Zusammenfassung Theoretische Elektrodynamik

Zusammenfassung Theoretische Elektrodynamik Vorerst klausurrelevanter Teil Grundlage: Vorlesungsskript Prof. Lederer

Mario Chemnitz 24. April 2008

1

Elektrostatik

¨ Der Ubersichtlichkeit halber werden folgende Konstanten definiert: k0 :=

1.1

1 ; 4πε0

1 ; 4πε0 ε

kr :=

m0 := m0

Coulomb-Kraft und elektrisches Feld

• Kraft zwischen Ladungen q F~i = k0 qi

X i6=j

qj

~ri − ~rj |~ri − ~rj |3

• Abstraktion von qi zur Probeladung X X F~i ~r − ~rj ~ r) = k0 ~j = E(~ = E qj 3 qi →0 qi |~ r − ~ r | j j j lim

→ Superpositionsprinzip ¨ • Ubergang zur kontinuierlichen Ladungsverteilung Z Q = ρ(~rρ ) dVρ V

~ r) = k0 =⇒ E(~

Z

1

ρ(~r)

~r − ~rρ dVρ |~r − ~rρ |3

• Punktladungswolke:

ρ(~rρ ) =

P

qi δ(~r − ~ri )

i

• Fl¨achenladungsdichte: • Linienladungsdichte:

1.2

dQ = η(~rη ) dfη dQ = ξ(~ rξ ) dlξ

Gauß’sches Durchflutungsgesetz

(Integrale Formulierung der ersten Maxwell-Gleichung (MWGl) der E-Statik) 1.MWGl: ~ =ρ ε0 div E → Bedeutung: Die Ladungen sind die Quellen der E-Felder. Integration der MWGl u¨ber ein Volumen V mit dem glatten Rand ∂V und Anwendung des Gauß’schen Satzes ergibt das gesuchte Durchflutungsgesetz: Z

Z ρ(~r) dV = QV = ε0

V

1.3 Da

~ r) df~ E(~

∂V

Elektrostatisches Potential

~ r−~ rρ |~ r−~ rρ |3

1 = −gradr |~r−~ l¨asst sich das E-Feld als Gradientenfeld schreiben: rρ |

~ r) = −grad φ(~r) E(~

Zr ⇐⇒

φ(~r) = −

~ r~0 ) dr~0 E(

Z mit

φ(~r) = k0

∞

V

Aus physikalischen Gr¨unden folgen nat¨urlichen Randbedingungen: φ(~r → ∞) = 0

1.4

Arbeit im E-Feld und die 2.MWGl der E-Statik Zr2 W =− r1

F~ (~r) d~r = q

Zr2 grad φ(~r) d~r = q(φ(~r2 ) − φ(~r1 )) = q · U r1

→ Integral ist wegunabh¨angig ⇒ konservatives Zentralkraftfeld 2

ρ(~r) dV |~r − ~rρ |

→ Da die elektrostatische Kraft konservativ ist, wird bei einer Integration u¨ber eine geschlossenen Kurve keine Arbeit verrichtet: I ~ r) d~r = 0 E(~ C

Dieser Ausdruck ist die Integrale Formulierung der zweiten Maxwell-Gleichung der E-Statik. Die Anwendung der Stoke’schen Satzes liefert die diffenzielle Form: ~ r) = 0 rot E(~ → Bedeutung: Das elektrostatische Feld ist wirbelfrei.

1.5

E-Feld geladener Fl¨ achen

1.Fall: ρext = 0 Somit gilt f¨ur das einseitige E-Feld einer unendlich groen, ebenen, homogen geladenen Fl¨ache: η E= 2ε0 (η...Flchenladungsdichte) 2. Fall: ρext 6= 0 Fl¨ache)

⇒

~ 1, E ~ 2 (E-Felder vor (1) und nach (2) der geladenen E

Im Folgenden wird also ein E-Feld beim Durchgang durch die geladene Fl¨ache betrachtet. Vorerst wird das E-Feld zweckm¨aßig in eine (bzgl. der Fl¨ache) Normalund Tangentialkomponente zerlegt: ~i = E ~i + E ~i E n t a) Normalkomponenten an der Grenzfl¨ache: Konstruktion eines Gauß’schen K¨astchens mit dem Volumen ∆V = ∆F · ∆x: Z Z η Gauß η ~ ~ ~ div E = −→ E df = dV ε0 ε0 ∂∆V ∆x→0

−→ ∂∆V → ∆F ;

dV → ∆F

3

∆V

~ n2 − E ~ n1 )∆F = η ∆F =⇒ (E ε0

~ n1 = η ~ n2 − E E ε0

η = const

Wenn η(~r) inhomogen ist, kann f¨ur kleine betrachtete Fl¨achen η(~r) als lokal homogen angenommen werden. b) Tangentialkomponenten an der Grenzfl¨ache: Konstruktion einer Stoke’schen Fl¨ache mit dem Inhalt ∆F = ∆l · ∆x: I Stokes ~ = 0 −→ ~ r) d~r = 0 rot E E(~ ∂∆F ∆x→0

−→ ∂∆F → ∆l

=⇒

~ 1 )∆l = 0 ~ t2 − E (E t

~2 − E ~1 = 0 E t t

1.6

Der elektrische (Punkt-)Dipol

• Dipolmoment: p~ = q→∞ lim q · ~a ~a→~0

• Dipolpotential: φD (~r) = k0 p~

~r − ~rρ 1 = −k p ~ · grad 0 r |~r − ~rρ |3 |~r − ~rρ |

• Dipolfeld: ~ D (~r) = −grad φD (~r) ≈ k0 E



 p~ 3(~rp~)~r ~r − 3 = −k0 (~p · grad) 3 5 r r r

• Ladungsdichte eines PDs bei r~0 : ρD (~r) = −~p · grad δ(~r − r~0 ) • Dipoldichte einer Summe aus PDs: X P~ (~r) = p~i · δ(~r − ~ri )

⇒

ρD (~r) = −div P~ (~r)

i

~ ausschließlich auf die Da p~i = const, wirkt der Nabla-Operator (div = ∇) Dirac-Distribution. 4

