Zum Neutrino uss aus der Annihilation dunkler Materie aus der

Zum Neutrinouss aus der Annihilation dunkler Materie aus der Richtung des galaktischen Zentrums

von Isabel Mira Oldengott

Bachelorarbeit in Physik vorgelegt der Fakultät der Mathematik, Informatik und Naturwissenschaften der RWTH Aachen im Juli 2010 angefertigt im III Physikalischen Institut B bei Herrn Prof. Dr. Wiebusch

Hiermit versichere ich, dass ich die Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt sowie Zitate kenntlich gemacht habe.

 (Aachen, den 27.07.2010)

Mein Dank gilt:

ˆ Herrn Prof. Dr. Wiebusch für die interessante Fragestellung und das Ermöglichen dieser Arbeit. ˆ Jan-Patrick Hülÿ für die gute Betreuung und Anleitung. ˆ Martin Bissok für die Unterstützung und Hilfsbereitschaft. ˆ Meinen Eltern, die mir das Studium ermöglichen. ˆ Jan Krusenbaum für sein Interesse und seine Geduld.

Inhaltsverzeichnis 1 Einführung

1

2 Zum Neutrinouss aus dem galaktischen Halo

3

2.1

Kandidaten für dunkle Materie und ihre Teilchenmasse . . . . . . . . .

6

2.2

Der Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . .

8

3 Halo-Modelle

9

3.1

Ein theoretischer Ansatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2

Halo Modelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2.1

Hernquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

3.2.2

Isothermes Prol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.2.3

Burkert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2.4

Einasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2.5

Prugniel-Simien

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.3

Skalierung der Dichteprole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.4

Vergleich der Prole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

4 Die baryonische Dichteverteilung in der Milchstraÿe

23

5 Berechnung des Sichtlinienintegrals J(ψ)

26

5.1

Das Sichtlinienintegral J(ψ) in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ .

26

5.2

Der durchschnittliche Neutrinouss aus dem galaktischen Zentrum . . .

28

5.3

Signikanz eines Neutrinosignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

6 Zusammenfassung

33

1 Einführung Die Existenz dunkler Materie ist heute unter Physikern fast unumstritten. Bereits in den 1930er Jahren fand Jan Henrik Oort bei der Untersuchung der vertikalen Bewegung von Sternen nahe der galaktischen Ebene erste Hinweise auf ihre Existenz [Ei09]. Es stellte sich heraus, dass die Anzahl der sichtbaren Sterne nicht genügt, um die vertikale Beschleunigung der Sterne zu erklären. Es folgten viele weitere Beobachtungen von Unstimmigkeiten zwischen der Dynamik von Sternen- und Galaxiesystemen und ihrer sichtbaren Masse. Ein überzeugendes Beispiel sind die Rotationskurven von Galaxien [B+04]: Die Rotationsgeschwindigkeit von Sternen im Abstand R hängt mit der eingeschlossen Masse über das Kräftegleichgewicht von Zentripetalkraft und Gravitationskraft zusammen. Aufgrund der sichtbaren Materie wird ein Abfall der Rotationsgeschwindigkeit der Sterne im äuÿeren Bereich von Galaxien erwartet. Beobachtet wird jedoch, dass die Geschwindigkeiten für groÿe Abstände nahezu konstant bleiben, was auf die Anwesenheit einer höheren Menge an Materie deutet als beobachtet wird. Alternativ zu der Existenz einer unsichtbaren Materie besteht natürlich auch die Möglichkeit, dass das bestehende Gravitationsgesetz auf groÿen Skalen wie in Galaxien nicht mehr gültig ist. Eine Modikation des Gravitationsgesetzes bietet die Modizierte Newtonsche Dynamik (MOND) [MB87]. Diese kann zwar die beobachteten Rotationskurven gut reproduzieren, andere beobachtete Unstimmigkeiten bei Phänomenen wie dem Gravitationslinseneekt oder der Strukturformung des Universums kann sie jedoch nicht erklären. Der Gravitationslinseneekt ist eine Folge aus der Allgemeinen Relativitätstheorie. Dabei wird der Raum durch die Anwesenheit einer groÿen Masse so gekrümmt, dass das Licht von anderen Sternen abgelenkt wird und das entstehende Bild auf der Erde verzerrt erscheint (sogenannter Einstein-Ring) [Ei09]. Bei sehr groÿen Massen werden sogar Objekte sichtbar, die hinter der groÿen Masse liegen und sonst auf der Erde nicht beobachtbar wären . Die Stärke des Linseneektes hängt von der den Raum verzerrenden Masse ab. Es gibt viele Beispiele von Beobachtungen dieses Eektes, die eine gröÿere Masse implizieren als sichtbar ist. Relativ aktuell und bahnbrechend für die Überzeugung von der Existenz dunkler Materie ist die Messung der kosmischen Hintergrundstrahlung von WMAP [H+08]. Die Struktur des Universums hat sich aus anfänglichen Dichteschwankungen gebildet, deren Amplitude maÿgebend für die heutige Struktur ist. Die emittierte Strahlung aus dieser Epoche ist die kosmische Hintergrundstrahlung. Anhand dieser konnte gezeigt werden, dass die anfänglichen Dichteschwankungen viel zu klein waren, um für die heutige Struktur des Universum 1

verantwortlich zu sein. Eine Lösung für diesen Konikt ist, dass das Universum von einer nicht-baryonischen Materie dominiert wird, wegen der zum Einen die Fluktuationen viel früher anfangen konnten zu wachsen, zum Anderen die Fluktuationen nicht durch Strahlungsdruck gehemmt werden konnten [Ei09]. Während an der Existenz dunkler Materie also kaum noch gezweifelt wird, ist ihre Natur noch weitesgehend unbekannt. Klar ist, dass sie gravitativ wechselwirkt, also massiv ist, und ungefähr 90% der gesamten Masse unseres Universums ausmacht. Aus Gründen der Strukturbildung wird derzeit die Vorstellung von kalter Materie (CDM= Cold Dark Matter) bevorzugt, also Teilchen, die sich relativ langsam bewegen. Es liegt der Gedanke nahe, dass Teilchen aus dunkler Materie auch annihilieren könnten, so wie es die bekannten Standard Modell (SM) Teilchen tun. Weiterhin besteht auch die Möglichkeit, dass dunkle Materie in SM Teilchen annihiliert, was für uns die Möglichkeit eines indirekten Nachweises von dunkler Materie darstellen würde. Von allen möglichen SM Teilchen-Endzuständen ist dabei der Endzutand von Neutrinos besonders interessant, da sie wegen ihres geringen Wirkungsquerschnittes ein nahezu unverändertes Energiespektrum bei ihrer Detektion auf der Erde aufweisen würden. Dagegen würden die anderen SM Endzustände auf dem Weg zur Erde entweder zerfallen oder aber mit anderen Teilchen wechselwirken, so dass wichtige Anfangsinformation verloren ginge. Ein solches Neutrinosignal, das aus der Annihilation dunkler Materie in der Milchstraÿe stammt, sollte mit Neutrinodetektoren wie z.B. dem ICECUBE Teleskop nachgewiesen werden können. In dieser Arbeit soll der erwartete Neutrinouss aus der Annihilation dunkler Materie aus der Richtung des galaktischen Zentrums untersucht werden. Der erwartete Neutrinouss ist abhängig von der Dichteverteilung dunkler Materie, welche durch eine Vielzahl an Halo-Modellen beschrieben wird. Es sollen insbesondere die Unterschiede zwischen diesen verschiedenen Halo-Modellen aufgewiesen werden.

2

2 Zum Neutrinouss aus dem galaktischen Halo Da über die Natur dunkler Materie wenig bekannt ist, gibt es keine Vorhersage darüber, wie genau die möglichen Endzustände ihrer Annihilation aussehen. Es können daher beliebig viele Neutrinos im Endzustand vorkommen. Diese Neutrinos können entweder direkt aus der Annihilation dunkler Materie stammen oder auch aus dem Zerfall von anderen Teilchen, welche aus der Annihilation stammen. In Abbildung 2.1 wird schematisch die Annihilation zweier Teilchen der dunklen Materie dargestellt. Zusätzlich zu den Neutrinos können auch noch andere SM Teilchen im Endzustand vorkommen.

