Werkcollege EKT-3

Werkcollege EKT–3

1

Opgaven derde werkcollege E.K.T., cursus 2001/2002 1. Wat is de eenheid van de impulsstroomdichtheid? 2. De elementaire theorie van de transportverschijnselen die in het college is besproken geeft de mogelijkheid om op eenvoudige wijze numerieke waarden voor de gemiddelde vrije weglengte `, de gemiddelde tijd tussen twee botsingen τ en de moleculaire diameter d te schatten uit transportgrootheden. (a) Een eenvoudige beschouwing geeft voor de gemiddelde vrije weglengte ` van de moleculen van een gas: ` = πd12 n . Wat betekent hierin n? Welke vereenvoudigende veronderstellingen zijn hierbij gemaakt? (b) In een gas met moleculen met diameter d = dA waarvan de deeltjesdichtheid wordt gegeven door n = nA bevindt zich ´e´en molecuul van een andere soort, met d = dB . We passen dezelfde vereenvoudigingen toe als bij de afleiding van de formule onder (a). Hoe groot is dan de botsingsdiameter dAB voor botsingen tussen het molecuul van soort B en moleculen van soort A? (c) Hoe groot is, nog steeds met dezelfde vereenvoudigingen als bij (a), de gemiddelde vrije weglengte `B van het afwijkende molecuul? (d) Voor de viscositeit van een gas levert een vereenvoudigde beschouwing de formule η = 13 ρv`, met ρ de massadichtheid van het gas. Leid met behulp van deze formule af hoe η voor een gas afhangt van i) de molecuulmassa, ii) de druk (bij constante temperatuur) en iii) de temperatuur (bij constante druk). (e) Bereken voor N2 de waarden voor de gemiddelde vrije weglengte `, de gemiddelde tijd tussen twee botsingen τ en de moleculaire diameter d uit de viscositeitsco¨effici¨ent bij T = 273 K en p = 1, 0 · 105 Pa, η = 1, 7 · 10−5 Pa · s (f) Bereken de botsingsdiameters dHe en dNe voor de edelgassen He (η = 1, 9 · 10−5 Pa · s) en Ne (η = 3, 0 · 10−5 Pa · s) (bij T = 273 K). 3. Een verdund gas bevat evenveel atomen A als B met diameters dA respectievelijk dB . De atomen zijn hard en rond, en hebben geen andere wisselwerkingen dan die tijdens de botsing. De totale deeltjesdichtheid is n, die van de twee soorten atomen nA resp. nB . Daar de deeltjesdichtheid van beide soorten atomen even groot is, mogen we aannemen dat een atoom A dat een bepaalde afstand aflegt, gemiddeld evenveel deeltjes A als B passeert. Laat nu atoom A een lengte l afleggen, waarin het met zeer vele atomen botst. Laat in gedachten in de eerste helft van het pad slechts botsingen met alle betreffende atomen van soort A plaatsvinden en in de tweede helft slechts botsingen met atomen van soort B. (Daar de volgorde van de botsingen niet ter zake doet, is dit een geoorloofde “gedachten”-stap).

Werkcollege EKT–3

2

(a) Geef uitdrukkingen voor de botsingsdiameters dAA (botsing tussen twee atomen A), dAB (botsing tussen een atoom A en een atoom B), dBA (botsing tussen een atoom B en een atoom A) en dBB (botsing tussen twee atomen B), uitgedrukt in de atoomdiameters dA en dB . (b) We kunnen nu een formule voor de gemiddelde vrije weglengte `A van atoom A tussen de andere atomen afleiden. We nemen aan dat de andere atomen stilstaan. Maak de in de inleiding genoemde handige keuze voor de volgorde van de botsingen. Heeft deze methode invloed op de te hanteren waarden van nA en nB ? Laat zien dat `A = 5d2 +d2K+2dA dB . Druk K uit in de totale deeltjesdichtheid n. A

B

(c) Geef zonder verdere berekening een analoge uitdrukking voor `B . (d) Laat dA = 0, 5dC en dB = 1, 5dC , waar dC de diameter van een derde soort atoom is (deze zit niet in het mengsel). Hoe groot worden dan `A en `B , uitgedrukt in dC en n? (of in dC en K, indien u K niet in n hebt uitgedrukt). (e) Voor de derde soort atomen is blijkbaar dC = 21 (dA + dB ). Is de vrije weglengte `C van het zuivere gas C dan ook gelijk aan 12 `A + `B ? Zo niet, hoe groot is dan

1 2





`A + `B /`C ?

4. We beschouwen een suspensie van onderling niet wisselwerkende deeltjes met massa m en diameter 2r in een vloeistof met viscositeit η. Het systeem heeft een temperatuur T . Onder invloed van de zwaartekracht stelt zich een concentratieprofiel in. (a) Geef de deeltjesconcentratie n als functie van de hoogte z. Dit systeem is een voorbeeld van een dynamisch evenwicht. De niet-uniforme concentratie veroorzaakt een diffusiestroom. De zwaartekracht veroorzaakt een deeltjesstroom die even groot, maar tegengesteld gericht is. (b) Welk verband bestaat er tussen de diffusiestroomdichtheid ~D en n(z)? De deeltjesstroom tegengesteld aan de diffusiestroom is het gevolg van de valbeweging van de deeltjes onder invloed van de zwaartekracht mg en de wrijvingskracht −6πηrv z die zij van de vloeistof ondervinden. In stationaire toestand is de valsnelheid van de deeltjes te schrijven als: v z = µmg, waarin µ de zgn. mobiliteit van de deeltjes is. (c) Bepaal µ. (d) Geef een uitdrukking voor de deeltjesstroomdichtheid ~F veroorzaakt door de zwaartekracht. (e) Bepaal de diffusieco¨effici¨ent D als functie van de mobiliteit µ en de temperatuur T.