1.7

Grundaufgaben und L¨ osungen der E-Statik Abs.1.3

~ =ρ ε0 div E

→

∆φ(~r) = −

ρ(~r) ε0

Die Berechnung der Ladungverteilung ρ aus dem E-Feld oder dem Potential ist mit den obigen Gleichungen trivial. Die eigentliche Grundaufgabe besteht in der L¨osung dieser Poissongleichung, d.h. der Berechnung des skalaren Potentials aus der Ladungsverteilung. Zur L¨osung dieser wird das mathematische Konstrukt der Green’schen Funktion (GF) bem¨uht. Es gilt allgemein Z φ(~r) =

G(~r, r~0 ) ρ(r~0 )dV

V

wobei an die GF folgende Bedingung gestellt wird: ε0 ∆G0 (~r, r~0 ) = −δ(~r − r~0 ). Das Problem beschr¨ankt sich also auf das Auffinden einer passenden GF, die den Randbedingungen des Problems gen¨ugt. In diesem Sinne kann die GF als Abstraktion des Potentials auf das einer Punktladung mit der Ladung Eins betrachtet werden. Diese Aussage beruht auf dem folgenden mathematischen Zusammenhang, denn da 1 1 δ(~r − r~0 ) = − ∆ 4π |~r − r~0 | folgt G0 (~r, r~0 ) =

1 1 . 4πε0 |~r − r~0 |

Die nun eigentlich gesuchte GF besitzt jedoch noch einen weiteren additiven Term F (~r, r~0 ), in dem die passenden Randbedingungen eingearbeitet sind und der folgenden Bedingung gen¨ugen muss: ∆F (~r, r~0 ) = 0 Diese Bedingung r¨uhrt daher, da die Beziehung ε0 ∆G(~r, r~0 ) = −δ(~r − r~0 ) gelten soll. Somit haben wir als allgemeine GF G(~r, r~0 ) = G0 (~r, r~0 ) + F (~r, r~0 ). 5

1.8

Multipolentwicklung

Im Fernfeld (~r → ∞) wird die Ausdehnung der Ladungsverteilung klein gegen den Abstand des Betrachtungspunktes. Unter diesen Voraussetzungen ist eine Multipolentwicklung zur Vereinfachung des Potentials m¨oglich. Im vereinfachten Sinne kann man unter einer Multipolentwicklung eine Taylorpolentwicklung nach r~0 verstehen. ∞ (l) ~0 ) T aylor X ∂ G (~ r , r 0 x0r1 · x0r2 . . . x0rl G0 (~r, r~0 ) ≈ ∂ r~0 1 ∂ r~0 2 . . . ∂ r~0 l ~0 l=0

r =0

Notation: G0 (~r, r~0 ) ≈ =

∞ X (−1)n l=0 ∞ X l=0

n!

3 X

x0j

j=1

∂ · 0 ∂xj

!n G0 (~r)

(−1)n ~0 ~ 0 n r · ∇ G0 (~r) n!

Somit folgt f¨ur das Potential φ(~r) ≈

∞ X

φl (~r) = k0

l=0

∞ X Q~r

r2 ...~ rl 1~

l=0

l! r2l+1

xr1 · xr2 . . . xrl

mit dem Multipoltensor der l-ten Stufe l

Z

Q~r1~r2 ...~rl := 4πε0 (−1)

ρ(r~0 ) r02l+1

Vρ

∂ (l) G0 (r~0 ) dV 0 . 0 0 0 ~ ~ ~ ∂ r 1∂ r 2 . . . ∂ r l

Teilentwicklungen: • l = 0:

Q r ⇒ Monopolmoment entspricht der Gesamtladung Q. φ0 (~r) = k0

Z Q := Vρ

6

ρ(r~0 ) dV 0

• l = 1:

Qi xi p~ · ~r = k0 3 3 r r

φ1 (~r) = k0 ⇒

∂Q ∂~ r

entspricht dem Dipolmoment p~. Z p~ :=

ρ(r~0 ) r~0 dV 0

Vρ

• l = 2: φ1 (~r) = ⇒ Der Tensor 2. Stufe Dij .

∂2Q ∂~ xi ∂~ xj

Z Dij :=

k0 Qij xi xj 2 r5

= Qij entspricht dem Quadrupolmoment

ρ(r~0 )(3x0i x0j − r02 δij ) dV 0

Vρ

Eigenschaften des Quadrupoltensors: – Symmetrie: Dij = Dji – Spurfreiheit: Spur(Dij ) =

3 P

Dii = 0

i=1

1.9

Elektrostatische Energie

• Gesamtenergie eines Systems aus Punktladungen: W =q·U

N N k0 X X Qi Qj W = 2 i=1 j6=i |~ri − ~rj |

=⇒

j=1 Q2 = Faktor 21 r¨uhrt aus der Symmetrie der Formel, denn da |~rQ11−~ r2 | summiert man eigentlich zweimal u¨ber den geforderten Term.

Q2 Q1 |~ r2 −~ r1 |

¨ • Energie einer Ladungswolke (Ubergang zur kontinuierlichen Verteilung) k0 W = 2

Z Z Vρ Vρ

7

ρ(~r)ρ(r~0 ) dV 0 dV |~r − r~0 |

Umschreibung in eine Form mit Potentialausdr¨ucken: Z Z ε0 1 φ(~r) ρ(~r) dV = − φ(~r) ∆φ(~r) dV W = 2 2 Vρ

Vρ

mit Vρ → V∞ da ∆φ(~r) = 0 f¨ur r > rρ Umschreibung mit Hilfe des ersten Green’schen Satzes in eine Form mit E-Feld-Ausdr¨ucken: Z Z ε0 2 ~ W = w dV E (~r) dV = 2 V∞

mit w =

ε0 ~ 2 E (~r) 2

V∞

als Feldenergiedichte

• Wechselwirkungsenergie zweier Ladungswolken Z W =

Z Z φ1 (~r) ρ2 (~r) dV = k0

V1

V1 V2

ρ1 (~r)ρ2 (r~0 ) dV 0 dV 0 ~ |~r − r |

Da das Volumen V1 das Volumen V2 nicht enth¨alt, f¨allt nun der Faktor weg.

