1 Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés

Angles orientés et trigonométrie Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :             

Exercice 1 : conversion d’un angle en degrés ou en radians Exercice 2 : cercle trigonométrique et repérage de points Exercice 3 : calculs de mesures d’angles orientés Exercice 4 : formule trigonométrique fondamentale Exercice 5 : mesure principale d’un angle orienté Exercice 6 : programmation (programme de calcul donnant la mesure principale d’un angle orienté) Exercice 7 : application de formules trigonométriques Exercice 8 : résolutions d’équations trigonométriques dans l’ensemble des réels Exercice 9 : résolution d’équation trigonométrique dans l’ensemble des réels puis dans un intervalle des réels Exercice 10 : calcul du cosinus et du sinus d’un angle Exercice 11 : formules d’addition Exercice 12 : angles orientés et ensembles de points Exercice 13 : résolution d’une inéquation trigonométrique

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Exercice 1 (2 questions)

Niveau : facile

1- Donner la mesure en radians de chaque angle suivant :

2- Donner la mesure en degrés de chaque angle suivant :

Correction de l’exercice 1

Point méthode : Conversion radians/degrés Pour convertir les radians en degrés (et vice versa), on utilise un tableau de proportionnalité, en considérant qu’un même angle mesure ou .

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

1- Donnons la mesure en radians de chaque angle.

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

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2

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

2- Donnons la mesure en degrés de chaque angle.

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

(

)

(

)

Mesure en degrés ( ) Mesure en radians ( )

Exercice 2 (2 questions)

Niveau : facile

Construire un cercle trigonométrique et placer les points images des nombres réels suivants :

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Correction de l’exercice 2

Rappel : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1 et muni d’un sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).

Point méthode : Comment placer un point image sur un cercle trigonométrique ? Tout d’abord, il faut bien comprendre que les points associés à et sont confondus. En effet, cela revient à effectuer tours complets (un tour représentant un chemin de longueur radians) supplémentaires sur le cercle, dans le sens direct ou dans le sens direct. Pour placer par exemple le point image du nombre tours complets depuis le point image du nombre , c’est-à-dire

, on commence par parcourir

, c’est-à-dire 502

(ci-dessous en rouge). Il reste donc ensuite à parcourir

(soit trois quarts de tours dans le sens direct). On a donc : ⏟

A partir du point image du nombre , on parcourt un chemin de longueur Nombre

dans le sens direct ou indirect.

Chemin parcouru Aucun chemin parcouru ; point immobile Un tour de cercle complet dans le sens direct Un demi-tour de cercle dans le sens direct Un demi-tour de cercle dans le sens indirect (sens des aiguilles d’une montre) Un quart de tour de cercle dans le sens direct Un huitième de tour de cercle dans le sens direct Un sixième de tour de cercle dans le sens indirect 502 tours dans le sens direct et 3 quarts de tour dans le sens direct

Construisons un cercle trigonométrique et plaçons les points images des nombres réels suivants :

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Exercice 3 (1 question)

Niveau : moyen

de centre tel que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

Soit un carré

. Déterminer une mesure de chacun des angles orientés

suivants : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ), (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).

Correction de l’exercice 3

de centre tel que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

Soit un carré

𝐷

. Commençons

𝐶

et l’angle droit direct

par représenter ci-contre le carré (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

𝐼

Remarque préliminaire : est un carré de centre tel que (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) Donc (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

En outre, (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

.

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

𝜋

𝜋

.

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

𝐴

.

𝐵

Rappel : Mesures d’angles orientés de deux vecteurs non nuls Soient ⃗ ,

et ⃗⃗ des vecteurs non nuls et soit l’angle

orienté ⃗ 

.

⃗



⃗⃗ ⃗



⃗ ⃗

 

⃗⃗⃗ 𝒘

⃗ ⃗

⃗

⃗ 𝒗 ⃗ 𝒖

⃗ ⃗⃗ (relation de Chasles) (angles égaux)

𝑢 ⃗ 𝑣

(angles opposés)

⃗

(angles supplémentaires)

⃗

(angles supplémentaires)

Déterminons désormais une mesure de chacun des angles proposés. 

