabilité. Définition. Soit , A, P un espace probabilisé. On appelle v.a.r. discrète toute application X de dans vérifiant les deux conditions suivantes : i l’ensemble X X des valeurs prises par X est fini ou infini dénombrable (i.e. au plus dénombrable) ; on peut donc numéroter ses éléments par des indices entiers : X xk, k K , K désignant une partie de . A. ii pour tout x k de X , A k X 1 x k /X xk X xk La v.a.r. X est alors dite discrète finie ou discrète infinie. Dans ce cas, on peut munir X de la tribu A X P X . Remarques. i La famille X x k , x k d’événements. On a ainsi PX xk X

X

xk

forme une partition de , c’est-à-dire un système complet P X xk 1 ; cette somme étant une série convergente si k K

X

est infini, et une somme ordinaire si X est fini. ii Si est fini ou dénombrable, alors toute application X de

dans

est une v.a.r. discrète.

Théorème. Soit X une v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé , A, P . Alors, l’application AX PX : est une probabilité sur X , A X . A PX A PX 1 A Preuve. Pour tout x de X , x AX P Pour tout A A X , on peut écrire A

X

, donc X 1 x A (car X est une v.a.r.). x , cette réunion étant au plus dénombrable (car

X

l’est). Ainsi

x A

X

1

A

X

1

x , réunion au plus dénombrable d’éléments de A, donc X

1

A

A (car A est une

x A

tribu). L’application P X est donc bien définie pour tout A A X . On a P X X PX 1 X P 1. Pour toute suite A n n une suite d’éléments deux à deux disjoints de A X , PX

An

1

P X

n

An

P

n

X

1

An

n

PX n

1

An

PX An . n

Définition. La probabilité P X est appelée loi de probabilité de la v.a.r. X. Remarque. Pour tout A

AX

P

X

,A

x , réunion au plus dénombrable d’éléments deux à deux disjoints x A

de A X , donc P X A

PX

x

P X x . Ainsi, P X est parfaitement déterminée si on connait

x A

x A

PX 1 x P X x , pour tout x X . PX x X Donc en pratique, on appelle loi de probabilité d’une v.a.r. discrète X la donnée de P X x X . On doit évidemment avoir PX x 1. x

Stéphane Ducay

x pour tout

X

1

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Variables aléatoires réelles discrètes

Remarque. Deux variables aléatoires X et Y peuvent avoir la même loi (P X P Y ) sans être égales. Par exemple, lorsqu’on lance deux dés discernables équilibrés à 6 faces, les variables aléatoires X et Y égales au résultat de chaque dé suivent la même loi : X 1, 2, 3, 4, 5, 6 et pour tout Y 1 k 1, 2, 3, 4, 5, 6 , P X k . Pour autant, on n’a pas l’égalité X Y, i.e. X Y pour tout 6 2 1, 2, 3, 4, 5, 6 , ce qui signifierait que les deux dés donnent toujours un double. Par contre, on peut considérer l’événement X Y , dont la réalisation n’est pas certaine, et calculer sa probabilité : 6 1 ; on a alors P X Y 5. PX Y 36 6 6

2 - Fonction de répartition d’une v.a.r. discrète. Soit X une v.a.r. discrète et F X sa fonction de répartition, définie pour tout réel x par F X x PX x . Rappelons que pour tout x 0 , FX x0 lim F X x et P X x 0 FX x0 lim F X x . De plus, pour x x x x0

0

tous réels x et y tels que x y, P x X y F X y F X x , donc si X x, y , alors Px X y 0 donc F X y F X x ; comme F X est croissante, F X est constante sur x, y . On en déduit que F X est une fonction en escalier, dont les sauts se présentent en chacune des valeurs x de X , le saut correspondant étant égal à P X x . Si X x 1 , x 2 , . . . , x n est fini, avec x 1 x 2 . . . x n et on a 0 si x , x1 k

FX x

x i si x

PX

xk, xk

1

,k

1, . . . , n

1 .

i 1

Si

X

1 si x xn, x 1 , x 2 , . . . , x n , . . . est infini, avec x 1 x 2 . . . x n . . . et on a 0 si x , x1 k FX x . P X x i si x x k , x k 1 , k 1, 2, . . . i 1

F X x 1 et pour tout Dans les deux cas, F X caractérise la loi de probabilité de X puisque P X x 1 entier k 2, P X x k FX xk F X x k 1 . Plus précisément, on peut démontrer que deux variables aléatoires discrètes X et Y ont même loi si et seulement si leurs fonctions de répartition respectives F X et F Y sont égales. Résultat utile lorsque P X k se calcule plus facilement que P X k : si X est une v.a.r. discrète à valeurs dans ou , alors pour tout entier k, P X k PX k PX k 1 FX k FX k 1 .