Abbildung 2.1: Schematische Darstellung der Annihilation zweier dunkle Materie Teilchen χ mit Neutrinos ν im Endzustand. Der Neutrinouss, der aufgrund von Selbstannihilation dunkler Materie im galaktischen Halo erwartet wird, lässt sich durch folgende Formel beschreiben [YH08]:

1 < σA v > ρ2 dNν dNν = · · J(ψ) · Rsc · sc2 · . dE dA dT dψ 4π 2 mχ dE

(2.1)

Der erwartete Fluss ist eine Funktion der betrachteten Richtung, was in Formel (2.1) durch die Abhängigkeit von der Gröÿe ψ ausgedrückt wird. ψ ist der Sichtlinienwinkel, welcher von der Sichtlinie l(ψ) zur Verbindungslinie der Erde zum galaktischen Zentrum gemessen wird (siehe Abbildung 2.2). Der Faktor 1/4π kommt daher, dass die Neutrinos isotrop abgestrahlt werden und durch den Faktor 1/2 wird berücksichtigt, dass zur Annihilation 2 Teilchen dunkler Materie benötigt werden. < σA v > ist der Mittelwert des Produktes des Selbstannihilations-Wirkungsquerschnittes mit der Geschwindigkeit der Teilchen der dunklen Materie. Auf diese Gröÿe wird in Kapitel 2.2 noch genauer eingegangen.Rsc ist ein frei wählbarer Skalierungsradius und ρsc ist die Dichte dunkler Materie im Abstand Rsc vom galaktischen Zentrum. Hier wird Rsc als der Abstand der Erde vom Zentrum der Milchstraÿe gewählt, also Rsc = 8, 5 kpc. 3

Abbildung 2.2: Schematische Darstellung des galaktischen Halos zur Veranschaulichung des Sichtlinienintegrals. ψ ist die betrachtete Richtung relativ zum galaktischen Zentrum (GZ). Rsc ist der Abstand vom Sonnensystem (bzw. der Erde) zum galaktischen Zentrum. RH ist der maximale Radius, der in die Integration nach Formel (2.2) eingeht. l(ψ) ist die betrachtete Sichtlinie. Die Dichteverteilung dunkler Materie im Halo wird durch die Funktion ρ(r) ausgedrückt. Es gibt verschiedene Modelle für die Dichteverteilung ρ(r), auf die in Kapitel 3 genauer eingegangen wird. ρsc hängt also vom betrachteten Halo-Modell ab, typische Werte liegen im Bereich von ∼ 0, 3 GeV cm−3 . mχ ist die Masse der Teilchen der dunklen Materie und hängt stark von dem angenommen Modell für dunkle Materie ab. Die verschiedenen Kandidaten für dunkle Materie und die zugehörigen Teilchenmassen

mχ werden in Kapitel 2.1 kurz zusammengefasst. Der Faktor ρsc /mχ ist damit die Teilchenzahldichte im Abstand Rsc vom galaktischen Zentrum. Der quadratische Zusammenhang zwischen Neutrinouss und Teilchenzahldichte folgt daraus, dass insgesamt 2 Teilchen in den Prozess der Annihilation eingehen. dNν /dE ist die Energieverteilung der Neutrinos, die aus der Annihilation dunkler Materie stammen. Diese Gröÿe hängt direkt von dem realisierten Modell von dunkler Materie ab. J(ψ) ist das Sichtlinienintegral (Integral entlang einer Linie l(ψ)) über das Quadrat der Massendichtefunktion ρ(r) und eine Funktion des Sichtlinienwinkels ψ : 1 J(ψ) = Rsc ρ2sc

lˆ max

ρ2 (d(l)) dl . 0

4

(2.2)

Aus Abbildung 2.2 lässt sich über den Kosinussatz folgender Zusammenhang herleiten:

d(l) =

p 2 − 2lR cos(ψ) + l 2 . Rsc sc

(2.3)

Bei der Integration in Formel (2.2) wird die gesamte dunkle Materie innerhalb eines Radius RH vom galaktischen Zentrum berücksichtigt. Beiträge zum Neutrinouss aus Regionen auÿerhalb dieses Radius sind vernachlässigbar. Das Integral J(ψ) (2.2) erstreckt sich entlang der Linie l(ψ) von der Erde bei l = 0 bis zu einem maximalen Wert

lmax , der von RH abhängt. lmax ergibt sich durch Gleichsetzen von d(l) aus Formel (2.3) mit RH und Umformen: lmax = Rsc cos(ψ) +

q

2 − Rsc sin2 (ψ) . RH

(2.4)

Formel (2.1) gibt den erwarteten Neutrinouss aus einer bestimmten (innitesimalen) Richtung ψ an. Der gesamte Fluss aus einer bestimmten Region bzw. das auf der Erde messbare Signal ergibt sich durch Integration von J(ψ) über den Raumwinkel ∆Ω =

2π(1 − cosψ): ˆ1 Jges (ψ) = 2π ·

ˆψ 0

J(ψ 0 ) · sin(ψ) dψ .

0

J(ψ ) d(cos(ψ )) = 2π ·

(2.5)

0

cosψ

Weiterhin ist der durchschnittliche Fluss aus einem Raumwinkel ∆Ω durch den Quotienten vom gesamten Fluss Jges (ψ) und dem Raumwinkel ∆Ω gegeben:

Jges (ψ) 1 J∆Ω (ψ) = = ∆Ω (1 − cos(ψ))

ˆψ J(ψ 0 ) · sin(ψ 0 ) dψ 0

(2.6)

0

Durch Ersetzen von J(ψ) in Formel (2.1) durch Formel (2.5) bzw. (2.6) lässt sich sowohl der gesamte Fluss als auch der durchschnittliche Fluss aus Richtung des galaktischen Zentrums berechnen.

5

2.1 Kandidaten für dunkle Materie und ihre Teilchenmasse Es gibt eine Vielzahl an Modellen, die verschiedene Teilchen als Kandidaten für dunkle Materie voraussagen. Dementsprechend groÿ ist auch der mögliche Energiebereich, in dem die Teilchenmasse mχ dunkler Materie liegen könnte. Eine allgemeine, obere Grenze für mχ liefert die so genannte Unitaritätsgrenze, welche die Existenz eines maximal möglichen Selbstannihilations-Wirkungsquerschnittes für ein Teilchen der Masse mχ impliziert. Für Teilchen, die ein thermisches Relikt sind, beschränkt diese Grenze die Teilchenmasse auf den Energiebereich: mχ ≤ 340 T eV [B+04]. Im Folgenden soll eine kurze Übersicht über einige Kandidaten für dunkle Materie gegeben werden:

Axionen Axionen wurden ursprünglich eingeführt, um das Problem der CP Verletzung in der Quantenchromodynamik zu lösen. Eine obere Grenze für ihre Masse konnte in Laborversuchen sowie aus der Untersuchung der Dynamik der Supernova 1987 A bestimmt werden: mχ ≤ 1 eV [B+04]. Wegen ihrer geringen Masse stellen diese Teilchen keine kalte dunkle Materie dar.

Das leichteste Teilchen in supersymmetrischen Modellen (LSP= Lightest Supersymmetric Particle) Die Theorie der Supersymmetrie (SUSY) stellt Fermionen und Bosonen in einen Zusammenhang. Auÿerdem bietet sie die Möglichkeit das Hierarchieproblem zu lösen, welches in dem groÿen Unterschied in der Gröÿenordnung der Gravitationskraft und den anderen drei Kräften der Natur (elektromagnetische, starke, schwache Kraft) liegt. Es gibt verschiedene supersymmetrische Modelle, die sich unter anderem in der Anzahl ihrer freien Parameter unterscheiden. ˆ Das MSSM (Minimal Supersymmetric Standard Model) ist die kleinstmögliche Erweiterung des Standardmodells der Teilchenphysik zu einem supersymmetrischen Modell. Dabei wird jedem Fermion ein bosonischer Partner zugewiesen und umgekehrt. Die Einführung der Erhaltung einer neuen multiplikativen Quantenzahl, der R-Parität, hat zur Folge, dass das leichteste SUSY-Teilchen nicht zerfallen kann. Dieses leichteste supersymmetrische Teilchen (LSP) ist daher ein vielversprechender Kandidat für dunkle Materie. Das MSSM hat viele freie Parameter, 6

es bleibt daher unbestimmt welches der SUSY-Teilchen das LSP ist und wie groÿ die Masse mχ diese Teilchens ist. Der derzeit meist favorisierte SUSY-Kandidat für das LSP ist das Neutralino. Dieses ist ein Mischzustand aus den supersymmetrischen Partnern zu dem B - und W3 -Boson und den neutralen Higgs-Bosonen

H10 und H20 , welche Bino, Wino und Higgsinos genannt werden. Die Masse des Neutralinos beschränkt sich auf den Energiebereich: mχ ≤ 3200 GeV [DaSk]. ˆ Im mSUGRA Modell oder auch CMSSM (Constrained MSSM) werden einige Annahmen gemacht, welche die Anzahl freier Parameter im MSSM stark reduziert. Laut [DaSk] liegt die Masse des LSP in diesem Modell im Energiebereich

90 GeV ≤ mχ ≤ 400 GeV . ˆ Das MNSSM (Minimal Non Minimal Supersymmetric Model) ist gemäÿ dem Namen die zweit kleinste supersymmetrische Erweiterung der Standardmodells. Die Masse des LSP in diesem Modell ist laut [HM07] auf den Energiebereich

mχ ≤ 80 − 85 GeV beschränkt.

LKP (Lightest Kaluza-Klein Particle) In einem Versuch Elektromagnetismus und Gravitation zu vereinigen führte 1921 Kaluza eine zusätzliche vierte Raumdimension ein. Diese Dimension wird als kompakt angenommen (Klein, 1924) und ist daher für uns nicht auösbar. Alle SM Felder können in dieser kompakten Dimension propagieren. Alle SM Teilchen haben daher sogenannte Kaluza-Klein-Anregungen, denen Kaluza-Klein-Teilchen entsprechen. Das leichteste dieser Kaluza-Klein-Teilchen (LKP) hat eine Masse, die zwischen 400 GeV und

1200 GeV liegt [B+04].

Wimpzillas Wimpzillas sind superschwere dunkle Materie Teilchen, die im frühen Universum gebildet wurden. Ihre Masse ist gröÿer als 1010 GeV , was nach der Unitaritätsgrenze dafür spricht, dass sie kein thermisches Relikt sind. Die vorausgesagten Werte für die Teilchenmasse dunkler Materie unterscheiden sich je nach Modell also um insgesamt bis zu 21 Gröÿenordnungen. Eine Zusammenfassung der verschiedenen erwarteten Werte für die Teilchenmasse mχ ist in Tabelle 1 gegeben.

