(X) = 1 - Maths au lycée Mezeray

Probabilités : lois continues I.

Définitions générales . 1.

Rappels sur les lois de probabilités discrètes

a. Cas général Une variable aléatoire X est dite discrète si elle ne peut prendre qu’un nombre fini de valeurs 𝑥𝑖 Sa loi de probabilité est alors donnée par le tableau suivant :

𝒙𝒊 𝑥1 𝑥2 … 𝑥𝑛

p(X = 𝒙𝒊 ) p(X = 𝑥1 ) p(X = 𝑥2 ) … p(X = 𝑥𝑛 ) 1

Tableau pouvant être représenté par un diagramme en bâtons La somme des « longueurs des bâtons » devant être égale à 1 L’espérance de X est donnée par E(X) = ∑𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 p(X = 𝑥𝑖 ) 𝑖=𝑛 2 2 Et la variance par V(X) = ∑𝑖=1 (𝑥𝑖 − 𝐸(𝑥))2 p(X = 𝑥𝑖 ) = ∑𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 p(X = 𝑥𝑖 ) – (𝐸(𝑥))



Exercice : Soit l'expérience aléatoire : "On lance un dé à six faces et on regarde le résultat." On considère le jeu suivant : - Si le résultat est pair, on gagne 1€. - Si le résultat est 1, on gagne 5€. - Si le résultat est 3 ou 5, on perd 2€. On note X la variable aléatoire correspondant au gain . Donner la loi de probabilité de X , son espérance mathématique et sa variance . b.

Cas de la loi binomiale B(n,p)

Dans un schéma de Bernoulli comportant n épreuves indépendantes avec ,pour chaque épreuve , 2 issues possibles s et 𝑠̅ de probabilités respectives p et q = 1 – p , et pour la variable aléatoire X correspondant au nombre de succès s on a : Loi de probabilité (loi binomiale ) donnée par 𝒑(𝑿 = 𝒌) = (𝒏𝒌) 𝒑𝒌 𝒒𝒏−𝒌 Espérance donnée par E(X) = np Variance donnée par V(X) = npq = n p (1–p)



Exercice On lance un dé supposé parfait 10 fois . X représente le nombre de sorties du 6 .  Calculer p(X = 4) puis p(X ≤ 4 )  Calculer l’espérance de X , sa variance et son écart-type .

1

La loi de probabilité de l’exemple précédant est donnée par le tableau ci-dessous et sa représentation graphique est jointe . 0.35

x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05

p 0,16150558 0,32301117 0,29071005 0,15504536 0,05426588 0,01302381 0,00217064 0,00024807 1,8605E-05 8,2691E-07 1,6538E-08

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

On conçoit alors que , pour un très grand nombre de lancés , la représentation en bâtons va être formée de bâtons très rapprochés ( pour pouvoir mettre en abscisse toutes les valeurs de X ) donnant donc pratiquement une surface . La somme des « longueurs des bâtons » (égale à 1 ) correspond alors à l’aire de la surface en question et donc cette aire devant être égale à 1 . OK cela est un peu « capilo-tracté » mais permet d’avoir une approche de la notion de variable aléatoire continue . En effet on peut rencontrer des variables aléatoires pouvant prendre une infinité de valeurs par exemple tous les réels d’un intervalle .

2.

Variable aléatoire continue .

a. Exemple On s’intéresse à la probabilité de durée de vie en heure d’une ampoule électrique . Si on note X la durée de vie et en supposant que la durée de vie maximum d’une ampoule est de 4 ans , on peut considérer que X prend toutes les valeurs de l’ intervalle [0 ; 35 040 ] ( 35040 = nombre d’heures en 4 ans )