3 - Exemples de v.a.r. discrètes. V.a.r. Uniforme sur un ensemble fini de réels x 1 , . . . , x n . 1. x 1 , . . . , x n et pour tout k 1, . . . , n , P X x k X n Par exemple, le numéro X obtenu lors du lancer d’un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 suit la loi Uniforme sur 1, 2, 3, 4, 5, 6 . V.a.r. de Bernoulli B p , p 0, 1 . 0, 1 , P X 1 p et P X 0 1 p. X Si A est un événement de probabilité p, alors X 1 A suit la loi de Bernoulli B p . Réciproquement, si X suit la loi de Bernoulli B p , on peut toujours écrire X 1 A , avec A /X 1 X 1 1 . V.a.r. Binomiale B n, p , n ,p 0, 1 . 0, 1, . . . , n et pour tout k 0, . . . , n , P X k C kn p k 1 p n k . X Par exemple, le nombre X de réalisations d’un événement A de probabilité p lors de n répétitions indépendantes d’une même expérience suit la loi Binomiale B n, p . De même, si A 1 , ..., A n sont n événements mutuellement indépendants de même probabilité p et si on considère la variable aléatoire n

Xi

1 A i de loi de Bernoulli B p , alors X

X i suit la loi Binomiale B n, p . i 1

Stéphane Ducay

2

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V.a.r. de Poisson P , et pour tout k X

0. ,P X

k

k

e

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.

k!

4 - Espérance mathématique d’une v.a.r. discrète. , A, P . On a alors X

Soit X une v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé désignant une partie de . Définition. Soient X une v.a.r. discrète et X la série |x k |P X x k est convergente.

xk, k

xk, k

K ,K

K . On dit que X admet une espérance mathématique si

k K

On appelle alors espérance mathématique de X le réel E X

xkP X

xk .

k K

Exemples. 1) X v.a.r. constante, i.e. X c et P X c 1. On a E X 2) X v.a.r. Binomiale B n, p . On a X 0, 1, . . . , n . n

n

EX

kP X

kC kn p k 1

k

k 0

or

k 0

n! k k! n k !

kC kn

n

n

nC kn 11 p k 1

donc E X

k p

n

kC kn p k 1 k 1

nC kn

1 1

C kn 11 p k

1

n

n k

np

n k

p

n 1

1

p

p

n 1

k 1

k 1

C kn 1 p k

np

n k

n 1 ! 1 !n k !

k 1 n 1

soit E X

p

c.

1

p

n 1 k

np p

1

np.

k 0

3) X v.a.r. Poisson P EX

kP X

. On a X k

k 0 k 1

or k 1

k

1 !

ke k 0 k

k 0

.

k!

k

k!

e k 1

e donc E X

k

k e e

k 1

e

1 !

k 1

k

1 !

.

Remarques. i Si X est fini, alors X possède toujours une espérance mathématique car E X ne comporte qu’un nombre fini de termes. ii Une v.a.r. discrète peut ne pas avoir d’espérance mathématique. Par exemple, soit X la v.a.r. discrète 6 1 . P X est bien une probabilité sur telle que : X et k , PX k ,P car 2 k2 6 1 6 1 diverge. PX k 1. Mais kP X k 2 2 2 k k k k iii Soit X une v.a.r. discrète ayant une espérance mathématique. Comme P X xk 1, on peut k K

xkP X écrire E X

xk

k K

PX

xk

. Ainsi, E X est le barycentre du système pondéré de points

k K

x k , P X x k , k K . L’espérance mathématique de X est donc la moyenne des valeurs prises par X. Il sera naturel de donner une mesure de la dispersion des valeurs prises par X autour de leur moyenne : ce sera la variance. iv Si deux v.a.r. discrètes X et Y ont la même loi, alors E X E Y . La réciproque est fausse ; il suffit par exemple de prendre X de loi Uniforme sur 1, 1 et Y de loi Uniforme sur 2, 0, 2 , pour lesquelles EX EY 0. Proposition. (Positivité de l’espérance mathématique). Si X admet une espérance mathématique E X et si X

Stéphane Ducay

0, alors E X

0.

