12 triangles mystiques - Questions types du bac

Douze triangles isocèles mystiques

- Avant-propos La symbolique du triangle est présente quasiment partout, dans toutes les civilisations, toutes les croyances, tous les mouvements ésotériques et occultes. Dans quasiment tous les cas, il s’agit de triangles isocèles. Mais est-ce toujours les mêmes ? Certains ont une forme plus étirée que d’autres, certains ont des propriétés géométriques particulières. Ce document dresse la liste de ces principaux triangles isocèles et vous aidera ainsi à facilement les distinguer et pouvoir identifier quelle est leur signification ou quelle organisation éventuelle les représente et ainsi ne pas tout mélanger... Nous parlerons également de pentagones et d’hexagones, très présents dans la symbolique mystique, et nous verrons quels liens ils ont avec les triangles, quelle est leur origine et donc à quoi ils correspondent.

1

Généralités sur les triangles isocèles

Tout le monde sait ce qu’est un triangle isocèle : un triangle avec au moins deux côtés de même longueur. Mais tous n’ont pas la même forme : certains sont plus étirés, d’autres plus aplatis.

triangle aplati

triangle étiré

Pour caractériser la forme d’un de ces triangles (à un coefficient de similitude près), une seule grandeur suffit. Mais on a le choix pour cette grandeur. On peut prendre l’angle θ au sommet principal ou encore ce qu’on appelle son format, à savoir le rapport entre deux de ses dimensions. On utilise généralement deux types de formats : • le format intérieur, noté fi qui est le rapport de la hauteur h et de la demi-base fi =

b 2

:

h 2h = b/2 b

• le format extérieur, noté fe qui est le rapport du côté extérieur c et de la demi-base fe =

θ 2

c

:

c 2c = b/2 b

θ 2

c

h

b 2

b 2

b 2

Figure 1 – Les différentes grandeurs en jeu dans un triangle isocèle.

2

12 triangles mystiques Les formules qui relient toutes ces grandeurs sont données ci-dessous. • D’après le théorème de Pythagore :

En divisant la relation (⋆) par

b2 4

c2 = h 2 +

b2 4

(⋆)

: fe2 = fi2 + 1

• D’après les relations métriques dans un triangle rectangle, on a :   θ b = tan 2 2h D’où : θ = 2 arctan

2



b 2h



= 2 arctan



1 fi



Liste des triangles isocèles mystiques

Nous allons classer les triangles par ordre croissant des formats intérieurs donc du plus aplati au plus étiré.

2.1

Triangle d’argent ou triangle d’or « large »

Il s’agit d’un triangle dont la base a pour longueur le nombre d’or ϕ =

√ 1+ 5 2

et les autres côtés 1.

Son format extérieur est alors :

√
√ 4 1− 5 1 2 4 √ = fe = = = = 5−1 ϕ/2 ϕ 1 − 5 1+ 5 Son format intérieur s’obtient ensuite via le calcul suivant : √ √
2 fi2 = fe2 − 1 = 5−1 −1=5−2 5 D’où :

q √ fi = 5 − 2 5 Caractéristiques 1

54

54

1

• Angle au sommet : 108 ˚ • Angles à la base : 36 ˚ • Format intérieur :

ϕ

• Format extérieur :

√ 5 − 2 5 ≈ 0,7265 √ = 2ϕ − 2 = 5 − 1 ≈ 1,236

p 2 ϕ

Il s’agit d’un triangle très aplati que l’on rencontre dans le toit de certains édifices. C’est le seul triangle dont l’angle au sommet est le triple des angles à la base.

Figure 2 – Une charpente dont la section est un triangle d’or

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3

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Ce triangle d’or « large » apparaît également dans le pentagone régulier comme son homologue le triangle d’or étroit (1) (voir section 2.12, page 16). En effet, dans un pentagone l’angle au centre du cercle circonscrit a pour 180−72 360 \ mesure A\ = 54 ˚et A\ 1 OA2 = 5 = 72 ˚. On a donc OA2 A1 = 1 A2 A3 = 2 × 54 = 108 ˚. 2 A2 b

A3 b

b

O

A1

b

b

Figure 3 – Un pentagone et son triangle d’or « large ». Ce triangle d’or peut, à un coefficient de similitude près, se décliner sous deux autres variantes remarquables :

ϕ

ϕ−1

ϕ ϕ+1

ϕ−1 1

On les obtient par multiplication ou division par ϕ et en utilisant les relations : ϕ2 = ϕ + 1

et

1 =ϕ−1 ϕ

Ce triangle d’or « large » apparaît fréquemment comme, par exemple, dans la forme du bombardier B2, avion mythique.

Figure 4 – L’avion furtif B2 de Northrop Grumman À ce sujet, on peut également citer, de façon très anecdotique, l’île de Pâques dont la forme n’est pas sans rappeler celle de cet avion. L’île de Pâques contient trois anciens volcans (Rano Kau, Terevaka et Puakalike) qui forment un triangle ayant des proportions très proches de celles du triangle d’or « large ».