Chercher la probabilité de X = a n’a pas grand intérêt ( par exemple on se fiche un peu de connaître la probabilité que l’ampoule ait une durée de vie de 1247 heures ! ) mais admettons que cette probabilité soit donnée par une certaine fonction f . On aurait donc p(X = a) = f(a) Pour que on soit en adéquation avec ce qui a été dit pour les lois discrètes , il faut donc , d’un point de vue graphique , que la somme de toutes les « longueurs des bâtons » soit égale à 1 pour « a » allant de 0 à 35040 . Et donc , que l’aire de la partie du plan sous la représentation graphique de f , au-dessus de l’axe des abscisses et entre les droites d’équations x = 0 et x = 35040 soit égale à 1 . On reconnaît là la traduction graphique de l’écriture de : 35040

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 1 0

2

La probabilité de l’événement « b ≤ 𝑋 ≤ 𝑐 » étant la somme des probabilités des évènements « X = a » pour « a » variant entre b et c , par la même interprétation par les « bâtons » , on a : 𝑐

P(b ≤ 𝑋 ≤ 𝑐 ) = ∫𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

On voit bien que chercher la probabilité de « X = a » n’a pas de sens avec cette définition puisque on aurait : 𝑎

P(X = a) = P(a ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 ) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 Pour les lois continues on calcule donc P(X ∈ I ) où I est un intervalle inclus dans l’ensemble de définition de f . b. Fonction de densité On appelle fonction de densité ( ou densité ) sur l’intervalle I toute fonction f définie et positive sur I telle que l’intégrale de f sur I soit égale à 1 . c.

Probabilité d’une variable aléatoire continue

Etant donnée une variable aléatoire continue sur l’intervalle I .On définit une loi de probabilité de la variable aléatoire continue associée à la fonction de densité f sur l’intervalle I par : Pour a et b dans I

𝑏

P(X ∈ [𝒂; 𝒃]) = P( 𝒂 ≤ 𝑿 ≤ 𝒃) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

3

Remarques :  P(X ∈ [𝒂; 𝒃]) = P(X ∈ [𝒂; 𝒃[) = P(X ∈]𝒂; 𝒃]) = P(X ∈]𝒂; 𝒃[ ) 𝑎

car P(X = a) = P(a ≤ 𝑋 ≤ 𝑎 ) = ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 0 de même pour

P(X = b)

𝐛

 P(X ∈ [𝐚; + ∞ [ ) = 𝐥𝐢𝐦 ∫𝐚 𝐟(𝐱)𝐝𝐱 𝐛→ + ∞

 Si X est à valeurs dans [a;b] alors pour tout c de [a;b] on a P(X ≥ 𝒄 ) = P( X ∈ [𝒄; 𝒃]) = 1 – P(X ∈ [𝒂; 𝒄]) = 1 – P( X ≤ 𝒄 ) démonstration :

d.

Espérance mathématique

Par analogie avec l’espérance pour une variable aléatoire discrète E(X) = ∑𝑖=𝑛 𝑖=1 𝑥𝑖 p(X = 𝑥𝑖 ) 𝑖=𝑛 En remplaçant la somme finie ∑𝑖=1 par la somme ∫ et p(X = 𝑥𝑖 ) par f(x) On a : Etant donnée une variable aléatoire X continue sur l’intervalle [a ;b] associée à la fonction de densité f sur l’intervalle [a ;b] on a : 𝒃

E(X) = ∫𝒂 𝒙 𝒇(𝒙)𝒅𝒙

e.

Exercice

Dans un état fictif , un fonctionnaire se tourne les pouces de manière continue .Soit X le nombre de tours de pouces ( en milliers)effectués par jour . On admet que X prend ses valeurs dans l'intervalle [0 ; 20] avec une densité de probabilité f définie par : f(x) = 0,015 x – 0,00075 x² a) Démontrer que f est une densité de probabilité sur [0 ; 20]. b) Calculer la probabilité de l'événement E "le fonctionnaire se tourne les pouces plus de 12 000 fois". c) Calculer l'espérance mathématique de X.