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5 - Fonction d’une v.a.r. discrète. Soit X une v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé , A, P , et une application de dans . Alors, l’application X, notée X , est une v.a.r. discrète. En effet, i X X x ,x X est fini ou dénombrable puisque X l’est. ii pour tout y X , X 1 y X 1 1 y X 1 1 y X ; comme 1 1 y X est fini ou dénombrable et X est une v.a.r., X y A (comme réunion finie ou dénombrable d’éléments de A). Théorème. Soient X une v.a.r. discrète et X mathématique, alors elle est donnée par E

xk, k X

K . Si la v.a.r. discrète xk P X xk .

X admet une espérance

k K

Preuve. Soit

X

yj, j

J . Alors E

X

yjP

X

yj .

j J

Pour tout j X yj

J, soit K j k K / xk K ; ainsi K j , j J est une partition de K. Comme yj X x k , réunion d’éléments deux à deux disjoints de A, on a k Kj

P

X

yj

PX

x k , et donc

k Kj

E

X

yj j J

PX

xk

k Kj

yjP X

xk P X

xk

j J k Kj

xk ,

k K

les séries considérées étant absolument convergentes. Remarques. i On peut ainsi calculer l’espérance mathématique de X sans qu’il soit nécessaire de déterminer sa loi de probabilité, mais en utilisant seulement celle de X. Par exemple, on a E X 2 x 2k P X x k , si cette k K

série converge. ii Prenant pour

|x k |P X

la fonction valeur absolue, on a E |X|

x k , série dont la convergence

k K

garantit l’existence de E X . On en déduit que si E X existe, alors |E X |

E |X| .

Proposition. (Un pas vers la linéarité de l’espérance mathématique.) Soient X une v.a.r. discrète, a et b deux réels, 1 et 2 deux applications de 2 X aient une espérance mathématique. Alors E aX b aE X b et E 1 X E 1 X E 2 X . 2 X

dans

tels que X,

1

X et

Les preuves des deux dernières propositions sont immédiates, et laissées au soin du lecteur. Définitions. Une v.a.r. discrète X est dite centrée si E X 0. Si une v.a.r. X n’est pas centrée, alors la v.a.r. Y X E X est centrée, et est appelée v.a.r. centrée associée à X.

6 - Moments d’une v.a.r. discrète. Définition. Soit r un entier naturel non nul. On appelle moment d’ordre r d’une v.a.r. discrète X l’espérance mathématique de X r si elle existe. Dans ce cas, on a E X r x rk P X x k . k K

Proposition. r. Si une v.a.r. discrète X admet un moment d’ordre r, alors elle admet tous les moments d’ordre r En particulier, l’existence du moment d’ordre 2 entraîne l’existence de l’espérance mathématique. Stéphane Ducay

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Preuve. Pour tout entier naturel non nul r, et tout réel x positif, x r d’ordre r existe, on a |x k | r 1 P X x k |x k | r P X x k k K

1

k K

prouve l’existence du moment d’ordre r

x r 1. On en déduit que si le moment P X xk 1, ce qui |x k | r P X x k k K

k K

1.

Définitions. Soit r un entier naturel non nul. On appelle moment centré d’ordre r d’une v.a.r. discrète X l’espérance mathématique de X E X r si elle existe. En particulier, on appelle variance de X, et on note Var X le moment centré d’ordre 2 s’il existe. On a alors Var X E X EX 2 xk E X 2P X xk . k K

Si X a une variance, on appelle écart-type de X le nombre

X

Var X .

Remarques. i La série définissant Var X étant à termes positifs, cela dispense de parler de convergence absolue. ii Pour que X ait une variance, il faut et il suffit que X admette un moment d’ordre 2. iii Une v.a.r. discrète prenant un nombre fini de valeurs a toujours une variance. Ce n’est pas nécessairement la cas si X est infini dénombrable, même si E X existe ; par exemple, X v.a.r. telle que 4 et k , PX k . X kk 1 k 2 iv Lorsque X représente une grandeur physique, X, E X et X ont la même unité, mais par Var X . Proposition. Soient X une v.a.r. discrète ayant une variance, a un réel. Alors Var aX Var X a Var X .

a 2 Var X et

Proposition. Soient X une v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2 (et donc une variance), a et b deux réels. Alors Var aX b a 2 Var X . Preuve. C’est une conséquence de la proposition précédente. On peut aussi le démontrer. Par définition de variance et propriété de l’espérance mathématique, on a Var aX b E aX b E aX b 2 E a2 X E X 2 a2E X E X

2

a 2 Var X .