7

Teilchen Axionen LSP in MNSSM LSP in CMSSM LKP Neutralino Wimpzillas

mχ < 0, 01 eV ≤ 80 − 85 GeV 90 ≤ mχ ≤ 400 GeV 400 − 1200 GeV ≤ 3200 GeV > 1010 GeV

Tabelle 1: Vorausgesagte Teilchenmasse mχ für verschiedene Kandidaten für dunkle Materie.

2.2 Der Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt Unter der Annahme, dass dunkle Materie ein thermisches Relikt ist, ergibt sich ihre gegenwärtige Dichte zu [KT90]:

Ωχ h2 ≈

0, 1 pb · c . < σA v >

Mit einer relativen Dichte der nicht-baryonischen Materie von Ωχ h2 = 0, 106 ± 0, 008 [S+07] lässt sich daraus der Selbtsannihilations-Wechselwirkungsquerschnitt bestimmen: (2.7)

< σA v >= 3 · 10−26 cm3 s−1 .

Kaplinghat, Knox und Turner (KKT) untersuchten mehrere Fälle, in denen dunkle Materie kein thermisches Relikt ist, sondern z.B. erst im späten Universum durch den Zerfall schwererer Teilchen entstanden ist [BB07, KKT00]. Als Ergebnis erhielten sie folgende Bedingung für den Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt:

< σA v >w 3 · 10−19

cm3 h mχ i . s GeV

(2.8)

Diese Bedingung löst das Problem der im Kern divergierenden Halo-Modelle (Näheres hierzu in Kapitel 3) und produziert eine konstante Kerndichte. Weiterhin liefert die Unitaritätsgrenze eine allgemeine Einschränkung für den Selbstannihilations-Wirkungsquerschnitt. In erster Ordnung (für kleine Geschwindigkeiten) lautet diese Bedingung [BB07]: 3 −13 cm

< σA v >≤ 1, 5 · 10

s 8



GeV mχ

2 

300 kms−1 vrms

 .

(2.9)

3 Halo-Modelle Der Neutrinouss hängt über das Integral J(ψ) aus Formel (2.2) von der Dichtefunktion

ρ(r) ab. In diesem Kapitel wird auf die verschiedenen Halo-Modelle und ihre Dichtefunktionen ρ(r) eingegangen. Ein theoretischer Ansatz zur Beschreibung der Dichteverteilung einer Galaxie wird in Abschnitt 3.1 gemacht. Es gibt eine Vielzahl an Modellen für die Dichtefunktion ρ(r), die zum Teil für kleine Abstände r sehr stark voneinander abweichen. Eine Übersicht über diese verschiedenen Halo-Modelle wird in Abschnitt 3.2 gegeben. In Abschnitt 3.3 wird die geeignete Skalierung der Halo-Prole beschrieben, welche die Reproduzierung einiger Messdaten unsere Milchstraÿe gewährleistet. In Kapitel 3.4 werden die verschiedenen Halo-Modelle miteinander verglichen.

3.1 Ein theoretischer Ansatz In diesem Abschnitt wird ein theoretischer Ansatz skizziert, mit dessen Hilfe das asymptotische Verhalten der Funktion ρ(r) bestimmt werden kann. Die Bewegungsgleichung eines Sternes (bzw. eines Klumpens aus dunkler Materie), der sich in einem gravitativen Potential φ bewegt, das durch N andere Sterne erzeugt wird, lautet:

→ − → − − x¨ = −∇φ(→ x , t) + m−1 F .

(3.1)

→ − F steht hierbei für die Summe aller anderen Kräfte, die auf den Stern wirken. m und ~x bezeichnen die Masse bzw. den Ort des Sternes. Das Potential ist durch die PoissonGleichung gegeben: N X − − 4φ = 4πG mi δ(→ x −→ xi ) (3.2) i=1

wobei G die Gravitationskonstante und mi die Masse des i-ten Teilchens ist. Schon bei einer Anzahl von 3 Sternen lassen sich die Bewegungskurven der Sterne nicht mehr durch elementare Funktionen ausdrücken. Bei einer so groÿen Anzahl von Sternen wie unsere Galaxie besitzt, wird das Gleichungssystem praktisch unlösbar. Wegen der langreichweitigen gravitativen Anziehung eignet sich auch keine statistische Betrachtung des Systems. Zur Beschreibung des Systems wird nun zuerst der einfachste Ansatz betrachtet, der gemacht werden kann: Das gesamte System wird als ein sich selbst anziehendes Gas angenommen, welches durch Kollisionen geprägt ist. Da Sternenkollisionen äuÿert 9

selten sind, ist diese Anschauung für ein Sternensystem nicht sehr zutreend. Dieser Ansatz soll zunächst aber trotzdem betrachtet werden, da sein Ergebnis für spätere Überlegungen in diesem Abschnitt von Bedeutung ist. Die Strömung von Fluiden in einem Gravitationspotential φ wird durch die Euler-Gleichung beschrieben:

− − 1 → 1 ∂→ v − − (→ v × Ω) = ∇ v 2 − ∇P − ∇φ ∂t 2 ρ

(3.3)

− wobei Ω = ∇ × ~v ist. → v ist die Strömungsgeschwindigkeit, P der Druck ist und ρ die Dichte des Gases. Anders als bei der Betrachtung eines Sternensystems ist ρ hier bei der Betrachtung eines Gases eine kontinuierliche Funktion. Da es sich nicht wirklich − um ein Fluid handelt, wird die Strömungsgeschwindigkeit → v gleich Null gesetzt und es folgt:

∇P = −ρ∇φ .

(3.4)

Weiterhin gilt die Poisson-Gleichung:

4φ = 4πGρ .

(3.5)

Nach Umstellen der Formel (3.4) nach ∇φ und Anwendung des Nabla-Operators werden die beiden Gleichungen (3.4) und (3.5) gleichgesetzt. Durch die Einführung von Kugelkoordinaten und die Forderung, dass sowohl P als auch φ nur vom Radius r abhängen, ergibt sich:

1 d r2 dr



r2 dP ρ dr

 = −4πGρ .

(3.6)

Nach dem idealen Gasgesetz gilt für den Druck folgende Relation:

P = ρm−1 kT

(3.7)

wobei k die Boltzmann-Konstante ist und m und T die Masse und Temperatur des Systems sind. Eine Lösung von (3.6) ergibt sich durch die Forderung, dass sowohl m als auch T nicht von r abhängen. Wegen letzterer Forderung handelt es sich also um ein isothermes Gas. Das Einsetzen dieser Formel in Gleichung (3.6) liefert dann folgende Gleichung:

1 d r2 dr



r2 dρ ρ dr

 =−

10

4πGm ρ. kT

(3.8)

Als Nächstes werden nun dimensionslose Parameter eingeführt:

ρ ξ= , ρ0



r l= , r0

r0 =

9σ 2 4πGρ0

1/2

(3.9)

wobei der Faktor kT · m−1 durch σ 2 zusammengefasst wurde. Einsetzen der Gröÿen (3.9) in Gleichung (3.8) ergibt:

1 d l2 dl



l2 dξ ξ dl

 = −9ξ .

(3.10)

Eine Lösung dieser Dierentialgleichung ist die sogenannte isotherme singuläre Lösung:

ρ(r) =

kT −2 r . 2πGm

(3.11)

Diese Lösung ist jedoch unphysikalisch, da sie zu einer unendlichen Dichte im Zentrum führt. Im Folgenden wird ein realistischerer Ansatz zur Beschreibung des Systems gezeigt als der bisher betrachtete. Das System wird als ein kollisionsloses System im stationären Zustand beschrieben. Wie sich zeigen wird, führt auch dieser Ansatz zu der Gleichung (3.20) für ein isothermes, sich selbst anziehendes Gas.

− − Die Verteilung der Sterne wird durch eine glatte Verteilungsfunktion f (→ x ,→ v ) be-

schrieben, die die Anzahl der Sterne im Phasenraumvolumen d3 xd3 v angibt. Zur Ver− − einfachung wurde hier angenommen, dass f (→ x ,→ v ) unabhängig von der Zeit ist. Die räumliche Dichteverteilung des Systems ist:

− ρ(→ x , t) =

ˆ

− − dv 3 f (→ x ,→ v).

(3.12)

Auch hier ist die Dichteverteilung ρ eine kontinuierliche Funktion. Auÿerdem gilt die Poisson-Gleichung, hier wird wieder die Annahme gemacht, dass sowohl das Potential

φ als auch die Dichteverteilung ρ nur vom Abstand r abhängen: 1 d r2 dr

 r

2 dφ



dr

= 4πGρ .

