(vinkeln θ är dimensionslös) =⇒ [c] = Nm

dθ a¨r ett moment, i N.m. Dessutom a¨r vinkelhastighetens enhet s−1 dt (vinkeln θ a¨r dimensionsl¨os) =⇒ [c] = N.m.s Obs! N = kg.m.s−2 och d¨armed [c] = kg.m2 s−1 ocks˚ a.

a) −c

b) N¨ar massan g˚ ar ner˚ at blir fj¨aderns l¨angd y > y0 , vilket ger en sp¨annkraft T1 = k(y − y0 ) som petar at p˚ a v¨anstra sidan av trissan. Vi antar att y k ner˚ a¨r positiv ner˚ at p˚ a massans sida och att θ a¨r moturs. Rullning ⇒ dy = −Rdθ. Newtons andra lag f¨or massan, som p˚ averkas av vikten mg och sp¨annkraften T2 i sn¨oret: X

Eulers andra lag f¨or trissan:

Fy = mg − T2 = m X

M =I

d2 y . dt2

d2 θ . dt2

Trissan p˚ averkas av tre moment: • +T1 × R med T1 = k(y − y0 ) och θ0 = 0 f¨or y0 (n¨ar fj¨adern a¨r ostr¨ackt), • −T2 × R med T2 = mg − m • −c

dθ . dt

d2 y , dt2

Vi f˚ ar d¨armed: I

d2 θ dθ d2 y dθ = R(T − T ) − c = Rk(y − y ) + Rm − Rmg − c 1 2 0 2 2 dt dt dt dt

Med y = −Rθ och θ0 = 0, f˚ ar vi en diffekvation i θ: (I + mR2 )

dθ d2 θ + c + kR2 θ + Rmg = 0 2 dt dt

mg En partikul¨ar l¨osning (ej efterfr˚ agad i uppgiften) a¨r θeq = − , vilken a¨r kR medurs, som f¨orv¨antat. Den homogena diffekvationen kan skrivas som: d 2 θh dθh c kR2 + + θh = 0 dt2 I + mR2 dt I + mR2 L˚ at oss i forts¨attningen skriva denna ekvation som: dθh d 2 θh + 2d + ω 2 θh = 0 2 dt dt c) Systemet a¨r svagt d¨ampat om 0 < d < ω: c