Définitions. X est réduite et Une v.a.r. discrète X est dite réduite si Var X 1. Si X est une v.a.r., alors Y X X EX Z est centrée et réduite, et sont appelées v.a.r. réduite et centrée réduite associées à X. X Théorème de Koenig-Huyghens. Soit X une v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2. Alors Var X

E X2

EX

2

.

Pour le calcul de la variance, on utilise souvent cette dernière formule plutôt que la définition. Preuve. Remarquant que X E X E X 2 2E X X E X

2 2

X 2 2E X X E X E X2 2E X E X

2

. On a alors Var X E X 2 E X2

Remarque. Dans certains cas pratiques, on pourra calculer Var X de la façon suivante : EXX 1 X EXX 1 E X et ainsi Var X EXX 1 E X2

Stéphane Ducay

E X EX E X 2.

EX

EX

2

2

.

5

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Exemple. X v.a.r. Poisson P

. On a X

EXX

1 PX

1

kk

et E X k

kk

k 0

soit E X X

2

1

. De plus, on a : k

1 e

e

k

k 2

On a donc E X 2

EXX

2

2 ! 1

k 2

k

e

EX

2

k!

k 0 2

e

k!

k 2 k 2

Variables aléatoires réelles discrètes

e e

et Var X

k

k

2 ! 2

.

E X2

EX

2

2

2

.

Proposition. Soient X une v.a.r. discrète admettant un moment d’ordre 2. Les assertions suivantes sont équivalentes i Var X 0; ii P X E X 1 (i.e. X E X presque sûrement) ; iii P X c 1 (i.e. X est constante presque sûrement). Preuve. L’équivalence iii supposons que Var X

ii et l’implication ii 0. On a alors xk E X

2

i sont immédiates. Pour l’implication i ii , P X xk 0, cette somme de termes positifs ne

k K

pouvant être nulle que si tous ses termes sont nuls, et donc si pour tout k P X xk 0. Pour tous les k tels que x k E X , on a alors P X x k PX EX 1.

K, x k E X 0, et donc P X

0 ou EX

0, d’où

7 - Loi conditionnelle à un événement. Soit X une v.a.r. discrète définie sur un espace probabilisé non nulle. Posons X X x k , i K et BX X

, A, P et B A un événement de probabilité XB x i , i I , avec I K.

Définition. On appelle loi de X conditionnelle à B la loi de probabilité P BX définie par : pour tout i I, P BX x i P X xi / B .

8. Tableau des v.a.r. discrètes usuelles. Situations classiques. Nom

Loi de probabilité

Uniforme sur

PX

1, 2, . . . , n Binomiale

k PX

B n, p

Hypergéométrique H N, n,

1, 2,

PX

0, 1,

p

PX

N1

k

r, r

1,

Poisson

PX

k

e

P Loi de Bernoulli : Binomiale B 1, p

n2 1 12

np

n N1 N

np 1

n NN1 1

p

N1 N

N n N 1

et min N 1 , n

C rk 11 p r 1

k

Variance

n k

k compris entre N

1 2

,n

P r, p

Stéphane Ducay

n

C kN 1 C nN kN 1 C nN

k

max 0, n Pascal

C kn p k 1

k

N1 N

1 n ,n

k

k

Espérance

p

k r

r p

r1 p p2

k

k!

k Bp

Loi Géométrique : Pascal P 1, p

Gp 6

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Tirages dans une urne. On considère une population de N individus à deux catégories, avec N 1 individus de catégorie 1 et N 2 individus de catégorie 2 (N 1 N 2 N). Si on effectue des tirages avec remise dans la population : - le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus en n tirages suit la loi Binomiale B n, NN1 - le nombre de tirages nécessaires pour obtenir r individus de catégorie 1 suit la loi de Pascal P r, NN1 . Si on effectue des tirages sans remise dans la population : - le nombre d’individus de catégorie 1 obtenus suit la loi Hypergéométrique H N, n, NN1 . Répétition d’expériences. On répète, dans les mêmes conditions, une même expérience aléatoire au cours de laquelle un événement A a une probabilité p d’être réalisé : - le nombre de réalisations de A en n expériences suit la loi Binomiale B n, p ; - le nombre d’expériences nécessaires pour obtenir r réalisations de A suit la loi de Pascal P r, p .