(3.13)

An dieser Stelle ist es praktisch, ein verschobenes Potential ψ = −φ + φ0 zu denieren, wobei φ0 eine Konstante ist, die später so gewählt werden kann, dass ψ am Rand

11

verschwindet. Einsetzen dieses neuen Potentials in die Poisson-Gleichung (3.13) ergibt:

1 d r2 dr

  2 dψ r = −4πGρ . dr

(3.14)

Weiterhin ist es hilfreich, auch eine verschobene Energie (pro Masse) einzuführen:

1  = −E + φ0 = −E + ψ + φ = − v 2 + ψ . 2

(3.15)

Hierbei wurde E = 1/2 · v 2 + φ (also Eges = Ekin + Epot ) verwendet. Zur Vereinfa− − chung wird nun die Annahme gemacht, dass → x und → v nur über die Beziehung (3.15) voneinander abhängen, also: f = f () = f (ψ − 1/2 · v 2 ). Für die Dichteverteilung gilt dann:

√

ˆ 2ψ ˆψ p 1 − 4πv 2 dv f (ψ − v 2 ) = 4π df () 2(ψ − ) . ρ(→ x)= 2 0

(3.16)

0

Die Grenzen des Integrals wurden so gewählt, dass es alle gebundenen Sterne einschlieÿt, also all diejenigen, für die gilt: Ekin = 1/2 · v ≤ ψ = Epot . Nach dem Einsetzen von Gleichung (3.16) in Gleichung (3.13) ergibt sich:

1 d r2 dr

  ˆψ p dψ r2 = −16π 2 G df () 2(ψ − ) . dr

(3.17)

0

Ein Ansatz zur Lösung dieser Gleichung ist z.B. folgende Verteilungsfunktion:

f () =

 ρ0 · exp . (2πσ 2 )3/2 σ2

(3.18)

Die hierzu korrespondierende Dichteverteilung lässt sich gemäÿ Formel (3.16) berechnen und lautet:

 ρ(r) = ρ0 · exp

ψ σ2

 .

(3.19)

Einsetzen von Gleichung (3.18) in Gleichung (3.17) und Einführung der dimensionslosen Gröÿen (3.9) liefert die bereits bekannte Gleichung für isotherme Sphären:

1 d l2 dl



l2 dξ ξ dl

 = −9ξ .

(3.20)

Weiterhin wird nun durch das Einführen von Randbedingungen eine endliche innere 12

Dichte gefordert, d.h.: ξ(0) = 1 und ξ 0 (0) = 0. Die Lösung dieser Gleichung mit den gegebenen Randbedingungen lässt sich nur numerisch bestimmen. Die genaue Form der Funktion ξ(l) kann daher nicht bestimmt werden, es lässt sich jedoch das GrenzwertVerhalten von ξ(l) angeben:

ξ(l) ∼ (1 + l2 )−3/2 für l . 2 ,

(3.21)

2 ξ(l) ∼ l−2 für l → ∞ . (3.22) 9 Auÿer dem hier gewählten Ansatz für f () in Formel (3.18) erfüllen auch andere Ansätze Gleichung (3.17), die andere Funktionen ξ(l) liefern. Hier wurde diese Wahl von f () getroen, da das resultierende isotherme Dichteprol oft Vorbild zur Beschreibung von Halos aus dunkler Materie ist. Die Überlegungen, die hier gemacht wurden, sind unabhängig davon, ob es sich um baryonische Materie oder dunkle Materie handelt. Alle Ergebnisse und Gleichungen lassen sich daher direkt auf dunkle Materie und deren Dichteverteilung übertragen. Als Literaturquelle für diesen Abschnitt diente das Lehrbuch [ThAs].

3.2 Halo Modelle Durch die Überlegungen des vorherigen Abschnitts kann lediglich das Grenzwert-Verhalten der Dichtverteilung ρ(r) bestimmt werden. Dabei ist fraglich, ob die Vereinfachungen, die zur Beschreibung des Systems dunkler Materie gemacht wurden, realistisch sind. Die genaue Form der Funktion ρ(r) bleibt in Kapitel 3.1 unbestimmt, ist jedoch für die Berechnung der Neutrinousses nach Formel (2.1) entscheidend. Es gibt eine Reihe von Halo-Modellen, die die Dichteverteilung ρ(r) dunkler Materie beschreiben. In diesem Abschnitt soll eine Übersicht über die verschiedenen HaloModelle gegeben werden.

3.2.1 Hernquist 1948 schlug de Vaucouleur eine rein empirisch hergeleitete Formel vor, die die Verteilung der Oberächen-Helligkeit vieler elliptischer Galaxien gut beschreibt:  −3,331 ( RR

1/4

) e

I(R) = I0 · e

13

 −1

(3.23)

Hierbei ist R der auf die Himmelsebene projizierte Radius und I(R) die projizierte Intensität. Der Nachteil dieser Gleichung ist jedoch, dass ihre zugehörige deprojizierte Dichteverteilungsfunktion nicht analytisch bestimmt werden kann. Daher schlug Jae 1983 eine Dichteverteilung vor, die ebenfalls gut die beobachtetete Helligkeitsverteilung beschreiben kann und wegen ihrer Form leichter handhabbar ist als de Vaucou−2

leurs Prol: ρJ (r) ∼ r−2 (r + rs ) . Jaes Verteilung verhält sich für kleine Radien wie

ρJ ∼ r−2 , wohingegen sich die zu de Vaucouleurs Modell korrespondierende Dichtefunktion wie ρV ∼ r−3/4 verhält. Daher schlug Hernquist 1989 eine Dichtevereilungsfunktion vor, die in ihrer Form der von Jae ähnelt, sich für kleine Radien aber de Vaucouleurs Verteilung annähert [He90]: 1 . (3.24) ρH (r) ∼ r(r + rs )3 Für kleine Radien gilt nun ρ ∼ r−1 , was dem Verhalten von de Vaucouleurs Formel schon wesentlich ähnlicher ist als Jaes Verteilung. Hernquist verallgemeinerte seine Formel (3.24) auf folgende fünf-parametrige Funktion:

 ρ(r) = ρs

r rs

−γ   α  γ−β α r 1+ rs

(3.25)

wobei ρs und rs Skalierungsgröÿen sind. Das Dichteprol (3.25) verhält sich für kleine Radien wie ρ ∼ r−γ und für groÿe Radien wie ρ ∼ r−β . Es gibt eine Vielzahl an Halo-Modellen dieser Form, die sich in der Wahl der Parametersets (α, β, γ) unterscheiden. Eine Übersicht über diese Modelle ist in Tabelle 2 in Kapitel 3.3 angegeben. Die Eigenschaften der drei bekanntesten Halo-Modelle der Form von Hernquist nach Formel (3.25) werden im Folgenden diskutiert.

Navarro, Frenk, White (NFW)

Das NFW-Modell [NFW95] basiert auf einer

Simulation eines CDM (Cold Dark Matter) Universums, bei der 19 ausgewählte Halos verschiedener Massen (vier Gröÿenordnungen) und Rotationsgeschwindigkeiten mit insgesamt 323 Teilchen untersucht wurden. Alle 19 Halos werden durch ein Dichteprol der Formel (3.25) mit dem Parameterset (α, β, γ) = (1, 3, 1) gut beschrieben:

 ρ(r) = ρs

r rs

−1 

 1+

r rs

−2 .

(3.26)

Die zu (3.26) korrespondierenden Geschwindigkeitsprole wurden mit den beobachteten Geschwindigkeitskurven von 4 Zwerggalaxien verglichen. Dabei el auf, dass die durch 14

das NFW-Modell beschriebenen Halos im Zentrum zu konzentriert zu sein scheinen, um die beobachteten Geschwindigkeiten zu erklären. Die Dichten der Zwerggalaxien weisen im Zentrum eine nahezu konstante Dichte auf, während die Dichte im NFW-Modell für kleine Radien divergiert.

Moore

Bei der Simulation, die für das Halo-Modell von Moore et al. Grundla-

ge ist, wurden 6 Halos mit jeweils ≥ 106 Teilchen beobachtet [Mo99]. Ebenso wie bei der NFW Simulation wurde ein CDM Universum angenommen, die Simulation wurde jedoch mit einer höheren Auösung durchgeführt. Die 6 Halos wurden aus allen simulierten Halos so ausgewählt, dass sie maximale Rotationsgeschwindigkeiten im Bereich

130 − 230 km s−1 haben. Die Dichteverteilung der 6 Halos kann gut durch Formel (3.25) mit dem Parameterset (α, β, γ) = (1.5, 3, 1.5) beschrieben werden:  ρ(r) = ρs

r rs

−1,5

 1+

r rs

1,5 !−1 .

(3.27)

Für den Vergleich mit den Beobachtungen wurden einige LSB (Low Surface Brightness) Galaxien mit maximalen Geschwindigkeiten von (100 − 300) km s−1 ausgewählt. Die Rotationskurven dieser Galaxien wurden auf 2 verschiedene Weisen mit denen der 6 simulierten Halos verglichen. Zum Einen wurden die beobachteten Geschwindigkeiten mit den direkt aus den Daten folgenden Geschwindigkeiten der Halos verglichen. Dafür wurden sowohl die Rotationskurven der Galaxien als auch die der simulierten Halos so skaliert, dass ihre maximale Geschwindigkeit bei 200 km s−1 liegt. Der baryonische Anteil der LSB Galaxien wurde dabei als vernachlässigbar angenommen. Zum Anderen wurde die zu Formel (3.27) gehörende Geschwindigeitsverteilung an die LSB Kurven angettet. Bei beiden Vergleichen wurde festgestellt, dass die beobachteten Kurven nicht gut durch das Prol (3.27) reproduziert werden können.