1 2

~D • Dipol-Wechselwirkung im ¨außeren Feld E ~D WD = −~p · E

1.10

Kr¨ afte/Drehmoment im ¨ außeren Feld

• Eine Multipolentwicklung (bis zum Dipolterm) der WW-Energie liefert ~ ext (~r). Wr = Qr · φext (~r) − p~r · E Mit F~ = −gradr W ergibt sich die Kraft auf eine Ladungsverteilung, bestehend aus Ladungen und Dipolen, im ¨außeren Feld ~ ext (~r) − [~pr · grad] E ~ ext (~r). F~ (~r) = F~Q + F~D = Qr · E

8

• Auf einen Dipol, der sich in einem ¨außeren elektrischen Feld befindet, wirkt ~. ein Drehmoment M Z

m(~ ~ r − r~0 ) dV 0

=

~ (~r) = p~r × E ~ ext (~r) M

Vr

~ ext (~r) mit m(~ ~ r − r~0 ) := r~0 ρr (~r − r~0 ) × E

• Energie eines induzierten Dipols: a) Zur Erzeugung: 1 ~ W = p~ · E ext 2 b) F¨ur die Bewegung im Feld: ~ ext W = −~p · E c) ⇒ Gesamtenergie: 1 ~ Wges = − p~ · E ext 2 → Arbeit gewonnen!

1.11

Elektrostatik bei Anwesenheit von Leitern

1.11.1

Die Feldbeschreibung

• Das Feld einer Leiter-/Ladungsverteilung gen¨ugt ρ ∆φGes (~r) = − φGes (~r)|Li = const. ε0 mit Li als die R¨ander der i-ten Leiter. • Weiterhin gilt f¨ur die Leiteroberfl¨achen:  E | = 0 t Li ~ r) = E ~n + E ~t ⇒ E(~  En | = η Li ε0 En |Li

∂φGes (~r) ⇒ η(~r) = −ε0 ∂n Li 9

Abbildung 1: Schema einer Leiteranordnung mit Feldlinien (Blau) wobei ~n nach außen zeigt. ~ r), φGes (~r) • Einfach: Berechnung der Ladungsverteilung aus dem Feld (E(~ bekannt → ρ(~r), ηi (~r)) • Schwer: Berechnung des Feldes und der Ladungsverteilung auf den Leitern ~ r), φGes (~r)) (ρ(~r), Randbedingungen und Leitergeometrie bekannt → E(~ ⇒ Zwei Grundaufgaben (GA) der E-Statik mit Leitern: – 1. GA: φ|Li bekannt =⇒ Berechnung von φ(~r), ηi (~r) → Qi – 2. GA: Qi auf Li bekannt =⇒ Berechnung von φ(~r), ηi (~r) φ|Li 1.11.2

L¨ osung der Grundprobleme mittels Green’scher Funktion

• Die Anwendung des zweiter Green’scher Satz mit Ψ = G(~r, r~0 ) und φ = φ(~r) liefert die allgemeine L¨osung des Problems. Z  V

Z   ∂G ∂φ  0 0 0 0 0 0 0 0 ~ ~ ~ ~ ~ ~ G(~r, r ) ∆φ(r ) −φ(r ) ∆G(~r, r ) dV = φ(r ) 0 −G(~r, r ) 0 df | {z } | {z } ∂n ∂n ~0 ε−1 0 ρ(r )

δ(~ r−r~0 )

10

∂V

Z =⇒ φ(~r) =

G(~r, r~0 ) ρ(r~0 ) dV 0 − ε0

V

Z 

φ(r~0 )

 ∂G ~0 ) ∂φ − G(~ r , r ∂n0 ∂n0

∂V

→ Problem ist somit gel¨ost, wenn GF und RB bekannt sind. ⇒ Zur weiteren Vereinfachung dieses Ausdrucks nutzen wir wieder die freie Variierbarkeit der GF und stellen eine neue Forderung, neben −ε0 ∆0 G(~r, r~0 ) = δ(~r − r~0 ): ! G(~r, r~0 )|r0 ∈Li = 0,

aus Symmetriegr¨unden folgt zudem: G(~r, r~0 )|r0 ∈Li = G(~r, r~0 )|r∈Li Die Green’sche Funktion soll also auf dem Rand verschwinden. Somit entf¨ullt der zweite Summand in dem obigen Fl¨achenintegral der allgemeinen L¨osung des Problems und es ergibt sich mit φ(~r)|Li = φi = const. die L¨osungsform X φGes (~r) = φρ (~r) + φi Γi (~r) (∗) i

mit dem Raumladungspotential Z φρ (~r) = G(~r, r~0 ) ρ(r~0 ) dV 0 V

und den Geometriekoeffizienten  Z ∂G 0 1 auf Rand i Γi (~r) = −ε0 df = 0 auf Rand j ∂n0

mit ∆Γi = 0.

∂Vi

Somit gilt ferner ∆φGes = φρ = − ερ0 . • Das Hauptproblem liegt nun im Auffinden einer geeigneten GF. Am Einfachsten wird diese u¨ber das Prinzip der Spiegelladungen geliefert. Diese Prinzip beruht nicht immer auf purer Analytik, sondern muss oft mir physiklischer Intuition vervollstndigt werden, da die Lage der Spiegelladungen oft 11

nicht direkt berechenbar ist. Aus Abs. 1.7 wissen wir, dass eine GF aus zwei Summanden bestehen kann, wobei der zweite Summand die Informationen u¨ber die Geometrie und Ladungen der Leiter enth¨alt G(~r, r~0 ) = G0 (~r, r~0 ) + F (~r, r~0 )

mit

∆F (~r, r~0 ) = 0.

• Die erste Grundaufgabe ist sofort mit der obigen Beziehung (∗) l¨osbar. • Die zweite Grundaufgabe ist auf die erste Grundaufgabe r¨uckf¨uhrbar: Z Z X ∂φ (∗) + Qi = η(~r) df = −ε df =⇒ Qi = Qind φj Cij i ∂ni j Li

Li

mit der induzierten Oberfl¨achenladungen der i Leiter Z ∂φρ −ε df ∂ni Li

und den Kapazit¨atskoeffizienten Z Z Z ∂G ∂Γi 2 df = ε df df 0 . Cij = −ε 0 ∂nj ∂ni ∂nj ∂Vi Lj

Lj

Die beiden Normalenvektoren ~n0i und ~nj geh¨oren jeweils zu denselben Fl¨achenelementen, mit dem Unterschied, dass einer aus und einer in den Leiter zeigt, da mit ∂Vi der i-te Rand (also den Leiter i) des Volumens V (enth¨alt ρ) und mit Lj der Rand des j-ten Leiters bezeichnet wird. • Der Kapazit¨atstensor Cij ist symmetrisch (Cij = Cji ) und invertierbar, woraus folgt X φi = Cij−1 (Qj − Qind j ). j

