10 Loi binomiale

10 Loi binomiale 10.1 Loi de Bernoulli Définition : • Pour une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une S appelée « succès » de probabilité p et l’autre S appelée « échec » de probabilité q = 1 − p, la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli. • La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p : X = xi pi = P (X = xi )

0 1−p

1 p

Théorème : Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p p, alors son espérance mathématique est égale à p : E(X) = p et V (X) = p(1 − p), d’où σ(X) = p(1 − p). Preuve : E(X) =

i=2 X

xi pi = 0 × (1 − p) + 1 × p = p et V (X) =

i=1

Ç i=2 X i=1

x2i

å

− E 2 (X) = p − p2 = p(1 − p). 

10.2 Loi binomiale Définition : • L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n,p). Exemples : • Dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère le tirage d’une boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience en réintroduisant dans l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès,Åc’est-à-dire ã 3 3 le nombre de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de paramètres n = 6 et p = : B 6, . 5 5 • La variable aléatoire X qui compte le nombre de «Å pile ã » obtenus lors de 20 lancers successifs d’une 1 pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale B 20, . 2 Cas simples : n = 2 ou n = 3 Pour n = 2 ou n = 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de paramètres n et p : p p

S

P (X = 2) = P (SS) = p2

S q

p

q

S S

P (X = 1) = P (SS) + P (SS) = 2pq P (X = 0) = P (S S) = q 2

S q

S

On vérifie que : P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p2 + 2pq + q 2 = (p + q)2 = 1.

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10. Loi binomiale

p p

S

S q

p

q

S S

S q

S

p

S

q p

S

q p

S

q p

S

q

S

S

prog 2010

P (X = 3) = P (SSS) = p3 P (X = 2) = P (SSS) + P (SSS) + P (SSS) = 3p2 q

S

S

P (X = 1) = P (SS S) + P (SSS) + P (S SS) = 3pq 2 P (X = 0) = P (S S S) = q 3

On peut vérifier que : P (X = 3) + P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p3 + 3p2 q + 3pq 2 + q 3 = (p + q)3 = 1

10.3 Coefficients binomiaux Lorsque n est supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir k succès sur n expériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues composées de k succès et n−k échecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces issues a la même probabilité pk q n−k . Définition : Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n (0 6 k 6 n). Le nombre de chemins réalisant k succès lors de n répétitions dans l’arbre d’un schéma de Bernoulli est Ç å n appelé coefficient binomial de k parmi n et noté . k Ç å Ç å Ç å 2 2 2 Exemples : • Pour n = 2 dans l’arbre ci-dessus = 1; = 2 et = 1. 2 1 0 Ç å Ç å Ç å Ç å 3 3 3 3 • Pour n = 3 dans l’arbre ci-dessus = 1; = 3; = 3 et = 1. 3 2 1 0 Calcul des Ç coefficients binomiaux å Ç å : On utilise Ç åune calculatrice (ou un tableur) pour calculer un coefficient 10 10 10 binomial : = 120 ; = 252 ; = 120. 7 5 3 Théorème : Si la variable aléatoire X suit Ç une å loi binomiale de paramètres n et p, B(n,p), alors pour n k tout entier k, 0 6 k 6 n : P (X = k) = p (1 − p)n−k . k

Preuve : L’événement « X = k » comporte

Änä

issues puisqu’il y a

Änä

chemins réalisant k succès et n − k échecs. Les k Änä issues ayant toutes la même probabilité pk q n−k , on obtient bien le résultat P (X = k) = pk q n−k avec q = 1 − p.  k Änä Pour aller plus loin : calcul de k Änä Le coefficient binomial est aussi le nombre de façon de choisir k objets parmi n, sans tenir compte de l’ordre. k Pour choisir le premier objet il y n possibilité, puis (n − 1) pour le deuxième, et ainsi de suite avec (n − k + 1) pour le k ème objet : on a donc n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × (n − k + 1) possibilités pour choisir k parmi n ; par exemple pour choisir 3 objets parmi 7 on aura 7 × 6 × 5 = 210 possibilités, cependant chaque triplet revient plusieurs fois : (1,2,3) ; (1,3,2) ; (2,1,3) ; (2,3,1) ; (3,1,2) et (3,2,1) or il y a bien six façons d’ordonner les trois objets de chaque triplet, car 3 × 2 × 1 = 6 ; 210 = 35 triplets tous différents si on ne tient pas compte de l’ordre. ainsi il n’y aura en réalité que 6 k

De même il y a k × (k − 1) × . . . × 2 × 1 façons d’ordonner une collection de k objet et par suite si on ne tient pas compte Änä n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × (n − k + 1) façons de choisir k objets parmi n sans tenir compte de de l’ordre il y = k × (k − 1) × . . . × 2 × 1 k l’ordre.  Remarque : n × (n − 1) × (n − 2) × . . . × 2 × 1 s’écrit aussi n! (on dit « factorielle n » ou « factorielle de n » ou bien encore

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« n factorielle » pour n!) et k × (k − 1) × . . . × 2 × 1 = k! (« factorielle k »), alors :

Änä k

par exemple :

Ä7ä 3

=

=

n! (n − k)! × k!