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

Les angles (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) sont opposés donc (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) Donc (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). Or, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

.

.

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

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

D’après la relation de Chasles, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

= .

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

est le centre de 

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

donc est le milieu de

. Autrement dit, ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ . Ainsi, (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

Or, les angles (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) et (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) sont supplémentaires donc (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

. Ainsi, on obtient :

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

Comme la demi-droite

est une bissectrice de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ), on a (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

, d’où :

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ). est un carré donc ⃗⃗⃗⃗⃗

Ainsi, (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) 

.

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ).

D’après ce qui précède, par égalité des vecteurs ⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗ , (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )



(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗ .

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ )

Déterminons une mesure de l’angle (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

( ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

Résumons les résultats obtenus ci-dessus : (⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ) (⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

(⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ )

Exercice 4 (1 question)

Montrer que, pour tout

Niveau : facile

,

.

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Correction de l’exercice 4

Pour tout

,

Par conséquent, comme

, pour tout

,

.

Exercice 5 (1 question)

Niveau : facile

Donner la mesure principale de chacun des angles suivants :

Correction de l’exercice 5 Rappel : Mesure principale d’un angle orienté Si

est une mesure en radians d’un angle orienté ⃗ ⃗

, toutes les mesures de cet angle sont de la forme : ⃗

ou bien

Parmi toutes les mesures d’un angle orienté ⃗

, une et une seule appartient à l’intervalle ]–

mesure s’appelle la MESURE PRINCIPALE de l’angle ⃗

]. Cette

.

Point méthode : Comment déterminer la mesure principale d’un angle orienté ? Pour déterminer la mesure principale en radians d’un angle orienté ⃗ forme ⃗ ]–

de telle sorte que

]–

, il convient d’écrire ⃗

] (ou bien ⃗

sous la avec

]).

Donnons la mesure principale respective des angles , ,

et .

1-

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Or

Donc est la mesure principale de l’angle

.

2-

Or

Donc est la mesure principale de l’angle

.

est la mesure principale de l’angle

.

3-

Or

Donc

4-

Or

Donc est la mesure principale de l’angle

.

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Exercice 6 (1 question)

Soit

Niveau : moyen

un angle dont la mesure en radians est de la forme

avec

et

. Ecrire un programme

avec

et

. Déterminer la mesure

permettant de préciser la mesure principale de l’angle .

Correction de l’exercice 6

Soit

un angle dont la mesure en radians est de la forme

principale de l’angle

revient à déterminer les entiers

et

(non nul) tels que :

{

Calculatrices CASIO G20 ou plus Programme MESPRINC

Calculatrices TEXAS TI 80

Programme MESPRINC

Calculatrices TEXAS TI 82 ou plus Programme MESPRINC

Remarques :  

est supposé entier naturel non nul. A l’aide de ces programmes, on peut vérifier les résultats obtenus à l’exercice précédent.

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Exercice 7 (1 question)

Montrer que

Niveau : facile

est un entier naturel.

Correction de l’exercice 7

Remarque : Au lieu de se lancer dans d’interminables calculs de développement, il convient de bien observer l’écriture de et de remarquer qu’il est possible d’en organiser les termes par couple. En effet, (

)

(

(

)

(

(

)

(

) ) )

Ainsi,

Or, pour tout

réel, on a : (

)

Donc ( (

) )

( (

)

)

( (

)

)

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donc

est un entier naturel.

Rappel : Angles associés (

)

(

)

(

)

(

)

Exercice 8 (1 question)

Résoudre dans

Niveau : facile

les équations suivantes : √

(

)

Correction de l’exercice 8

Rappel : Résolution d’équation trigonométrique {



Résolvons dans

Pour tout

l’équation :

, ( )

L’ensemble

des solutions de l’équation est donc : {

}

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

Résolvons dans

l’équation : √

Pour tout

, √

(

) {

{

{

{

L’ensemble

des solutions de l’équation est donc : {



Résolvons dans

}

l’équation : (

Pour tout

(

)

,

) {

{ L’ensemble

{

{ des solutions de l’équation est donc : {

}

Exercice 9 (2 questions) Résoudre dans

puis dans

Niveau : moyen l’équation suivante : ( )