Somit konnte die erste GA auf die zweite zur¨uckgefhrt werden. • Wichtige Green’sche Funktionen sind die des Halbraums   1 1 0 GHR (~r, r~ ) = k0 − |~r − r~0 | |~r − ~rs | und der Kugel " GK (~r, r~0 ) = k0

# R 1 − . 2 ~ r | |~r − r~0 | r0 |~r − R 02 r 1

12

1.12

Die Elektrostatik in Dielektrika

1.12.1

Die dielektrische Polarisation

Ein Dielektrikum besteht, wie jedes andere Material auch, aus Atomen, also aus nanometer-großen Dipolen. Da es genauso uneffizient wie unm¨oglich ist, jedes Einzelne dieser mikroskopischen Dipole analytisch zu erfassen, arbeitet man bei solchen Problemen mit makroskopischen, gemittelten Gr¨oßen. So ergibt sich beispielsweise f¨ur das gemittelte Dipolpotential Z 1 φD (~r + ~r¯) dV¯ hφD (~r)i = ∆V ∆V Z 1 = −k0 P~ (r~0 ) · gradr , |~r − r~0 | ∆V

wobei mit P~ die gemittelte Polarisationsdichte (Dipoldichte) bezeichnet wird. ~ = A∇b ~ + b∇A ~ Der letzte Ausdruck l¨asst sich noch mittels der Beziehung ∇(bA) umformen. F¨ur die Raumladungsdichte ρpol und die Oberfl¨achenladung ηpol gilt ρpol (~r) = −div P~ (~r) 1.12.2

ηpol (~r) = P~ (~r) · ~n.

Die dielektrische Verschiebung

Bisher galt ρ(~r) = ρext (~r). In Anwesenheit von Dielektrika gilt nun jedoch: ρ(~r) = ρext (~r) + ρpol (~r). Aus ρpol = −div P~ und ρpol = ε0 div P~ folgt nun f¨ur die dielektrische Verschiebung ~ r) = ε0 E(~ ~ r) + P~ (~r) . D(~ Somit lassen sich die Maxwellgleichungen im Dielektrikum wie folgt schreiben: ~ r) = ρext (~r) div D(~

~ r) = 0. rot E(~

~ bleibt wegen der letzten MWGL also weiterhin ein Das elektrostatische Feld E Gradientenfeld. Eine Beziehung zwischen dem D- und E-Feld folgt aus den Ma
terialgleichungen mit ε(~r) = 1 + χ(~r) : ~ r) = ε0 ε(~r)E(~ ~ r). D(~ 13

¨ Aquivalent zum Abs.1.5 lassen sich mit Hilfe des Gauß’schen Kstchens die ¨ Ubergangsbedingungen f¨ur die Normalenkomponenten zeigen ~ i = ηext (~r) ~ na − D D n i ~i a ~a =⇒ ε0 ε En − ε En = ηext (~r)   a i a ∂φ i ∂φ =⇒ −ε0 ε −ε = ηext (~r). ∂n ∂n 

Somit w¨aren die Normalenkomponenten¨uberg¨ange des D- und des E-Feldes unstetig. Im Allgemeinen gilt jedoch oft ηext = 0, womit das D-Feld stetig u¨bergeht. ¨ Genauso lassen sich wieder mit Hilfe der Stokes’schen Fl¨ache die Ubergangsbedingungen der Tangentialkomponenten des D- und E-Feldes zeigen ~a = E ~i E t t a ~ ~ Dti Dt = . εa εi

=⇒

1.12.3

stetig

Die Poissongleichung in Isolatoren

a) Inhomogene Medien (ε(~r) 6= const.) h i ~ = ρext = ε0 div ε(~r)E(~ ~ r) folgt: Aus div D ∆φ(~r) +

1 ρext (~r) grad ε(~r) · gradφ(~r) = − . ε(~r) ε0 ε(~r)

b) Homogene Medien (ε(~r) = εr = const.) =⇒

ρext (~r) ∆φ(~r) = − ε0 εr

Z −→

φ(~r) = kr V

ρ(r~0 ) dV 0 0 ~ |~r − r |

c) St¨uckweise konstantes ε(~r) ∆φi (~r) = −

ρiext (~r) ε0 εir

Wobei mit ρiext die separaten Ladungen im Gebiet i bezeichnet werden. 14

1.12.4

Potentialberechnung in Isolatoren mittels GF

Zur eleganten L¨osung von Potentialproblemen st¨uckweise konstanter Permittivit¨at ε kann man wieder das Konstrukt der Green’schen Funktion nutzen Z i φ (~r) = ρext (r~0 )Gi (~r, r~0 ) dV 0 . V

F¨ur verschiedene Gebiete existiert jeweils eine andere GF −ε0 εir ∆Gi (~r, r~0 ) = δ(~r − r~0 ) −ε0 εjr ∆Gj (~r, r~0 ) = 0

Ladung in Gebiet i und ~r ∈ Vi Ladung in Gebiet i und ~r ∈ Vj

¨ mit den Ubergangsbedingungen ε 1.12.5

a ∂φ

a

∂n

=ε

i ∂φ

i

∂n

.

Raumladungsfreie Probleme

Ist ausschließlich die konstante Polarisation P~ vorgegeben, sind die einzigen Quellen des E-Feldes die Polarisationsladungen an der Oberfl¨ache des Dielektrikums ~ unstetig. P~ · ~n = P cos γ = ηpol =⇒ P~ , E Mit P~ = const. ergibt sich f¨ur das Potential einer homogen polarisierten Kugel   Z 1 φ(~r) = −P~ · gradr k0 dV 0  , 0 ~ |~r − r | V

welches stark dem Dipolpotential ¨ahnelt. 1.12.6

Elektrostatische Energie und Kraft in Dielektrika

• Aus Abs.1.10 ist bekannt, dass bei Dipolproblemen W = Wρ + WP gilt. Auf Polarisationsdichten umgeschrieben, liefert diese Beziehung   Z Z Z 1 1 2 ~ (~r) dV + P~ (~r) · E(~ ~ r) dV  = ~ r) · E(~ ~ r) dV = W ε0 E D(~ 2 2 V∞