Kravtsov

Im Gegensatz zu den Modellen von Moore und NFW beruht die Wahl

der Parameter (α, β, γ) bei Kravtsovs Modell auf der Beschreibung von beobachteten Rotationskurven und nicht auf einer Simulation [Kr98]. Dafür wurden 10 Zwerggalaxien und 7 LSB Galaxien untersucht, deren geschätzter Anteil an dunkler Materie bei mehr als 85 % liegt, so dass der Anteil baryonischer Materie als vernachlässigbar angenommen 15

werden kann. Grundlage ist die Annahme, dass sich die Dichteverteilung wie Formel (3.25) verhält. Der Abfall der Rotationskurven für groÿe r hängt von dem Parameter

β ab. Die Rotationskurven der meisten ausgewählten Galaxien haben jedoch an ihren äuÿersten Messpunkten noch nicht angefangen abzufallen. Daher wird der Parameter β wie beim NFW Modell auf β = 3 festgelegt. Bei dem Wert von α besteht die gleiche Problematik. Es wurden nur die Galaxien untersucht, mit denen α bestimmt werden konnte. Der so ermittelte Wert von α (α = 2) wurde dann auf alle Galaxien verallgemeinert. Der letzte fehlende Wert γ ergab sich durch Antten der Funktion (3.25) mit festen Werten α und β an die Rotationskurven der verschiedenen Galaxien. Der Wert γ = 0.2 konnte die beobachteten Kurven am besten reproduzieren. Als Parameterset ergab sich so (α, β, γ) = (2, 3, 0.2) und damit:  ρ(r) = ρs

r rs

−0,2

 1+

r rs

2 !−1,4 .

(3.28)

3.2.2 Isothermes Prol Es gibt eine Reihe von Dichteprolen, die von den theoretischen Überlegungen des Abschnitts 3.1 geprägt sind. Diese Dichteprole haben das gleiche Verhalten von ρ(r) ∼

r−2 für groÿe r wie das isotherme Prol (3.22). Das bekannteste dieser isothermen Prole wird in [B+91] eingeführt: 1991 untersuchten Begemann, Broeils und Sanders die Rotationskurven von 10 Galaxien. Ihr Ziel war es, die beobachteten Geschwindigkeiten auf Konsistenz mit der Theorie der Modizierten Newtonschen Dynamik (MOND) [MB87] sowie mit dem Modell von Dunkler Materie zu prüfen. Für den Vergleich der Theorie mit der Beobachtung von letzterem führten sie das sogenannte modizierte isotherme Dichteprol ein: ρ(r) =

ρs 2 . 1 + rr2

(3.29)

s

Dieses führt also im Gegensatz zu den Hernquist-Modellen aus Kapitel 3.2.1 zu einer endlichen Dichte ρs . Das zu Formel (3.29) gehörende Geschwindigkeitsprol tteten Begemann et al. an die beobachteten Geschwindigkeitskurven der Galaxien an und fanden eine gute Übereinstimmung.

16

3.2.3 Burkert Burkert et al. untersuchten 1995 die Rotationskurven von 4 Zwerggalaxien, die fast ausschlieÿlich aus dunkler Materie bestehen, so dass der Anteil baryonischer Materie vernachlässigt werden konnte. Es stellte sich heraus, dass eine Dichteverteilung folgender Form die beobachteten Geschwindigkeitskurven gut beschreiben kann [Bu95]:

ρ(r) = 

ρs   2  . r 1 + rs 1 + rrs

(3.30)

Für kleine Radien ergibt sich also eine konstante Dichte ρs .

3.2.4 Einasto Sersic verallgemeinerte 1963 de Vaucouleurs Leuchtstärke-Prol (3.23), indem er den Exponenten 1/4 durch 1/n ersetzte, wobei n ein freier Parameter ist. Da sowohl de Vaucouleurs als auch Sersics Gesetz eine empirisch hergeleitete Funktion ohne theoretische Grundlage ist, überlegte sich Einasto 1969, dass auch Dichteprole durch eine Funktion der Form von Sersics Gesetz beschrieben werden können: 1

−dn

( rrs ) n −1

!

(3.31)

.

ρ(r) = ρs e

Wichtig ist, dass hierbei r den räumlichen Radius beschreibt und nicht wie ursprünglich in de Vaucouleurs Prol (3.23) den projizierten Radius. rs ist der Radius des Volumens, in dem sich die Hälfte der gesamten Masse des Halos bendet. Die Funktion dn ergibt sich durch das Lösen folgender Gleichung:

1 M (rs ) = · Mtot ⇔ 2

ˆrs

1 ρ(r) · r2 dr = · 2

0

ˆ∞ ρ(r) · r2 dr .

(3.32)

0

Damit ergibt sich für dn näherungsweise folgende Lösung:

dn = 3n −

1 + 0.0079/n für n & 0.5 . 3

Typische Werte von n liegen zwischen 4 und 7.

17

(3.33)

3.2.5 Prugniel-Simien Sersics Gesetz beschreibt ursprünglich die Oberächen-Helligkeit in Abhängigkeit von dem auf die Himmelsebene projizierten Radius. So wie Einasto übertrugen Prugniel und Simien Sersics Gesetz auf Dichteprole, jedoch unter der Annahme, dass die so erhaltene Dichteverteilung auch die projizierte Dichteverteilung sei. Die deprojizierte Dichteverteilung ergibt sich dann zu [PS97, Gleichung B6]:

 ρ(r) = ρs

r rs

−pn

1/n

e−bn (r/rs )

(3.34)

mit pn = 1 − 0,6097 + 0,05463 und bn = 2n − 31 + 0,009876 . Dieses Prol wird im Folgenden n n2 n oft mit der Abkürzung PS bezeichnet.

3.3 Skalierung der Dichteprole Die Dichteprole, die in Abschnitt 3.2 vorgestellt wurden, hängen alle von mindestens zwei Skalierungsparametern ρs und rs ab. Um diese Parameter so zu bestimmen, dass die resultierende Dichteverteilung das Prol unserer Galaxie gut beschreibt, müssen zwei Bedingungen aufgestellt werden, die das Dichteprol erfüllen muss. Das Vorgehen, das hier im Folgenden beschrieben wird, lehnt sich an das von Bergström et al. an [BU97]. 1. Die gesamte Masse der Milchstraÿe innerhalb von 100 kpc um das galaktische Zentrum soll (7 ± 2, 5) · 1011 Sonnenmassen entsprechen [DB97, Gleichung 15]. Die Masse innerhalb eines bestimmten Radius r lässt sich durch Raumintegration über die Dichteverteilung ρ(r) berechnen. Durch die Annahme, dass 90 % der gesamten Materie dunkle Materie ist, folgt die erste Bedingung für die Dichteverteilung dunkler Materie ρ(r): 100 ˆ kpc

r2 · ρ(r)dr = (6, 3 ± 2.5) · 1011 M0 .

MDM (r ≤ 100 kpc) = 4π

(3.35)

0

wobei M0 einer Sonnenmassen entspricht. 2. Das Dichteprol soll konsistent sein mit der Bahngeschwindigkeit unserer Sonne. Sowohl für den Abstand der Sonne zum galaktischen Zentrum Rsc als auch für die Geschwindigkeit unseres Sonnensystems θ0 gibt es verschiedene Angaben. 18

Kerr und Lynden-Bell [KL86] bildeten den Mittelwert von Messergebnissen dieser Gröÿen zwischen den Jahren 1974 und 1986. Auf diese Weise erhielten sie:

θ0 = 220 ± 20 km s−1 .

(3.36)

Rsc = 8, 5 ± 1, 1 kpc .

(3.37)

Die Geschwindigkeit θ0 setzt sich aus den Beiträgen des Halos vHalo und der 2 2 . Der Beitrag der Scheibe wird + vHalo Scheibe vScheibe zusammen: θ02 = vScheibe

in [BU97] als vScheibe = 137 ± 16 km s−1 angenommen. Damit ergibt sich für die Geschwindigkeit des Halos:

vhalo ∼ 128 − 207 km s−1 .

(3.38)

Hier wird ein mittlerer Wert von 150 km s−1 angenommen. Der Zusammenhang zwischen Rotationsgeschwindigkeit und Dichte ergibt sich durch Aufstellen eines Kräftegleichgewichtes von Zentripetalkraft und Gravitationskraft:

M · v 2 (R) G · M · m(R) = . R R2

(3.39)

Hierbei ist m(R) die Masse innerhalb des Radius R vom galaktischen Zentrum. Umformen der Gleichung (3.39) nach der Geschwindigkeit liefert damit folgende zweite Bedingung: 2 vhalo

4πG = R0

ˆRsc r2 · ρ(r)dr ≈ (150 km s−1 )2 .