4

a) Par étude du trinôme 0,015 x – 0,00075 x² on a 2 racines 0 et 20 ( car 0,015 x – 0,00075 x² = x(0,015 –0.00075 x ) Et donc (signe du trinôme) f (x)  0 sur [0 ; 20]. De plus



20

20

f (t) dt  0,0075t 2  0,00025t 3   0,0075  202  0,00025  203  0  1

0

0

Donc f est bien une densité sur [0 ; 20]. b) P(E)  P(12  X  20)





20

f (t) dt

12

 0,0075t 2  0,00025t 3 

20

12

 0,0075  202  0,00025  203  0,0075  122  0,00025  123  1  0,648  0,352 c) E( X ) 



20

0

  

t f (t) dt

20

0 20

0

t f (t) dt 0,015t 2  0,00075t 3 dt

 0,005t 3  0,0001875t 4 

20 0

 0,005  20  0,0001875  204  0  10 3

II. 1.

Exemple 1 : loi uniforme sur [a ;b] Définition

Soit a et b deux réels tels que 𝒂 < 𝑏 La loi uniforme sur [a ;b] , notée 𝑼([𝒂;𝒃]) , est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction constante f définie sur [a ; b], par : f(x) =

𝟏 𝒃−𝒂

Montrer que f est bien une densité sur [a ;b]

2. Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝑼([𝒂;𝒃]) Alors, pour tout t de [a ; b] , on a : P(𝒂 ≤ X ≤ 𝒕 ) =

𝒕 −𝒂 𝒃− 𝒂

Démonstration : 5

P(a  X  x) 



x

a

x 1 1 xa t   dt  a b a b a b a

3. Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme 𝑼([𝒂;𝒃]) Alors :

E(X) =

𝒂+𝒃 𝟐

Démonstration : (à faire )

4. Exercice : Au supermarché Carouf , un jour de grande affluence , le temps d’attente T (en minutes) à la caisse de Ginette suit la loi uniforme sur [2 ; 20] a. Donner la fonction de densité b. Quelle est la probabilité d’attendre moins d’un quart d’heure à la caisse de Ginette ? c. Quel est le temps d’attente moyen à la caisse de Ginette ?

6

III.

Exemple 3 : Loi normale centrée réduite

1. Définition La loi normale centrée réduite , notée N (0,1) , est la loi ayant pour densité de probabilité la fonction 𝝋 définie sur ] – ∞ ; + ∞ [

par :

𝝋(x) =

𝟏 √𝟐𝝅

𝒆

−

𝒙𝟐 𝟐

𝝋 est appelée fonction de densité de Laplace-Gauss

La fonction 𝜑 a une allure particulière appelée « courbe en cloche » (On parle aussi de « gaussienne »). Cette répartition est courante dans la nature d’où le nom de loi « normale » Montrer que 𝜑 est bien une densité sur ] – ∞ ; + ∞ [ nécessite des connaissances plus élaborées car , si il est +∞

évident que 𝜑 est continue et positive sur ] – ∞ ; + ∞ [ , la démonstration de ∫− ∞ 𝜑(𝑥)𝑑𝑥 = 1 est difficile car on ne connaît pas de primitive de 𝜑 et il faut alors utiliser la technique de calcul de l’intégrale de Gauss

Le calcul de cette intégrale est très largement hors programme . On admettra donc que 𝜑 est bien une fonction de densité sur ] – ∞ ; + ∞ [ Donc

+∞

+∞

∫− ∞ 𝜑(𝑥) 𝑑𝑥 = , ∫− ∞

1 − 𝒆 √2𝜋

𝒙𝟐 𝟐

𝑑𝑥 = 1

Pour des raisons de symétrie de la courbe , on a : +∞

∫0

1 − 𝒆 √2𝜋

𝒙𝟐 𝟐

𝑑𝑥 =

1 2

et

0

1

− ∫− ∞ √2𝜋 𝒆

𝒙𝟐 𝟐

𝑑𝑥 =

1 2

2. Propriétés Soit la variable aléatoire X qui suit la loi normale centrée réduite , notée N (0,1) Pour des raisons de symétrie de la représentation graphique de 𝜑 on a : pour tout a strictement positif