V∞

V∞

15

• In linearen Medien gilt: ~ r) P~ (~r) = ε0 χ(~r)E(~ Z ε0 ~ 2 (~r) dV ⇒ W (~r) = ε(~r) E 2 V Z∞ 1 φ(~r) ρext (~r) dV = 2 V∞

• Folgende Beziehung zeigt, dass die Energie im Dielektrikum kleiner ist als im Vakuum. Des Weiteren entspricht diese Differenz der WW-Energie zwischen Dielektrikum und Feld. Z 1 ~ V (~r) dV WV − WD = P~ (~r) · E 2 V∞

• Kraftdichte: ~ r ) − ε0 E ~ 2 (~r) grad ε(~r) f~(~r) = ρext (~r) E(~ 2 Der erste Summand ist die Kraft auf die externe Ladungsverteilung, der Zweite die Kraft auf die Polarisationsladungen in einem inhomogenen Dielektrikum. Da f~ ↑↓ grad ε(~r), verdr¨angt Materie mit großem ε Materie mit kleinem ε. • Maxwell’scher Spannungstensor: fi = Tij

−→

1 Tij = Ei Dj − δij Ek Dk 2

=⇒ f~(~r) = div Tˆ(~r) • Somit folgt f¨ur die Kraft auf die Oberfl¨ache eines Volumens Z Z ~ ~ F (~r) = f (~r) dV = Tˆ(~r) df~. V

∂V

• Die Gesamtkraft auf einen endlichen dielektrischen K¨orper ist immer mit Hilfe von Oberfl¨achenkr¨aften ausdr¨uckbar Z ⇒ Fi = Tij ej df. ∂V

16

1.13

Raumladungsfreie kapazitive Probleme

• F¨ur zwei beliebige Leiter gilt: Z ~ r) df~ = Q1 + Q2 = 0 f u¨r Q1 = Q2 , ε0 E(~ ∂V

wobei ∂V beide Leiterfl¨achen komplett einschliet. Weiterhin gilt: Q1 = C11 φ1 + C12 φ2

Q2 = C21 φ1 + C22 φ2

wobei Cii die Eigenkapazit¨at und Cij mit i 6= j die Kapazit¨at der AnordR ~ df~ = 0 folgt: nung beinhaltet. Aus E ) C11 + C12 = 0 ⇒ C11 = C22 = −C12 =: C C21 + C22 = 0 =⇒

C=

Q1 Q1 = . (φ1 − φ2 ) U12

• Weiterhin gilt f¨ur Plattenkondensatoren: C=

Q Q Q F = = = ε0 . −2 U Ed k0 Qr d d

• F¨ur Kugelkondensatoren gilt indes: C=

2

1 R1 · R2 k0 R1 + R2

Magnetostatik

2.1

Der elektrische Strom

• Station¨are Str¨ome (~r¨ = 0): ~ r) me (~r¨ + γ~r˙ ) = −eE(~ ⇒ Ohmsches Gesetz: ~ r) ~jcond (~r) = σ E(~ → Konduktionsstrom 17

• Bewegte Ladungen: ~jconv (~r) = ~r˙ ρext (~r) → Konvektionsstrom • Stromst¨arke:

Z I(~r) =

~j(~r) df~

F

F¨ur d¨unne Leiter vereinfacht sich der Ausdruck zu Z l ~ df~ = U I=σ E mit R = . R σF F

2.2

Die Kontinuit¨ atsgleichung

Experimentell kann das Gesetz der Ladungserhaltung Q˙ + I = 0 innerhalb eines geschlossenen Volumens abgeleitet werden. Dieser Ausdruck umgeschrieben Z Z ∂ ρ(~r, t) dV + ∂V )~j(~r, t) df~ = 0 ∂t V

(

und darauf den Gauß’schen Satz angewandt, ergibt die gew¨unschte Kontinuit¨atsgleichung ∂ρ ⇒ (~r, t) + div ~j(~r, t). ∂t Diese stellt den Zusammenhang zwischen dem Strom und bewegten Ladungen dar. F¨ur die Magnetostatik gilt ferner ρ˙ = 0, wodurch die wichtige Beziehung div ~j = 0 folgt. F¨ur den Zusammenhang zwischen Strom und externen Ladungen gelten folgende Beziehungen: a) σ, ε = const.: ρ˙ = 0

=⇒

div ~j = 0

~ = 0. div D

−→

b) σ, ε 6= const.: Da div ~j = 0 gehen die Normalenkomponenten der Stromdichte ~jn stetig u¨ber. Desweiteren gilt: Z Z Z ε(~r) ~ ~ ~ ~ D df = Qext = ε0 j(~r) df = ηext df~. σ(~r) ∂V

∂V

18

∂V

Somit gilt f¨ur geladene Grenzfl¨achen folgende Beziehung:   ε1 ε2 − ε0 jn = ηext . ⇒ σ2 σ1

2.3

Das Magnetfeld sation¨ arer Str¨ ome

Teils experimentell und teils in Analogie zum Coulomb’schen Gesetz der E-Statik l¨asst sich das Ampere’sche Gesetz der Magnetostatik (M-Statik) ableiten   ZZ ~s1 − ~s2 ~ I1 d~s1 × I2 d~s2 × F12 = m0 . |~s1 − ~s2 |3 L1 L2

Dieses beschreibt quantitativ die Kraft zwischen zwei stromdurchfloßenen Leitern (hier: Kraft von Leiter 1 auf Leiter 2). Durch Abstraktion von Leiter 1 zu einer punktuellen Leiterschleife mit geringer Auswirkung l¨asst sich das Biot-Savart’sche Gesetz formulieren Z ~r − ~s ~ . B(~r) = m0 Id~s × |~r − ~s|3 L

Dieses beschreibt das Magnetfeld eines d¨unnen stromdurchfloßenen Leiters. ¨ Aquivalent zum E-Feld gehorcht auch das B-Feld dem Superpositionsprinzip: P ~ i . Erweitert man die Betrachtung von d¨unnen Leitern auf kontinuier~ = B B i

liche Stromverteilungen ~j so erh¨alt man f¨ur die magnetische Induktion # Z " ~0 ~ r − r ~ r) = m0 ~j(r~0 ) × B(~ dV 0 . 0 3 ~ |~r − r | L