7! 7×6×5×4×3×2×1 7×6×5 = = = 7 × 5 = 35. 4! × 3! (4 × 3 × 2 × 1) × (3 × 2 × 1) 6

Exemple : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale. Sa loi de probabilité est donnée par : Ç å Å ãk Å ãn−k 2 6 3 × , pour 0 6 k 6 n P (X = k) = × 5 5 k alors : P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = P (X = 4) = P (X = 5) = P (X = 6) =

6 0
6 1 6
2 6
3 6
4
6 5
6 6




×


3 0 5

×


2 6 5 5

= 1 × 0,46 ≈ 0,0041,

× 0,6 × 0,4 ≈ 6 × 0,0061 ≈ 0,0369,

× 0,62 × 0,44 ≈ 15 × 0,0092 ≈ 0,1382,

× 0,63 × 0,43 ≈ 20 × 0,0138 ≈ 0,2765,

× 0,64 × 0,42 ≈ 15 × 0,0207 ≈ 0,3110, × 0,65 × 0,4 ≈ 6 × 0,0311 ≈ 0,1866, × 0,66 ≈ 1 × 0,0467 ≈ 0,0467.

Théorème (admis) : Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, B(n,p), alors son espérance est E(X) = np et sa variance est V (X) = np(1 − p). 3 Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance est E(X) = 6 × = 3,6 et 5 3 2 36 6 sa variance V (X) = 6 × × = = 1,44 (et σ(X) = = 1,2). 5 5 25 5 • Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance du nombre de « pile » (ou « face ») est de √ 1 1 1 E(X) = 20 × = 10 et la variance V (X) = 20 × × = 5 (et σ(X) = 5 ≈ 2,236). 2 2 2

10.4 Propriétés des coefficients binomiaux Ç å Ç å n n Théorème : Pour tout entier n tel que n > 1 : = 1 et =1 0 n

Preuve : Dans l’arbre un seul chemin réalise l’événement « aucun succès » et un seul chemin réalise « n succès ». 

Ç å Ç å n n Théorème : Pour tous entiers n et k tels que n > 1 et 0 6 k 6 n : = k n−k Preuve : Dans l’arbre chaque chemin réalisant k succès comporte n − k échecs. L’arbre étant binaire (succès ou échec) le nombre de chemins réalisant k succès est égal au nombre de chemins réalisant k échecs, c’est-à-dire n − k succès. 

Ç å Ç å Ç å n n n+1 Théorème : Pour tous entiers n et k tels que n > 1 et 0 6 k 6 n − 1 : + = k k+1 k+1

Preuve : Dans l’arbre représentant n + 1 épreuves, on peut distinguer deux sortes de chemins k + 1 succès : – ceux comportant un succès à la première épreuve et k succès lors des n épreuves restantes : il y en a

– ceux comportant un échec à la première épreuve et k + 1 succès lors des n épreuves restantes : il y en a math4bac

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n k

,




n k+1

,

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alors, la somme de ces deux nombres étant égale au nombre total de chemins réalisant k + 1 succès, on a bien :

Än + 1ä k+1

=

Änä k

+

Ä

n ä .  k+1

Application : triangle de Pascal







Pour n = 1 on a 10 = 11 = 1, alors 21 = 10 + 11 = 2, donc pour n = 2 : 20 = 1, 21 = 2 et 22 = 1 ;








de même 31 = 20 + 21 = 3 et 32 = 21 + 22 = 3, donc pour n = 3 : 30 = 1, 31 = 3, 32 = 3 et
3 3 = 1. Ceci peut se résumer dans le tableau suivant, appelé « Triangle de Pascal » : 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 3 1 6 4 1 10 10 5 1 15 20 15 6 1 21 35 35 21 7 1 28 56 70 56 28 8 1 36 84 126 126 84 36 9 1 45 120 210 252 210 120 45 10 1 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1

Remarque : Les coefficients binomiaux permettent d’écrire les identités remarquables (a + b)2 (a + b)3 (a + b)4 (a + b)5 ...

math4bac

= a2 + 2ab + b2 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5

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