 P(0 < X < a ) = P(– a < X < 0 )

𝑎

0

(car ∫0 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 = ∫−𝑎 𝜑(𝑡)𝑑𝑡 )

 P(– a < X < a ) = 2 P(0 < X < a ) De plus il est important de penser aux résultats suivants

 P(X < 0 ) = 0.5 et P(X> 0) = 0.5  P( X < a ) = 0.5 + P(0 < X < a )  P( X < – a ) = 0.5 – P(–a < X < 0 ) Démontrer ces 2 derniers résultats 7

3. Calcul de P( X ∈ [a ; b] ) 𝑏

Si X est une variable aléatoire qui suit une loi N (0,1) , pour calculer P( X ∈ [a ; b] ) = ∫𝑎

1 − 𝒆 √2𝜋

𝒙𝟐 𝟐

𝑑𝑥

Nous n’avons pas d’autre choix que d’utiliser la calculatrice , d’où la nécessité de connaître la séquence de touches Avec Casio



OPTN → STAT → DIST → NORM →

𝑁𝑝𝑑 { 𝑁𝑐𝑑 𝑖𝑛𝑣𝑁



Npd permet de calculer les valeurs de la densité f La syntaxe est alors NormPD( « valeur ») par exemple pour calculer f(1.2) =

𝟏 √𝟐𝝅

𝒆−

𝟏.𝟐𝟐 𝟐

on tape NormPD(1.2) on obtient environ 0.194186



Ncp permet de calculer P( a< X < b ) La syntaxe est alors NormCD( « borne inf », « borne sup ») par exemple pour calculer P( –1.5 < X < 2.2 ) on tape NormCD(–1.5,2.2) on obtient environ 0.919289



la fonction invN donne le nombre réel k tel que P(X < k) = « valeur » , la « valeur » devant être nécessairement entre 0 et 1 (puisque c’est une probabilité ! ) Cette fonction va être importante dans la suite . La syntaxe est InvNormCD(« valeur ») Par exemple InvNormCD(0.3) donne environ – 0.5244 donc P(X < – 0.5244) ≈ 0.3

4. Exercice La variable X aléatoire suit la loi normale N (0,1) ( les résultats seront données en valeurs arrondis au millième ).

Calculer P( –1.34 < X < 2.27 ) b. Calculer P(X < – 1.754) c. Déterminer le réel a tel que P(X < a) = 0.275 a.

8

5. Propriété Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite , notée N (0,1) Alors  P( – 𝟏. 𝟗𝟔 < 𝑋 < 𝟏. 𝟗𝟔 ) ≈ 0.95 = 95 % c’est à dire que environ 95 % des valeurs de X se trouve dans l’intervalle ]– 𝟏. 𝟗𝟔 ; 𝟏. 𝟗𝟔 [ Et  P( – 𝟐. 𝟓𝟖 < 𝐗 < 𝟐. 𝟓𝟖) ≈ 0.99 = 99 % c’est à dire que environ 99 % des valeurs de X se trouve dans l’intervalle ]– 𝟐. 𝟓𝟖 ; 𝟐. 𝟓𝟖 [

Vérification à la calculatrice :