F¨ur allgemeine magnetische Kraft (Lorentzkraft) erh¨alt man dann Z ~ ~ r) dV. F (~r) = ~j(~r) × B(~

2.4

Die Maxwellgleichungen der Magnetostatik

~ r) b(~r)) umformen in Das Biot-Savart’sches Gesetz l¨asst sich mittels rot(A(~ ~ r) = m0 rotr B(~

Z

19

~j(r~0 ) dV 0 , 0 ~ |~r − r |

woraus die lokalen Formulierungen der MWGl der M-Statik folgen ~ r) = 0 ⇒ div B(~

~ r) = µ0 ~j(~r). rot B(~

Mittels Stokes und Gaußfolgen die integralen Formulierungen Z Z Z ~ ~ ~ B(~r) df = 0 B(~r) d~r = µ0 ~j(~r) df~ = µ0 IF ∂V

2.5

F

∂F

Das Vektorpotential

Die Umformung in Abs. 2.4 suggeriert einen L¨osungsansatz der MWGl, nmlich ~ = rot A, ~ B ~ als Vektorpotential bezeichnet wird. Unterstrichen wird die Anwendwobei A ~ = div rot A ~ = 0. barkeit des Ansatzes durch die mathematische Beziehung div B ~ = µ0 ~j liefert ferner Die Beziehung rot B ~ = grad div A ~ −∆A ~ = µ0 ~j.(∗) rot rot A | {z } (I)

Um diese partiellen Differentialgleichungen zu entkoppeln, muss nach einer passenden Eichtransformation f¨ur das Vektorpotential gesucht werden. Da rotgradf (~r) = 0 bietet sich ~ r) = A ~ 0 (~r) + grad f (~r) A(~ ~ = rotA ~ 0 gilt. an, damit rotA Damit die Gleichung (∗) auf ein bekanntes Problem, n¨amlich die PoissonGleichung, r¨uckgef¨uhrt werden kann, w¨ahlt man weiterhin die Coulomb-Eichung ~ r) =! 0, div A(~ | {z } (II)

woraus folgt ~ r) = div A ~ 0 (~r) + div grad f (~r) div A(~

=⇒

~ 0 (~r) = −∆f (~r). div A

Mit (I) und (II) folgt somit die gew¨unschte Poissongleichung ~ r) = −µ0 ~j(~r). ∆A(~ 20

In Analogie zu vorhergehenden L¨osungsverfahren aus der E-Statik hat man als allgemeine L¨osung f¨ur endliche Stromverteilungen ~j und mit nat¨urlichen Randbedingungen: ~ r) = A(~

Z G0

(~r, r~0 )

~j(~r) dV = m0 0

Z V

V

~j(r~0 ) dV 0 , 0 ~ |~r − r |

mit der Forderung an die Green’sche Funktion ∆G0 (~r, r~0 ) = −µ0 δ(~r − r~0 ). Analog gilt fr die Multipolentwicklung des Vektorpotentials: Ai (~r) ≈ m0

∞ X j~ri

r2 ...~ rl 1~

l=0

l! r2l+1

xr1 · xr2 . . . xrl

mit dem vektoriellen Multipoltensor Z 4π ∂ (l) G0 (r~0 ) i l j~r1~r2 ...~rl := (−1) ji (r~0 ) r02l+1 dV 0 . 0 0 0 ~ ~ ~ µ0 ∂ r 1∂ r 2 . . . ∂ r l V

Teilentwicklungen: • l = 0: Monopolterm j0i

Z

ji (r~0 ) dV 0

=

Mit ~j = (~j grad)~r l¨asst sich u¨ber einige Umformungen zeigen j0i = 0. Es gibt also laut der klassischen E-Dynamik keine magnetischen Monopole. • l = 1: Dipolterm i j1l

⇒

Z

ji (r~0 ) x0l dV 0

Z

~j(r~0 ) · (~r · r~0 ) dV 0 + . . .

=

~ r ) ≈ m0 A(~ r3

V

Umformungen liefern das magnetische Dipolpotential ~ × ~r ~ D (~r) = 1 m A 4π r3 mit dem magnetischen Dipolmoment Z µ0 m ~ = r~0 × ~j(r~0 ) dV 0 . 2 V

21

F¨ur den speziellen Fall eines Kreisstroms in d¨unnen Dr¨ahten gilt: ~j(r~0 )dV 0 → I ds0

=⇒

m ~ = µ0 I F~ .

F¨ur das Dipolfeld ergibt sich dann (analog zur E-Statik)   m ~ × ~ r 1 ~ r) = rot A(~ ~ r) = rot B(~ 4π r3 ~ −m ~ r2 ~ r) = 1 3~r(~r · m) B(~ 4π r5

2.6 2.6.1

Das Magnetfeld in Materie Magnetisierung

• Einf¨uhrung einer molekularen Dipoldichte: ~ mol (~r) = M

X

m ~ i δ(~r − ~ri )

i

• Zur effektiven lokalen Betrachtung atomarer Str¨ome (molekularer Dipole) Einf¨uhrung einer Magnetisierung: Z 1 ~ ~ mol (~r + ~r¯) dV¯ M (~r) = M ∆V ∆V

• Analog zur E-Statik Definierung eines gemittelten Vektorpotentials: D

Z Z E ~0 1 1 ~ mol (~r + ~r¯) dV¯ = ~ (r~0 ) × ~r − r dV 0 ~ mol (~r) = A M A ∆V 4π |~r − r~0 |3 ∆V

V

D E ~ mol (~r) und Vergleich mit Vektorpotential einer • Umformen von A Stromverteilung liefert: ~ (~r) = µ0 ~jmol (~r) rot M → Die Wirbel des Magnetisierungsfeldes sind die molekularen Str¨ome.

