Variables continues usuelles

Variables continues usuelles I)

Variables uniformes

1.1 Densités Nous avons déjà rencontré ce type de variables. Définition 1 On dit que la variable
suit une loi uniforme continue sur 0,1 si sa fonction densité de 0 si 0 probabilité est donnée par :   1 si 0   1. 0 si 1 On écrit que
 , Définition 2 On dit que la variable
suit une loi uniforme continue sur ,  si sa fonction densité de 0 si   probabilité est donnée par :    si    . 0

On écrit que
 ,

si



1.2) Fonctions de répartition On a vu que 0 Si
 , , sa fonction de répartition est    1

si 0 si 0   1. si 1 0 si 0 ! Si
 , , sa fonction de répartition est     si 0   1. 1 si 1

Théorème

1.3) Espérances et variances Soit
 , On a

On a

Donc

"
 #

"


)

#

%





) 1 1  - ' - ) ,  ,  )  &  # &  ( +   ' 3  ' 3 3  '



%$%

1 ) 1  ) ' )  ,   &  # &  ( +   ' 2  ' 2 2  '



%$)





 ,  )  ) ' 2 , )  '  ) ) ,  ,  ) '0 1   /
 3 2 12 12

Si
 , , on fait   0 et   1 dans les formules ci-dessus. On trouve : 1 "
 2 1 /
 12

II)

La loi exponentielle

2.1) Densité de probabilité 0 si  0 Soit λ un réel strictement positif. La fonction  définie sur ℝ par   3 6! 45 si 0 est une densité de probabilité. Si
est une variable aléatoire dont  est une densité, on dit que
suit une loi exponentielle de paramètre λ. Théorème et définition

La fonction  est bien évidemment positive, continue sauf en 0. On a 

On a également

On a donc

#  &  0

7

# 45 

6!

7

%

&  4 # 5 

Donc

Et donc

6!

7

5 6! 1 5 67 &  4 (' +  48 ' 9  1 ' 5 67 4  4 4 lim 1 ' 5 67  1

7<

%$#



%$

#



%$%

 &  1

 &  1

La fonction  est bien une densité de probabilité.

2 .2) Fonction de répartition

Soit une variable
qui suit une loi exponentielle de paramètre λ. On pourra écrire
 =4

Sa fonction de répartition  est définie sur ℝ par : !

Nous avons vu que

On a

  >
  # ? &? 

%

# ? &?  0 %

@  0,   0

Si

0, on aura

!

!

# ? &?  # 45 %

On a donc



6A

!

&?  4 # 5 

6A

0   3 1 ' 5 6!

!

5 6A &?  4 (' +  1 ' 5 6! 4  si  0 si 0

2.3) Espérance et variance On a sous réserve de convergence 

Comme #  &  0, on aura # %

On a pour I

0

7



%$%

"
 #



%$%

 &  #

 &



%$  &



7

7

#  &  # 45 6! &  4 # 5 6! & 





On procède par intégration par parties : On a J de classe K  , et J 5 6! est continue. On pose : L  donc LO  1

1 P O  5 6! donc P  ' 5 6! 4

On a donc

On a

Donc

7 7 1 7 4 # 5 6! &  4 8Q' 5 6! R , # 5 6! & 9 4 4    7 I  4 S' 5 67 T , # 5 6! & 4  67 1 5  'I5 67 , ' 4 4

1 5 67 1 lim 'I5 67 , '  par croissance comparée

7X  [  1 ' a _ a La variable X suit donc une loi géométrique de paramètre 1 ' 5 6 .

On a donc

III)

La loi normale

3.1) Des fonctions de densité particulières Considérons la fonction définie sur ℝ par

1

 

5

!d )

√2c Cette fonction est évidemment définie, continue et positive sur ℝ. On démontre et nous admettrons qu’elle remplit également la propriété : #



%$%

Cette fonction est une densité de probabilité.

 &  1

Soit e un nombre réel quelconque et σ un nombre réel strictement positif. Soit f la fonction définie sur ℝ par !h d 1  f  5 )id g√2c Cette fonction est évidemment définie, continue et positive sur ℝ.

L'intégrale généralisée #



%$%

f & est convergente.

En effet par croissance comparée, on a facilement

lim 5 )



? , 5



!<

%$Ce qui implique qu’il existe ?  0, tel que Ce qui permet de conclure en +∞. De même, on a

@

lim 5

!