6. Espérance et écart-type Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite , notée N (0,1) Alors son espérance est nulle et son écart-type vaut 1 E(X) = 0

et 𝝈 (X) = 1

Ces résultats sont admis

7. Exercices Exercice 1 La variable X aléatoire suit la loi normale N (0,1) ( les résultats seront données en valeurs arrondis au millième ). a. Calculer P(X=1) b. Calculer P(–1.5 < X < 2.2) c. Calculer P(X < 1.3) d. Calculer P(X > 0.22) e. On note A l’événement « X > –0.38 » et B l’événement « X < 1.02 » calculer 𝑃𝐴 (𝐵) . Exercice 2 Lors d’un concours , la moyenne des notes est 8 . T est la variable aléatoire qui donne l’écart entre t – 8 où t est la note obtenue par un candidat . T suit la loi normale centrée réduite N (0,1) . a. A combien faut-il fixer la note seuil d’admissibilité à ce concours pour que 60% des candidats soient admissibles ?( arrondir au centième ) b. Dans quel intervalle de notes centré en 8 trouve - t -on 80 % des notes des candidats ?

9

Exercice 3 Une embouteilleuse remplit de jus de pommes des bouteilles de 100 cl ; On note X l’écart entre q – 100 , en cl , où q est la quantité de jus dans une bouteille . On admet que X suit la loi normale centrée réduite N (0,1) . a. Déterminer au centième prés la valeur du nombre u tel que P(–u < X < u) = 90 % b. En déduire un encadrement ,centré sur 100 cl , de la quantité de jus dans 90% des bouteilles . Exercice 4 La température T relevée en janvier , en milieu de journée , suit la loi N (0,1) . a. Interpréter dans ce contexte le fait que E(T) = 0 b. Justifier que , dans plus de 95% des cas , la température relevée est entre –2 ° et 2° . c. Quelle est la fourchette de températures relevées dans plus de 99 % des cas ? d. Donner une estimation de la probabilité d’avoir un jour de janvier une température supérieure à 2 °

IV.

Exemple 4 : Loi Normale générale 1. Définition

Si 𝝁 est un réel et 𝝈 un réel strictement positif La variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres 𝝁 et 𝝈² , notée N ( 𝝁 ,𝝈² ) , si et seulement si la variable aléatoire Z =

𝑿−𝝁 𝝈

suit la loi N ( 𝟎 ,𝟏 )

Remarque Il existe ,bien sur, une fonction de densité g définie sur IR liée à une loi normale N ( 𝜇 ,𝜎² ) et donc telle 𝑏

que : P(a < X < b) = ∫𝑎 𝑔(𝑥)𝑑𝑥

mais son expression n’est pas au programme .

En fait , par changement de variable que vous apprendrez plus tard , on obtient g(x) = 𝜎

1 √2𝜋

𝑒

−

(𝑥−𝜇)2 2𝜎2

2. Exemples de fonctions de densité pour une loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )

10

3. Propriétés Si la variable aléatoire X suit la loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² ) Alors :  P(X < 𝝁 ) = P(X > 𝝁 ) = 0.5  Si a > 𝝁 alors P(X < a ) = 0.5 + P( 𝝁 < X < a )  Si a < 𝝁 alors P(X < a ) = 0.5 – P( 𝒂 < X < 𝝁 )



pour les calculs il est utile de revenir à la valeur x = 𝝁 pour une loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )

4. Espérance et variance

Si la variable aléatoire X suit la loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² ) Alors son espérance est E(X) = 𝝁 et sa variance est 𝝈²

( donc son écart type est |𝝈| )

5. Les intervalles « un , deux , trois sigmas » Si X est une variable aléatoire qui suit la loi N ( 𝝁 ,𝝈² ) et si Z =

𝑿−𝝁 𝝈

Z suit alors la loi N ( 𝟎 ,𝟏 ) On a alors P( 𝜇 – 𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) = P( – 1 < Z < 1 ) ≈ 0.683 à la calculatrice On montre de même que P( 𝜇 – 2𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝜎) ≈ 0.954 Et P( 𝜇 – 3𝜎 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝜎) ≈ 0.997 Retenir : Si X est une variable aléatoire qui suit la loi N ( 𝝁 ,𝝈² ) Alors :  P( 𝝁 – 𝝈 < 𝑋 < 𝜇 + 𝜎) ≈ 0.683  P( 𝝁 – 𝟐𝝈 < 𝑋 < 𝜇 + 2𝝈) ≈ 0.954  P( 𝝁 – 𝟑𝝈 < 𝑋 < 𝜇 + 3𝝈) ≈ 0.997 11

6. Utilisation de la calculatrice La calculatrice permet de calculer directement P(a < X < b ) lorsque X suit la loi normale N ( 𝝁 ,𝝈² )



Pour cela taper NormCD(« borne inf », « borne sup », « 𝝈 » , « 𝝁 ») (attention à l’ordre !!)