9 - Fonction génératrice. Définition. On considère une variable aléatoire X à valeurs dans E xX

notée G X , par l’expression G X x

. On définit la fonction génératrice de X,

X

k x k lorsque cette série converge.

PX k 0

Domaine de définition et propriétes de G X . Si X est fini, alors il existe un entier n tel que GX x

PX

k x

k

0, n

X

n

et G X est défini sur

par

(G X est une fonction polynôme).

k 0

Si

X

est infini, alors G X est définie (au moins) sur

1, 1 par G X x

k x k , et G X est continue

PX k 0

sur 1, 1 et de classe C sur 1, 1 . En effet, la série P X k étant convergente (de somme 1), la série entière G X x converge pour x 1 et donc son rayon de convergence R vérifie R |1| 1. De plus, cette série entière est absolument convergente pour x 1. Ainsi, l’intervalle de convergence de cette série entière vérifie 1, 1 R, R , et G X est bien définie sur 1, 1 . On sait de plus qu’une série entière est de classe C sur R, R , donc G X est de classe C sur 1, 1 . Si R 1, alors G est de classe C sur 1, 1 . Si R 1, alors G X est continue sur 1, 1 car il y a convergence sur le bord de l’intervalle de convergence. Dans les deux cas, on a G X 1

k 1k

PX

PX

k 0

|G X x |

k xk

PX

|P X

k 0

k

1. De plus, pour tout x

1, 1 ,

k 0

k xk |

k 0

k |x| k

PX

GX 1

1.

k 0

Exemples. Si X suit la loi de Bernoulli B p , alors pour tout réel x, 1

GX x

k xk

PX

PX

0

PX

1 x

1

p

1

p

px.

k 0

Si X suit la loi Binomiale B n, p , alors pour tout réel x, n

GX x

n

k xk

PX k 0

k 0

n k

pk 1

p

n k k

n

x

k 0

n k

px

k

n k

px

1

p

n

(formule du binôme de Newton). Pour n 1, on retrouve la loi de Bernoulli B p . Si X suit la loi Géométrique G p , avec p 0, 1 , alors pour tout x 1, 1 , GX x

PX

k xk

k 1

p1 k 1

p

k 1 k

x

px

1

p x

k 1

px

k 1

en utilisant la somme d’une série géométrique de raison 1

1

p x

k 0

p x, avec | 1

p x|

k

1

px , 1 p x

1.

Proposition. Pour tout entier k Stéphane Ducay

X,

PX

k

G Xk 0 . Ainsi, G X caractérise la loi de probabilité de X. k! 7

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Preuve Pour tout réel x de

1, 1 , G X x k 0

k

G Xk 0 k x et donc pour tout entier naturel k, k!

GX 0 P X k , c’est-à-dire G Xk 0 k!P X k . Ainsi, connaître G X est équivalent à connaître les k! P X k , ce qui signifie que G X caractérise la loi de probabilité de X. Proposition. X admet une espérance mathématique si et seulement si G X est dérivable à gauche en 1. Dans ce cas, on a EX GX 1 . X admet une variance si et seulement si G X est deux fois dérivable à gauche en 1. Dans ce cas, on a 2 Var X E X2 E X 2 GX 1 GX 1 GX 1 . Preuve. On démontre facilement le résultat pour

X

n

On a G X x

kP X k 1

n

GX 1

kP X kk

1 PX

k 2

On en déduit que E X

X

n

kk

1 PX

k x

k 2

infini.

donc

k 2

kP X k 0

fini. On l’admettra pour

et G X x

n

k

k 1 n

et G X 1

k x

k 1

k

EX

kk

1 PX

n

k

n

k 0

G X 1 et Var X

n

k2P X

k k 0

E X2

Exemple. Si X suit la loi Binomiale B n, p , alors G X x px GX 1 np E X . On retrouve le résultat connu.