22

2.6.2

Die Maxwellgleichungen der M-Statik in Materie

Bisher: ~jges (~r) = ~jmakr (~r) Jetzt: ~jges (~r) = ~jmakr (~r) + ~jmol (~r) ~ = µ0~jges folgt: Mit rotB h i ~ r) − M ~ (~r) = µ0 ~jmakr (~r) rot B(~ Dies suggeriert eine Einf¨uhrung eines Magnetfeldes in Materie   ~ r) := 1 B(~ ~ r) − M ~ (~r) . H(~ µ0 Somit k¨onnen die urspr¨unglichen MWGl umgeschrieben werden in ~ r) = ~jmakr (~r) rot H(~

~ r) = 0. div B(~

Die Wirbel des H-Feldes sind also makroskopische Str¨ome. Da magnetische Monopole ausgeschlossen sind, muss das B-Feld weiterhin quellenfrei sein, dadurch m¨ussen die Quellen des H-Feldes durch die Senken des M-Feldes bestimmt sein ~ r) = −div M ~ (~r). µ0 div H(~ 2.6.3

Die Materialgleichungen

~ und B ~ a) Linearer Zusammenhang zwischen M ⇒

~ = M

χm 1 + χm

=⇒

1 ~ = 1 ~ H B m u0 1 + χm

Mit µ := 1 + χm folgt: ~ r) = 1 B(~ ~ r) H(~ µ0 µ ~ und B ~ b) Nicht-linearer Zusammenhang zwischen M 2.6.4

→ Ferromagnetismus

¨ Ubergangsbedingungen der magnetostatischen Felder

~ = 0 folgt u¨ber den Nachweis mittels des Gauß’schen K¨astchens, dass Aus div B ~ n (~r) stetig u¨bergehen, die Normalenkomponenten der magnetischen Induktion B 23

dementsprechen unstetig die Normalenkomponenten der magnetischen Feldst¨arke ~ n (~r). H ~ = ~jmakr folgt wieder u¨ber den Nachweis mittels der Stoke’schen Aus rot H Fl¨ache, dass die Tangentialkomponenten der magnetischen Feldst¨arke unstetig u¨bergehen ~2−H ~ 1 = [~jmakr ]OF . H t t Da in den meisten F¨allen jedoch keine Oberfl¨achenstr¨ome existieren, kann man ¨ doch von einem stetigen Ubergang ausgehen. 2.6.5

Stromfreie Probleme bei vorgegebener Magnetisierung

~ sei vorgegeben. Aus ~jmakr = 0 folgt ~jges = ~jmol und Die Magnetisierung M ~ =0 rot H

~ = rot M ~. rot B

=⇒

Die eingerahmte Relation suggeriert die Annahme eines skalaren Potentials mit einem dazugeh¨origen Gradientenfeld. a) Formale Einf¨uhrung einer magnetischen Ladungsdichte Z

~ r) = −div M ~ (~r) =: ρm (~r) div H(~

=⇒ Qm = −

~ (~r) df~ M

Somit scheint die Einf¨uhrung eines skalaren magnetostatischen Potentials logisch. ~ ~ =0 ⇒ H ~ = −grad φm ⇒ ∆φm = − ρm = div M rot H µ0 µ0 Z ~ (r~0 ) 1 divr0 M dV 0 =⇒ φm (~r) = − 0 ~ 4πµ0 |~r − r | V

Eine Umformung dieser Gleichung in eine grad-Darstellung und eine TaylorN¨aherung f¨ur große ~r liefern: Z 1 1 ~ · ~r ~ (r~0 ) dV 0 = 1 m φm (~r) = − grad M 4πµ0 r 4πµ0 r3 V

mit m ~ :=

R

~ (r~0 ) dV 0 . M

V

24

b) Homogene Magnetisierung im endlichen Volumen (Analogie zur Polarisation in der E-Statik)

⇒

~ ρm = −div M ↔ ρpol = −div P~   Z Z ~ (r~0 ) ~ (r~0 ) 1  divr0 M ~en · M dV 0 − df 0  φm (~r) = − 0 0 ~ ~ 4πµ0 |~r − r | |~r − r | V

∂V

Das magnetische Potential entsteht somit aus einer Volumen- und einer Oberfl¨achenmagnetisierung. Ersteres entf¨allt bei quellenfreien Magnetisierungen.

2.7

Energie des magnetostatischen Feldes oder einer station¨ aren Stromverteilung

~ =B ~ • Annahme: linieare Beziehung zwischen B- und H-Feld: µ0 µH • Feldenergie (starre Str¨ome): Z

1 W = 2

~ r) H(~ ~ r) dV B(~

V∞

• Umformung ⇒ Energie in den Str¨omen und dem Vektorpotential Z 1 ~ r) ~jmakr (~r) dV A(~ W = 2 Vi

• Energie in den Str¨omen µ0 µ W = 8π

Z Z ~ jmakr (r~0 ) · ~jmakr (~r) dV dV 0 0 ~ |~r − r |

Vj Vj

• Spezialfall: d¨unne Leiter im Vakuum ~jmakr (~r) dV −→

X

Ii dsi

i

1X =⇒ W = Lik Ii Ik 2 i,k

I I mit Lik = m0 (Fi ) (Fk )

25

d~sk d~si = Lki |~si − ~sk |

→ Induktionskoeffizient → Andere Darstellung u¨ber magnetischen Fluss Z X 1 ~ r) ~jmakr (~r) dV = 1 W = A(~ Ik Φk 2 2 k Vi

I

~ ks) ◦ d~sk = Φk = A(~

=⇒

Z

~ r) df~k B(~

Fk

(Fk )

→ magnetischer Fluss Vgl.: W =

P 1 2

!

Ik Φk =

k

P 1 2

Ik Ii Lik

i,k

=⇒ Φk =

X

Ii Lik

i

Der Fluss durch die Leiterschleife k ist also durch alle Str¨ome bestimmt und wird durch die Induktionskoeffizienten vermittelt.

2.8

Kraft auf eng begrenzte Stromverteilung im externen B-Feld

~ ext = 0 da ~jext = 0 (Quellen m¨ussen nicht • Externes B-Feld → rot B bekannt sein) ~ ext (~r + r~0 ) • Herleitung aus: f~(~r + r~0 ) = ~j(~r + r~0 ) × B ~ ~ ~0 ~ ext (~r + r~0 ) ~ ext (~r + r~0 ) → Bext (~r + r ) − Bext (~r) = gradr0 B B r~0 1 ~ ext (~r) = 1 gradr (m =⇒ F~ (~r) = (m ~ r · gradr )B ~ r · vecBext (~r)) µ0 µ0 ~ ext = 0 ⇒ Energie: da rot B W =−

1 ~ ext (~r) m ~r·B µ0

⇒ Drehmoment:

mit

m ~r =

µ0 2

~r = 1 m ~ ext (~r) M ~r×B µ0 R r~0 × ~j(~r + r~0 ) dV 0

V

26

• Der magnetische Spannungstensor magn fi = Tik,k

magn Tik,k = (Bi Hk ) − δik wmagn

mit

mit w als magnetische Energiedichte. ⇒ f~(~r) = div Tˆmagn (~r)