(3.40)

0

Mit diesen zwei Bedingungen aus Gleichung (3.35) und (3.40) wurden die Parameter ρs und rs für die in Kapitel 3.2 vorgestellten Halo-Modelle bestimmt. Auÿer den in Kapitel 3.2.1 vorgestellten Modellen von NFW, Moore und Kravtsov gibt es noch andere Modelle der Form von Hernquist nach Gleichung (3.25) mit verschiedenen Parametersets (α, β, γ). Die Parameter α,β ,γ sowie die Skalierungsgröÿen ρs und rs dieser Modelle werden in Tabelle 2 zusammengefasst. Die Gröÿen ρs , rs und ggf. n der übrigen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2.2 bis 3.2.5 werden in Tabelle 3 zusammengetragen.

19

Modell NFW Kravtsov Moore Jing, Suto (JS) Rasia, Tormen, Moscardini (RTM) Dehnen, McLaughlin (DM)

α 1 2 1,5 1 1

β 3 3 3 3 2,5

γ 1 0,2 1,5 1,5 1

4 9

31 9

7 9

ρs

 GeV  cm3

0,41 0,94 0,05 0,04 1,09 2,28

  ρsc GeV rs [kpc] cm3 0,33 16 0,45 10 0,31 31 0,30 39 0,31 8 0,33 25

Tabelle 2: Parameter verschiedener Halo-Modelle der Form von Hernquist (3.25) aus Kapitel 3.2.1: ρs und rs sind Skalierungsgröÿen, die gemäÿ den Bedingungen aus Gleichung (3.35) und (3.40) bestimmt wurden; ρsc ist die Dichte im Abstand von 8, 5 kpc zum galaktischen Zentrum; (α, β, γ) bestimmen die Form der Dichtefunktion ρ(r). Modell Isotherm Burkert Einasto Prugniel-Simien (PS)

   GeV  ρs GeV ρ rs [kpc] n sc 3 cm cm3 19,39 0,31 1 1,70 0,43 9 0,0015 0,33 88 4,3 1,37 0,30 145 4,1

Tabelle 3: Skalierungsgröÿen ρs , rs und ggf. n der Halo-Modelle 3.2.2 bis 3.2.5, bestimmt gemäÿ den Bedingungen aus Gleichung (3.35) und (3.40); ρsc ist die Dichte im Abstand von 8, 5 kpc vom galaktischen Zentrum.

3.4 Vergleich der Prole Die Halo-Modelle der Form von Hernquist nach Gleichung (3.25) aus Kapitel 3.2.1 werden mit den entsprechenden Parametern aus Tabelle 2 in Abbildung 3.1 dargestellt. Die Dichte dunkler Materie ist im Zentrum der Milchstraÿe am gröÿten und fällt nach auÿen hin ab. Aus Abbildung 3.1 ist erkennbar, dass sich die Dichteprole für kleine Abstände stark unterscheiden. Für die Dichte bei 0, 01 kpc liegt dieser Unterschied bei ungefähr einer Gröÿenordnung, ausgenommen das Modell von Kravtsov. Für kleine Abstände weicht dieses um 2-3 Gröÿenordnungen von den anderen Prolen ab. Ab einem Radius von ca. 2, 5 kpc sind die Modelle ähnlich. Auch hier weicht jedoch das Prol von Kravtsov verhältnismäÿig stark von den anderen Modellen ab.

20

Abbildung 3.1: Dichteverteilungen ρ(r) der verschiedenen Halo-Modelle der Form von Hernquist nach Formel (3.25) mit den Parametern aus Tabelle 2; r in kpc und ρ in GeV . cm3 In Abbildung 3.2 werden die Halo-Modelle aus 3.2.2 bis 3.2.5 mit den Parametern aus Tabelle 3 dargestellt. Zum Vergleich wird hier zusätzlich noch das NFW-Modell aus 3.2.1 abgebildet.

Abbildung 3.2: Dichtefunktionen ρ(r) der Halo-Modelle 3.2.2 bis 3.2.5 mit den Parametern aus Tabelle 3; r in kpc und ρ in GeV . cm3 21

Wie schon bei den Hernquist-Modellen aus Abbildung 3.1 fällt auch hier auf, dass sich die Dichteprole für kleine Abstände stark unterscheiden. Ab einem Abstand von ca. 4 − 5 kpc nähern sich die verschiedenen Modelle jedoch an, wobei das Modell von Burkert noch verhältnismäÿig stark von den anderen abweicht. Aufgrund der groÿen Unterschiede der Dichte-Prole für kleine Abstände (r . 5 kpc) wird der nach Gleichung (2.1) erwartete Neutrinouss aus der Region des galaktischen Zentrums stark von der Wahl des Halo-Modells abhängen. Im Gegensatz dazu sollte der Neutrinouss aus äuÿeren Regionen der Milchstraÿe nahezu unabhängig von der Wahl des Halo-Modells sein. 2006 simulierten Merritt et al. [Me+06] sechs Galaxiehaufen-groÿe und vier Galaxiegroÿe Halos, um verschiedene Halo Modelle zu testen. Unter den getesteten Modellen waren folgende: ˆ Einasto (Kapitel 3.2.4) ˆ Hernquist mit (α, β, γ) = (1, 3, γ) (Kapitel 3.2.1) ˆ NFW (Kapitel 3.2.1) ˆ Dehnen und McLaughlin (Kapitel 3.2.1) ˆ Prugniel-Simien (Kapitel 3.2.5) ˆ Burkert (Kapitel 3.2.3) Dabei stellte sich heraus, dass das Modell von Prugniel und Simien die Galaxiehaufengroÿen Halos am besten beschreiben kann. Das Modell von Einasto schnitt jedoch bei den Galaxie-groÿen Halos besser ab und konnte als einzige Funktion die Dichteprole aller Halos gut beschreiben (am besten oder zweitbesten). Wie in Kapitel 3.2.1 erläutert, stehen die Prole aus N-Teilchen-Simulationen von Moore und NFW im Konikt zu den Beobachtungen. Das Prol von Kravtsov, welches empirischen Ursprungs ist, hat verglichen mit NFW und Moore eine achere Form. Es werden allgemein die acheren Halo-Prole (Kravtsov, Isotherm, Burkert, Einasto) durch Beobachtungen von z.B. den Rotationskurven von Galaxien bevorzugt [G+04].

22

4 Die baryonische Dichteverteilung in der Milchstraÿe In diesem Abschnitt soll ein kurzer Vergleich zwischen der Verteilung baryonischer Materie und der Verteilung von dunkler Materie in unserer Galaxie gemacht werden. Um die Massenverteilung in der Milchstraÿe zu beschreiben, zerlegten W. Dehnen und J. Binney 1997 die gesamte Massendichte in insgesamt 5 Komponenten [DB97]: die interstellare Materie, die dünne Scheibe, die dicke Scheibe, die zentrale Ausbauchung und den Halo. Die ersten vier Komponenten beziehen sich auf den Beitrag baryonischer Materie, der Halo ist die Komponente der dunklen Materie. In diesem Kapitel wird nur auf ihre Ergebnisse zu der baryonischen Massenverteilung eingegangen. Die interstellare Materie (ISM) und die dünne und dicke Scheibe werden durch eine Funktion folgender Form beschrieben:

P

  Rm R |z| · exp − − − . ρd (R, z) = 2zd r Rd zd d

(4.1)

Hierbei ist R der Radius in der galaktischen Ebene und z die Höhe von der galaktischen P Ebene aus gesehen. Rd und zd sind Skalierungsgröÿen, d ist die zentrale Oberächendichte. Der Term Rm /r im Exponenten berücksichtigt, dass eine Abschwächung der interstellaren Materie im Abstand von 5 − 200 pc vom galaktischen Zentrum beobachtet wird. Die zentrale Ausbauchung wird durch folgende Funktion beschrieben:

 ρb (R, z) = ρ0

m r0

−γ   γ−β m m2 1+ · exp(− 2 ) r0 rt

(4.2)

1

mit m = (R2 + z 2 q −2 ) 2 . ρ0 und r0 sind hierbei Skalierungsgröÿen, die Gröÿe q beschreibt die Abweichung der Ausbauchung von einer sphärischen Form. Durch den Exponentialterm wird die Ausbauchung beim Abstand rt sanft abgeschnitten. Die von Dehnen und Binney [DB97] festgelegten Parameter der Scheibenkomponenten und Ausbauchung sind in Tabelle 4 und 5 angegeben. Komponente ISM dünne Scheibe dicke Scheibe

Rm zd 4 kpc 40 pc 0 180 pc 0 1000 pc

Tabelle 4: Festgelegte Parameter der Dichtefunktion ρd (R, z) aus Formel (4.1) für die Scheibenkomponenten. 23

β 1,8

γ 1,8

q 0,6

r0 rt 1 kpc 1, 9 kpc

Tabelle 5: Festgelegte Parameter der Dichtefunktion ρb (R, z) für die Ausbauchung nach Formel (4.2). Die übrigen Gröÿen

Rd für die verschiedenen Scheibenkomponenten und ρ0 für die zentrale Ausbauchung ergaben sich durch Fits an folgende Messgröÿen: die Rotationskurve innerhalb von R0 , die Rotationskurve auÿerhalb von R0 und andere Gröÿen wie die Masse innerhalb 100 kpc oder die Oortschen Konstanten. Dehnen und Binney haben insgesamt 22 verschiedene Modelle aufgestellt, die unterschiedlich gut die einzelnen Messgröÿen wiedergeben können. Diese Modelle unterP scheiden sich in ihren Werten für die Fitparameter d , Rd und ρ0 . Wegen der groÿen Anzahl der verschiedenen Modelle, ist die Massenverteilung baryonischer Materie daher relativ unsicher. Hier wird ihr Modell 2 betrachtet, die zugehörigen Fitparameter stehen in Tabelle 6. P h M0 i Komponete Rd [kpc] d pc2 P

d,

ISM dünne Scheibe dicke Scheibe

113,7 1022,3 73,0

4,8 2,4 2,4

Tabelle 6: Fitparameter der Dichtefunktion ρd (R, z) nach Formel (4.1) der Scheibenkomponenten. Der Fitparameter ρ0 der zentralen Ausbauchung ist:

ρ0 = 0, 7561

Mo pc3

(4.3)

wobei M0 einer Sonnenmasse entspricht. Die Dichteverteilung baryonischer Materie ergibt sich aus der Summe der verschiedenen Beiträge der Scheibenkomponenten und der Ausbauchung nach Formel (4.1) und (4.2):

ρbar = ρISM + ρd¨unn + ρdick + ρAusbauchung .