EX

1

p

2

n

k

kP X

E X2

k

k 0

GX 1

GX 1

et donc G X x

GX 1

np px

1

2

EX .

.

p

n 1

d’où

10 - Exercices. Exercice 1. 1) On lance trois fois une pièce de monnaie équilibrée. On appelle X le nombre de pile obtenus et Y le rang du premier pile obtenu. a) Proposer un espace probabilisé , A, P adapté. b) X et Y sont-elles des variables aléatoires réelles ? c) A quelles parties de correspondent les événements X 0 , X 1 , X 2 , X 3 ? Calculer la probabilité de ces événements. Donner la loi de probabilité de X. d) Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition F X de X. e) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X. 2) On lance indéfiniment une pièce de monnaie équilibrée et on appelle X le rang du premier pile obtenu. On associe à cette épreuve l’univers P, F un n 1, un P, F . On admet que X est une variable aléatoire réelle. a) Déterminer la loi de probabilité de X. b) Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition F X de X. c) Calculer l’espérance mathématique de X. Exercice 2. Une urne contient 3 boules blanches et 7 boules noires. On extrait successivement 4 boules de l’urne. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues. Déterminer sans calcul, la loi de probabilité de X, ainsi que son espérance mathématique et sa variance, suivant que les tirages sont avec ou sans remise. Exercice 3. Soient n un entier naturel non nul et X une variable aléatoire à valeurs dans 1, 2, . . . , n telle que pour tout k 1, 2, . . . , n , P X k k. Déterminer la constante . Calculer l’espérance mathématique et la variance de X. Stéphane Ducay 8

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Probabilités 1

Variables aléatoires réelles discrètes

Exercice 4. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n, avec n 3. On extrait au hasard trois boules de l’urne, successivement et sans remise. 1) Soit X la variable aléatoire égale au numéro porté par la troisième boule tirée. Déterminer la loi de probabilité de X. Reconnaitre une loi usuelle. Calculer son espérance mathématique et sa variance. 2) Soit Y la variable aléatoire égale à celui des numéros compris entre les deux autres. Déterminer la loi de probabilité de Y. Exercice 5. On considère N urnes numérotées de 1 à N, l’urne k contenant k boules numérotées de 1 à k. On choisit une urne au hasard, et une boule dans cette urne. Soit X la variable aléatoire égale au numéro tiré. Déterminer la loi de probabilité de X et son espérance mathématique. Exercice 6. Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire successivement et avec remise des boules de l’urne, et on note les numéros obtenus. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécesaires pour obtenir la première répétition d’un numéro. n k. k! C k . Déterminer la loi de probabilité de X. En déduire le calcul de n k k 1 n Exercice 7. Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre 0. 1 et Z 1 X. 1) Calculer l’espérance mathématique des variables aléatoires Y X 1 2) Déterminer la loi de probabilité de Z. Retrouver alors l’espérance mathématique de Z. Exercice 8. 1P X Soit X une variable aléatoire à valeurs dans telle que P X n 1 2 naturel n. A partir de la fonction de répartition F X de X, on définit la suite réelle u n pour tout entier naturel n. 1) a) Trouver une relation liant u n 1 et u n pour tout entier naturel n. b) En déduire l’expression de u n en fonction de n. 2) En déduire la loi de probabilité de X. Reconnaitre une loi usuelle. Exercice 9. Soit X une variable aléatoire suivant la loi de Poisson P 1) Déterminer la fonction génératrice G X de X. 2) Calculer G X x , puis G X 1 . Que retrouve-t-on ? 3) Retrouver la variance de X en utilisant G X .

n pour tout entier FX n n 0 telle que u n

.

Exercice 10. On répète dans les mêmes conditions une expérience aléatoire au cours de laquelle un événement A à une probabilité p 0, 1 de se réaliser. Soient r un entier naturel non nul et X la variable aléatoire égale au nombre d’expériences nécessaires pour obtenir r réalisations de A (on s’arrête dès la r-ème réalisation de A). 1) Déterminer la loi de probabilité de X, appelée loi de Pascal P r, p . 1 2) Démontrer que pour tous r et x 0, 1 , C rk x k r . 1 x r1 k r 3) En utilisant 2), vérifier que

PX

k

1, calculer l’espérance mathématique de X et de X

1 X.

k r

En déduire la variance de X.

Stéphane Ducay

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