3

Elektrodynamik

langsam

ver¨ anderlicher

Felder 3.1

Das Faraday’sche Gesetz

∂ ~˙ • Voraussetzung: Langsame Felder, d.h. | ∂t D|  ~j

ωε0 ε 1 σ → keine Abstrahlung von Feldern → Felder bewegen sich mit Quellen → kleine Frequenzen, große Leitf¨ahigkeit ~ = • rot E 6 0 • Experimentelle Befunde zeigen, dass ein zeitlich ver¨anderliches B-Feld EFeld-Wirbel induziiert. Wird ein geschlossener Leiter in einem B-Feld bewegt (!), wird eine Spannung induziert und es fließt ein sogenannter Induk¨ tionsstrom. Die Ursache dieses Stromes ist die Anderung des magnetischen Flusses Z ~ r, t) df~. Φ = B(~ F

• Es gilt die Lenz’sche Regel (Der Induktionsstrom wirkt seiner Ursache immer entgegen!) • Faraday’sches Induktionsgesetz: Iind ∼ −

d Φ dt

⇒ 27

Uind = −

d Φ dt

I

~ r, t) d~r = − d E(~ dt

⇒ Uind =

Φi =

P

Lik Ik

Uiind = − dtd Φi = − dtd

⇒

k

Uiind = −

a) Feste Geometrie:

P k

b) Konstante Str¨ome:

~ r, t) df~ B(~

F

(F )

• Schreibweisen:

Z

Uiind = −

P k

∂ Aus a) folgt auch: − ∂t Φ=−

R F

∂ ~ B(~r, t) ∂t

P

Lik Ik

k

∂ Lik ∂t Ik ∂ Ik ∂t Lik

· df~

~ r, t) = − ∂ B(~ ~ r, t) =⇒ rot E(~ ∂t ~ +B ~˙ = 0) gilt streng genommen (Vgl. Diese homogene MWGl (rotE Herleitung) nur f¨ur feste Leiter. Da der Begriff “fester Leiter“ jedoch nur ein relativer ist, setzt sich diese Gleichung als allgemein g¨ultige MWGl der E-Dynamik durch. Aus b) folgt: h i ~ r, t) − ~v × B(~ ~ r, t) = − ∂ B(~ ~ r, t) rot E(~ ∂t Diese Version der MWGl ist die eigentliche Formulierung des Induktionsgesetzes bei bewegten oder deformierten Leitern. Da dies, wie oben erw¨ahnt, nur eine Frage des Bezugspunktes ist, l¨asst sich diese Gleichung mittels einer Transformation in den obigen Ausdruck u¨berf¨uhren ~ r, t) = E(~ ~ˆ r, t) + ~v × B(~ ~ r, t), E(~ ~ˆ r, t) das E-Feld im ruhenden System ist. wobei E(~

3.2

Die Potentialgleichungen

~ +B ~˙ = 0 und B ~ = rotA ~ folgt: • Aus rotE ~ = −grad φ(~r, t) ~+ ∂A E ∂t 28

| rot[. . .] = 0

~ r, t) = − ∂ A(~ ~ r, t) + grad φ(~r, t) E(~ ∂t ~ r, t) = rot A(~ ~ r, t) B(~

• Einsetzen in die beiden anderen MWGl liefert: ~˙ r, t) − ε0 ∆φ(~r, t) = ρ(ext) (~r, t) −ε0 div A(~ ~ r, t) = µ0~j(~r, t) rot rot A(~

~ r, t) =! 0 → Coulomb-Eichung: div A(~ =⇒ −ε0 ∆φ(~r, t) = ρ(~r, t)   1 ∂2 ~ 1 ∆ − 2 2 A(~r, t) = ~j(~r, t) − µ0 c ∂t • L¨osung bei nat¨urlichen Randbedingungen: Z Z 1 0 0 ~ φ(~r, t) = k0 dV ρ(r , t) = dV 0 ρ(r~0 , t) Ge0 (~r, r~0 ) |~r − r~0 | V V Z Z 1 0 ~ ~0 ~ A(~r, t) = m0 dV j(r , t) = dV 0 ~j(r~0 , t) Gm r, r~0 ) 0 (~ |~r − r~0 | V

3.3

V

Grundelemente der Wechselstromtechnik

Anwendung der MWGl in Medien und des Ohm’schen Gesetzes 3.3.1

Die Kirchhoff ’schen Regeln

a) Stromregel ~ r, t) = ~j(~r, t) folgt div~j = 0 • Da rotH(~ I XI X ~ ~ ~ji · df~ = ⇒ j · df =⇒ Ii = 0 i

∂V

Fi

i

→ Knotensatz 29

 < 0 f u¨r ~j  df~ k k • Ik = > 0 f u¨r ~jk  df~k b) Spannungsregel ~ d~r − U ind = 0 E k

R

• Aus dem Induktionsgesetz folgt:

Ck

Induktionsspannung und die Spannung im k-ten Leiterkreis heben sich auf. Z R ~ ~ d~r −U ind = 0 • Auftrennung des Leiterkreises: ⇒ E d~r + E k Ck0

Ck00

| {z } Externe Spannung Ukext Z

~ d~r + E

⇒

X

Lik

i

Ck0

∂ Ii = Ukext ∂t

→ Maschensatz Diese Gleichung gilt streng genommen (Vgl. Herleitung) nur f¨ur feste Leitergeometrie. Doch im Sinne des Relativismus l¨asst sich sicher ein ¨aquivalentes Gesetz f¨ur deformierbare Leitersysteme herleiten.

3.4

Elektrische Schwingkreise

• Ohm’sches Gesetz: Z Z ~ Z j d~r l ~ UR (t) = E(~r, t) d~r = d~r = I =I =I ·R σ σF σF CR

CR

CR

• Diffentialgleichung f¨ur den Schwingkreis: L

∂ 2I ∂I I ∂Uext +R + = 2 ∂t ∂t C ∂t

a) Freie Schwingung → Uext = 0 Ansatz: t

I(t) = e− τ a · eiΩt + b · e−iΩt 30




b) Erzwungene Schwingung → Uext =