(4.4)

In Abbildung 4.1 wird die baryonische Dichteverteilung (4.4) mit den Werten aus den Tabellen 4 bis 6 und Formel (4.3) dargestellt. Zum Vergleich wird zusätzlich die Verteilung dunkler Materie nach dem NFW Modell aus Kapitel 3.2.1 abgebildet. Es wird 24

einmal der Fall z = 0 abgebildet (Abbildung links), das andere Mal der Fall R = 0 (Abbildung rechts).

Abbildung 4.1: Dichteverteilung baryonischer Materie nach Formel (4.4) und dunkler Materie nach dem NFW Modell nach Formel (3.26) in der Milchstraÿe, links für z = 0, rechts für R = 0. Die benutzten Parameter stehen in den Tabellen 4 bis 6 und Gleichung(4.3) (baryonische Materie) und Tabelle 2 für das NFW-Modell.r in kpc und . ρ in GeV cm3 Aus Abbildung 4.1 ist zu erkennen, dass für Radien (bei z = 0) bis zu ca. 40 kpc die baryonische Dichte gröÿer ist als die Dichte dunkler Materie. Für gröÿere Radien fällt die baryonische Dichte sehr stark ab, während die Dichte dunkler Materie im Verhältnis dazu hoch ist. In z-Richtung ist dagegen bereits ab ca. 1 kpc die Dichte dunkler Materie gröÿer als die der baryonischen. Wegen der sphärischen Form des Halos im Gegensatz zu der achen Ausdehnung der Galaxie ist daher auch die Masse des Halos sehr viel gröÿer als die der Galaxie. Laut [DB97] ist die gesamte Masse baryonische Materie (Scheibe und Ausbauchung) 5, 8 · 1010 M0 , die Masse der dunklen Materie innerhalb von 100 kpc ist 59, 4 · 1010 M0 . Der Anteil baryonischer Materie in unserer Milchstraÿe liegt demnach bei ca. 10 %.

25

5 Berechnung des Sichtlinienintegrals J(ψ) Der Neutrinouss aus Formel (2.1) hängt von den modellabhängigen Gröÿen < σA v >,

dNν /dE , mχ sowie von dem betrachteten Halo-Modell ab. An dieser Stelle wird nur der Einuss der Halo-Modelle auf den Neutrinouss betrachtet. Die Proportionalität des Neutrinousses zum Sichtlinienintegral J(ψ) aus Formel (2.2) erlaubt eine Aussage über den erwarteten Neutrinouss in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ .

5.1 Das Sichtlinienintegral J(ψ) in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ Das Sichtlinienintegral J(ψ) aus Formel (2.2) wurde für die verschiedenen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2 numerisch berechnet. Es wurden jeweils die Integralwerte für variierende Winkel zwischen 0° und 100° in Schritten von 0, 1° berechnet. Auftragen der Integralwerte gegen die entsprechenden Winkel ψ liefert die Abhängigkeit von J(ψ) bzw. vom Neutrinouss vom Sichtlinienwinkel ψ . Als Gröÿe des Halos wurde hier RH = 100 kpc angenommen. Für einige Modelle divergiert J(ψ) für ψ → 0 (NFW, Moore, RTM, JS, DM und PS). Dieses Verhalten könnte ein Artefakt der Simulationen sein, die kleine räumliche Skalen nicht auösen können. Für das Modell von Kravtsov (ρ ∼ r−0,2 ) divergiert zwar die Dichte, das Integral J(ψ) ist jedoch endlich für ψ → 0. Um das divergente Verhalten der genannten Halo-Modelle zu vermeiden, wird eine konstante Dichte innerhalb eines Winkels von ψ ≤ 0, 1° angenommen, diesem Winkel entspricht ein Radius von ca. 15 pc. Unter dieser Annahme kann J(0°) durch J(0, 1°) angenähert werden. Dieses Vorgehen lehnt sich an das von [YH08] an. In Abbildung 5.1 wird J(ψ) für die verschiedenen Halo-Modelle gegen den Winkel aufgetragen. Zur besseren Übersicht werden die insgesamt 10 Prole in zwei Abbildungen unterteilt. Aus Abbildung 5.1 wird deutlich, dass der Neutrinouss für kleine Winkel ψ am gröÿten ist und für gröÿere Winkel abfällt. Die erwarteten Werte für J(ψ) bzw. für den Neutrinouss unterscheiden sich für kleine Winkel (ψ ≈ 0, 1°) je nach Modell um bis zu 5 Gröÿenordnungen. Bei ca. 15° − 20° nähern sich die Werte für J(ψ) für die Hernquist-Modelle aus der oberen Abbildung einander an. Dies entspricht insofern der Erwartung, als dass bei Betrachtung von Abbildung 3.1 bereits festgestellt wurde, dass sich diese Dichteprole bei einem Radius von ca. r = 2, 5 kpc annähern. Dieser Abstand entspricht ungefähr einem Winkel von ψ = arctan(2, 5/8, 5) ≈ 16°. Dagegen streuen die übrigen Prole aus Abbildung 5.1 unten bei ψ = 16° noch wesentlich stärker 26

und nähern sich erst bei einem Winkel von ungefähr ψ = 30° einander an.

Figure 5.1: Sichtlinienintegral J(ψ) aus Formel (2.2) als Funktion von ψ für die verschiedenen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2, ψ in Grad.

27

5.2 Der durchschnittliche Neutrinouss aus dem galaktischen Zentrum Der durchschnittliche Fluss aus einem gewissen Raumwinkel ∆Ω ist durch Formel (2.2) gegeben, wobei J(ψ) durch J∆Ω (ψ) ersetzt wird. Das Integral J∆Ω (ψ) aus Formel (2.6) wurde für die verschiedenen Halo-Modelle numerisch berechnet. An der Stelle ψ = 0 divergiert das Integral J∆Ω (ψ), auch hier wurde analog zu J(ψ) J∆Ω (0°) = J∆Ω (0, 1°) angenommen. Dem galaktischen Zentrum entspricht ungefähr ein Winkelbereich von ψ = 0° − 30°. In Tabelle 7 sind die Werte für J∆Ω (30°) angegeben.

J∆Ω

NFW 31

Moore Kravtsov RTM Jing, Suto Dehnen, McLaughlin 113 7 44 151 47 Burkert Isotherm Einasto Prugniel-Simien J∆Ω 8 73 23 88

Tabelle 7: J∆Ω (30°) aus Formel (2.6) für die verschiedenen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2. Der durchschnittliche Neutrinouss aus der Richtung des galaktischen Zentrums variiert für die verschiedenen Halo-Modelle insgesamt bis um einen Faktor 25. Gleiches gilt damit auch für den gesamten Neutrinouss aus Richtung des galaktischen Zentrums. In [YH08] wurden die Integrale J∆Ω (30°) ebenfalls für das NFW-, Moore- und Kravtsov-Modell gelöst. Die hier berechneten Werte aus Tabelle 8 stimmen gut mit denen aus [YH08] überein. In Abbildung 5.2 wird J∆Ω (ψ) gegen den Winkel ψ aufgetragen. So wie J(ψ) ist auch

J∆Ω (ψ) bei kleinen ψ maximal und fällt nach auÿen ab. Die erwarteten Werte für J∆Ω (ψ) für kleine Winkel (ψ ≤ 0, 1°) unterscheiden sich um ungefähr 5 Gröÿenordnungen für die verschiedenen Halo-Modelle. Die Betrachtung eines gröÿeren Winkelbereiches reduziert diesen Eekt. Aus Abbildung 5.2 wird jedoch deutlich, dass sich die Werte von J∆Ω (ψ) auch noch für gröÿere Winkel relativ stark voneinander unterscheiden, wohingegen die Unterschiede der Werte von J(ψ) bei ca. 30° schon vernachlässigbar sind (Abbildung 5.1). Dieser Unterschied zwischen J(ψ) und J∆Ω (ψ) ist darin begründet, dass zu J∆Ω (ψ) auch bei groÿen Winkeln ψ die Region, in der sich die Dichteprole stark unterscheiden, beiträgt. Für das Halo-Modell von Moore wurde getestet, ob die hier gewählte Grenze einer konstanten Dichte innerhalb von ψ ≤0, 1° den Wert von J∆Ω (30°) beeinusst. Für dieses 28

Modell ist wegen seiner besonders divergenten Form der Einuss der Grenze maximal. Bei einer anderen Wahl der Grenze von ψ ≤ 0, 05° blieb der Wert von J∆Ω (30°) nahezu unverändert. Der Unterschied für die anderen Prole ist noch geringer.