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Correction de l’exercice 9 

Résolvons dans

l’équation

suivante :

Pour tout réel 𝑋, ( )

Pour tout

𝑋

(𝑋

𝜋

)

réel,

( )

(

)

( )

{

{

{ {

{



Déterminons désormais les solutions de l’équation

D’après ce qui précède, les solutions

de l’équation {

Si

:

Si

:

Si

dans

dans

.

sont : }

:

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Pour toutes les autres valeurs de ,

donc les solutions {

de l’équation

dans

sont :

}

Exercice 10 (1 question)

Niveau : facile

Calculer le sinus et le cosinus de l’angle

sachant que

.

Correction de l’exercice 10

Pour tout

réel,

Or, pour tout

réel,

D’où, pour tout

réel, (

)

Il s’ensuit que :

, alors {

En définitive, si

.

Exercice 11 (1 question)

Niveau : moyen

Calculer le sinus et le cosinus de

.

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Correction de l’exercice 11

Rappel : Formules d’addition et de différence

En appliquant la formule d’addition (

)

(

√ (√

)

, on obtient :

(

)

( )

( )

( )

√

√

)

En appliquant la formule d’addition (

√

( )

)

(

√ (√

)

, on obtient :

(

)

( )

( )

( )

( )

√

√

√

)

Vérification : Il est possible (et même fortement conseillé) de vérifier les résultats précédents en utilisant l’égalité trigonométrique fondamentale . (

)

(

√ (√ (

) √

)

(

√ (√

√ (√ )

(

)

) √

√ (√ (

)

(√ )

) (

)

(√ √ )

√ (√

) )

(

(√

√ )

)

√

√

Exercice 12 (1 question)

Soient

et

√ (√

)

(√

)

)

√

Niveau : moyen

deux points distincts du plan. Dans chacun des 3 cas, préciser l’ensemble des points

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

√

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

tels que :

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

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Correction de l’exercice 12



tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

Précisons l’ensemble des points

L’angle orienté (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est nul donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et de même sens. Autrement dit, les points , et sont alignés dans cet ordre ou les points , et sont alignés dans cet ordre. L’ensemble des points

tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

peut appartenir au segment (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

𝑀



est la droite

privée du segment . En effet, ne car, sinon, on aurait les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ de sens contraire. Autrement dit, Représentons ci-dessous cet ensemble en vert.

𝐴

𝐵

𝑀

tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

Précisons l’ensemble des points

L’angle orienté (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est un angle plat direct donc les vecteurs ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont colinéaires et de sens contraire. Autrement dit, les points , et sont alignés dans cet ordre. tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) est l’ensemble des points appartenant au segment et . Autrement dit, (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) . Représentons ci-dessous cet ensemble en

L’ensemble des points privé des points vert.

𝐴



𝑀

Représentons l’ensemble des points

L’ensemble des points l’ensemble des points diamètre

privé de

𝐵

tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

tels que (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

est

𝑀

appartenant au demi-cercle de

𝜋

et , représenté ci-contre en vert. 𝐴

Remarque : De manière générale, l’ensemble des points de cercle de diamètre privé des extrémités et .

tels (⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )

𝐵

avec

est un arc

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Exercice 13 (1 question)

Résoudre dans [

Niveau : difficile

] l’inéquation suivante :

Correction de l’exercice 13

Résolvons dans [

] l’inéquation suivante :

Rappel : Formules de duplication

Pour tout réel ,

Etudions désormais le signe de que, pour tout réel , . En posant

, donc

. Pour cela, posons . L’expression

. Remarquons par ailleurs devient

le discriminant de ce trinôme du second degré d’inconnue ,

donc le trinôme

admet deux racines réelles distinctes : √

√

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En outre, comme Enfin, comme

, le trinôme et

est factorisable et , on obtient que :

.

(

)

D’où, pour tout réel ,

[

Or, dans [

(

)]

(

)

], on a :

D’où le tableau de signes suivant :

Remarques : 

(

)

Lors de l’étude du produit , il ne faut pas oublier le facteur erronés. En notant l’ensemble des solutions de l’inéquation 

[

[

]

, faute de quoi les signes seraient dans [

],

[

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