Par exemple NormCD( 0.5 , 1.3 , 0.8 , 2) ≈ 0.16039 donc P(0.5 < X < 1.3) ≈ 0.16039 lorsque X suit la loi normale N ( 2 ,0.8² )  Si on cherche , pour cette loi normale N ( 2 ,0.8² ) , p(X < 2.7 ) On utilise l’espérance 𝜇 = 2 p(X < 2.7 ) = 0.5 + P( 2 < X < 2.7) = 0.5 + NormCD(2 , 2.7 , 0.8 , 2) On obtient p(X < 2.7 ) ≈ 0.809213

7. Exercices Exercice 1 Les températures du mois de juillet au camping « les flots gris » de Loch Mordefraix suivent la loi normale d’espérance 18.2 ° et d’écart-type 3.6 ° . Les deux frères Tairieur ( Alex et Alain ) comptent aller camper là-bas en juillet . Leur indiquer la probabilité que la température un jour de juillet soit : a. Inférieur à 16 ° b. Comprise entre 20° et 24.5° c. Supérieure à 21° Exercice 2 Le club-house du Rugby Club de Mezidugnac (Lot et Garonne ) sert beaucoup de boissons . La consommation (en cl ) de boisson locale à base de houblon ( le bobolacabessa )d’un supporter Lambda suit la loi normale N ( 120 ,225 ) . a. Donner la consommation moyenne d’un supporter du RCM ; b. Quelle est la probabilité pour que Jo Tapedur , ancien talonneur du RCM , consomme entre 1,10 l et 1.35 l de bobolacabessa ? c. Le jour du derby Mezidugnac contre Boitaclac-le-Groin , le club a servi 850 clients .A combien peuton estimer le nombre de supporters dont la consommation de bobolacabessa dépassait 130 cl ? Exercice 3 Lors d’un test de QI dans la classe de TES , 70 % des élèves ont un score inférieur à 60 . Sachant que les résultats suivent une loi normale d’écart-type 20 , calculer l’espérance de QI de Théo ? Exercice 4 La variable aléatoire X suit la loi normale N ( 90 ,400 ) Les résultats seront données arrondis au dixième . a. Déterminer le réel 𝑘1 tel que p(X < 𝑘1 ) = 0.98 b. Déterminer le réel 𝑘2 tel que p(X > 𝑘2 ) = 0.60 c. Déterminer un intervalle I centrée en 𝜇 tel que P( X ∈ I ) = 0.85

12

8. Remarque :Approximation normale d’une loi binomiale Pour une loi binomiale

B(30,1/3) on obtient avec Excel

la représentation en colonnes suivante :

0.2 0.15

On peut remarquer que l’allure « en cloche » de ce diagramme suggère la présence d’une loi normale dont la représentation de la loi de densité serait approchée par le diagramme en colonnes .

0.1 0.05 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31

La fonction de densité représentée ci-contre correspond à la loi normale N ( 𝜇, 𝜎²) Avec 𝜇 = n p = 30 × 1/3 = 10 1 3

2 3

Et 𝜎 2 = npq = np(1–p) = 30× ( ) × ( ) =

Si X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale

20 3

B(n,p)

On peut dire que : Pour les grandes valeurs de n , X suit pratiquement la loi normale N ( 𝒏𝒑,np(1-p)) = N ( 𝒏𝒑,npq)

13