Abbildung 5.2: J∆Ω (ψ) als Funktion von ψ für die verschiedenen Halo-Modelle aus Kapitel 3.2, ψ in Grad. 29

5.3 Signikanz eines Neutrinosignals Mit der Funktion J∆Ω (ψ) aus Abbildung 5.2 kann nun weiterhin die Signikanz bestimmt werden, mit der ein Neutrino detektiert wird, das aus der Annihilation dunkler Materie stammt: Das Neutrinosignal Nges , das ein Detektor auf der Erde misst, setzt sich zusammen aus einem Untergrundsignal NU n und dem Signal, das aufgrund von der Annihilation erwartet wird NAn , wobei NAn durch Formel (2.5) gegeben ist:

Nges = NU n + NAn . Die Signikanz S(ψ) ist ein Maÿ für die Wahrscheinlichkeit, dass ein Teil des gemessenen Signals aus der Annihilation dunkler Materie stammt. Diese Wahrscheinlichkeit wird Sensitivität eines Neutrinosignals genannt. Die Signikanz S(ψ) gibt an, wie viele Standardabweichungen das gemessene Signal Nges gröÿer ist als das Signal des Hintergrundes NU n :

S=

NAn Nges − NU n = . σU n σU n

(5.1)

σU n ist die Standardabweichung des Untergrundsignales. Da der Untergrunduss von Neutrinos sehr hoch ist und Detektionswahrscheinlichkeit von Neutrinos sehr gering ist, wird das Untergrundsignal durch eine Poisson-Verteilung beschrieben. Für die Stan√ dardabweichung einer Poisson-Verteilung gilt: σU n = NU n . Es gilt folgende Proportionalität für das Neutrinosignal NAn : NAn ∝ J∆Ω · ∆Ω .

(5.2)

Für die Standardabweichung des Untergrundsignals wird die grobe Näherung gemacht, dass das Untergrundsignal proportional zum betrachteten Raumwinkel ∆Ω ist:

σU n =

p √ NU n ∝ ∆Ω .

(5.3)

Nach Einsetzen dieser Relationen in Formel (5.1) ergibt sich folgende Proportionalität für die Signikanz:

S(ψ) ∝ J∆Ω (ψ) ·

p ∆Ω(ψ)

(5.4)

Bei dem Maximum der Signikanz S(ψ) ist die Sensitivität für ein Neutrinosignal am gröÿten. 30

In Abbildung 5.3 ist die Signikanz als Funktion vom Sichtlinienwinkel ψ abgebildet.

Abbildung 5.3: Signikanz S(ψ) 5.4 als Funktion von ψ für die verschiedenen HaloModelle aus Kapitel 3.2, ψ in Grad. 31

Es wird deutlich, dass die maximale Sensitivität bei den divergenten Prolen (alle Prole aus der oberen Abbildung und PS aus der unteren) bei eher kleineren Winkeln (zwischen 0, 2° und 3°) erreicht wird. Für diese Prole ist es daher sinnvoll, einen möglichst kleinen Winkelbereich zu betrachten. Bei Experimenten mit einer Winkelauflösung von ∼ 1° ist es praktisch nicht möglich, das Maximum der Signikanz zu treen. Dieser Eekt ist bei den Modellen von Moore und JS besonders stark ausgeprägt. Schon bei einem Winkel von 1° − 2° wird nur noch 1/10 der maximalen Höhe der Signikanz erreicht. Die übrigen acheren Prole (Kravtsov, Burkert, Isotherm, Einasto) haben ein Maximum bei gröÿeren Winkeln zwischen 8° bis 50°. Für diese Prole ist es daher sinnvoll einen gröÿeren Winkelbereich zu betrachten. Die hier gemachte Näherung aus Gleichung (5.3), dass das Untergrundsignal proportional zum betrachteten Raumwinkel ist, ist für gröÿere Winkel (ψ & 30°) jedoch nicht mehr realistisch. Für die Prole von Kravtsov und Burkert ist es daher fraglich, ob der hier gefundene Wert für das Maximum der Signikanz bei ψ ≈ 50° wirklich zuverlässig ist. Auch hier wurde am Prol von Moore getestet, inwieweit die Wahl der Grenze für eine konstante innere Dichte bei ψ ≤0, 1° die Signikanz beeinusst. Das Optimum der Signikanz S(ψ) verschiebt sich von 0, 2° zu 0, 15°, der Einuss ist also nur sehr gering.

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6 Zusammenfassung Ziel dieser Arbeit war es den Neutrinouss aus der Annihilation dunkler Materie im Hinblick auf die Unterschiede zwischen den verschiedenen Halo-Modellen zu untersuchen. Es wurden insgesamt 10 verschiedene Halo-Prole untersucht, von denen viele aus Simulationen der Entwicklung von N-Teilchen-Systemen stammen. Diese Prole wurden durch geeignete Wahl der Parameter ρs und rs so skaliert, dass sie bekannte Messgröÿen der Milchstraÿe reproduzieren können. Für alle der betrachteten Prole ist die Dichte im Zentrum am höchsten und fällt nach auÿen hin ab. Beim Vergleich der Prole el auf, dass sie sich für kleine Abstände um bis zu 4 Gröÿenordnungen voneinander unterscheiden und viele der Prole divergieren. Ab einem Radius von ca. 2, 5 kpc nähern sich die sogenannten Hernquist-Modelle einander an, die übrigen 4 Prole nähern sich erst bei ca. 5 kpc an. Allgemein sagen Simulationen von N-Teilchen-Systemen divergente Prole voraus, diese stehen jedoch im Konikt zu beobachteten Gröÿen wie den Rotationskurven von Galaxien. Es werden daher eher die acheren Prole durch Beobachtungen bevorzugt. Weiterhin wurde die Verteilung dunkler Materie mit der Verteilung baryonischer Materie verglichen. In der Ebene der Milchstraÿe ist bis zu einem Radius von ca. 40 kpc die Dichte baryonischer Materie gröÿer als die dunkler Materie. Wegen der achen Form der Milchstraÿe im Gegensatz zu der sphärischen Form des Halos liegt der Anteil baryonischer Materie jedoch nur bei ca. 10 % der gesamten Materie. Das Integral J(ψ), welches proportional ist zum erwarteten Neutrinouss, wurde für die verschiedenen Halo-Prole für den Winkelbereich ψ = 0° − 100° numerisch gelöst. Dabei wurde für die divergenten Prole eine konstante Dichte für ψ ≤ 0, 1° angenommen. Der erwartete Neutrinouss ist für kleine Winkel ψ am gröÿten und fällt für gröÿere Winkel ab. Für kleine Sichtlinienwinkel ψ ≈ 0, 1° unterscheiden sich die Werte für J(ψ) der verschiedenen Halo-Modelle um bis zu 5 Gröÿenordnungen, für gröÿere Winkel nähern sie sich einander an. Für die Hernquist-Modelle unterscheidet sich der Neutrinouss für Winkel ψ ≥ 15° − 20° kaum noch, die anderen Prole nähern sich erst bei ca. 30° einander an. Weiterhin wurde das Integral J∆Ω (ψ) berechnet, das proportional ist zum durchschnittlichen Neutrinouss aus dem Raumwinkel ∆Ω. Wie auch bei J(ψ) variieren die berechneten Werte von J∆Ω (ψ) für kleine Winkel extrem, wohingegen die Betrachtung von gröÿeren Winkelbereichen diesen Eekt reduziert. Der durchschnittliche Neutrino33

uss aus dem galaktischen Zentrum, dem ein Winkelbereich von ψ = 0° −30° entspricht, unterscheidet sich je nach Halo-Modell bis um einen Faktor 25. Mit der Funktion J∆Ω (ψ) konnte weiterhin die Sensitivität eines Neutrinosignals in Abhängigkeit vom Sichtlinienwinkel ψ bestimmt werden. Das Maximum der Sensitivität ist für die divergenten Prole (NFW, Moore, RTM, JS, DM und PS) bei Winkeln zwischen 0, 2° und 3°. Für diese Prole ist es daher sinnvoll, einen möglichst kleinen Winkelbereich zu betrachten. Bei Experimenten mit einer Winkelauösung von ∼ 1° wäre es allerdings praktisch nicht möglich, das Maximum der Signikanz von diesen Prolen zu treen. Für die acheren Prole (Kravtsov, Isotherm, Burkert, Einasto) liegt dagegen das Maximum bei gröÿeren Winkeln zwischen 8° und 50°. Für diese Prole ist daher die Betrachtung eines gröÿeren Winkelbereiches sinnvoll.

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