1. Et c’est pour le distinguer de son homologue, le triangle d’or « étroit », que certains lui préfère l’appellation de triangle d’argent.

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4

Figure 5 – L’île de pâques et son triangle d’or Contre-exemple : les molécules ne font pas dans le mysticisme. Par exemple, dans la molécule d’eau, l’angle formé par l’atome d’oxygène et les deux atomes d’hydrogène mesure entre 104˚et 105˚environ. Nous n’avons donc pas affaire, ici, à un triangle d’or dont l’angle au sommet est 108 ˚, ni à un triangle sacré dont l’angle au sommet mesure 106 ˚(voir section suivante).

Figure 6 – La molécule d’eau

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5

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On pourrait en dire autant de l’angle de la molécule tétraédrique du méthane (CH4 ) dont l’angle au centre (formé par √
l’atome de carbone et deux atomes d’hydrogène) est environ de 109,5˚(exactement arccos(−1/3) ou 2 arctan 2 ) ce qui, là encore, ne correspond pas tout à fait au triangle d’or.

Ceci étant dit, n’oublions pas que les molécules vibrent et que ces angles sont des moyennes.

2.2

Triangle isocèle basé sur le triangle sacré « 4/3/5 »

Il s’agit d’un triangle dont la demi-base a pour longueur 4, la hauteur 3 et pour côté 5. Il est construit sur le célèbre triangle rectangle 3/4/5 (triangle pythagoricien par excellence ou triangle « sacré »). Sa forme est très proche du triangle d’or « large ». Caractéristiques 53

5

53

5

3

4

• Angle au sommet : 106,28 ˚ • Angles à la base : 36,87 ˚ • Format intérieur :

4

• Format extérieur :

3 4 5 4

= 0,75 = 1,25

Ce triangle est utilisé par les maçons de l’époque médiévale car il est très facile à réaliser à l’aide de la corde à 13 nœuds (et donc 12 intervalles, 12 = 3 + 4 + 5). On l’appelle encore le triangle de l’arpenteur. Voir également la section 2.5, page 8.

Figure 7 – La corde à 13 nœuds. Cette corde à 13 nœuds permet de construire un angle droit sans équerre.

2.3

Triangle isocèle rectangle (demi-carré)

Il s’agit du fameux triangle qui a tant tourmenté les pythagoriciens, le triangle formé par deux côtés consécutifs d’un carré et sa diagonale. Les pythagoriciens cherchaient désespérément quel nombre d’unités n donner au côté de l’angle droit pour que l’hypoténuse (qui mesure alors 2n2 ) soit également un certain nombre entier d’unités. Cela √ revient à chercher un entier n tel que 2n2 soit un carré. Un tel nombre n’existe pas car 2 est irrationnel. Mais les pythagoriciens ne connaissaient que les entiers et les proportions d’entiers. Ils avaient fini par en arriver à la conclusion que la diagonale d’un carré de côté 1 est un nombre incommensurable.

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45

1

Caractéristiques

45

• Angle au sommet : 90 ˚

1

√

2 2

6

• Angles à la base : 45 ˚

• Format intérieur : 1 √ • Format extérieur : 2 ≈ 1,414 √

2

Variante : en multipliant les longueurs de tous les côtés par

√

2

45 45

1

√ 2, on obtient le triangle isocèle rectangle suivant :

√

2

2

2.4

Triangle « section par les apothèmes de la Grande Pyramide de Gizeh »

Il s’agit d’un triangle, aux propriétés vraiment étonnantes étroitement liées au nombre π. Certaines personnes pourraient l’appeler le triangle « archimédien » mais, en fait, ce que Archimède a découvert ou redécouvert (à savoir π ≈

22 7 )

était probablement déjà connu des bâtisseurs égyptiens. Nous allons voir, de plus, que le nombre

d’or ϕ se trouve également caché dans ce triangle. Ce fameux triangle s’obtient en faisant une coupe par les apothèmes de la grande pyramide de Khéops (2) . Cette

280 c

section donne donc les proportions de la grande pyramide de Gizeh. Illustrons en perspective cavalière :

440 c

Figure 8 – La grande pyramide de Gizeh

2. Nous préférons l’appeler grande pyramide de Gizeh car le fait que cette pyramide soit le tombeau d’un pharaon n’est pas probant à nos yeux. En effet, la durée de construction, de 20 ans, précisée officiellement par les archéologues égyptiens parait bien optimiste pour un ouvrage de cette taille. En effet, si on met cette durée en relation avec celle de la construction de la pyramide du soleil, sur le site de Téotihuacan, durée estimée officiellement à 150 ans, on réalise vite la supercherie d’autant que la pyramide du soleil est bien moins volumineuse que la grande pyramide de Gizeh. Mais admettre qu’il aurait fallu plus d’un siècle pour construire la grande pyramide de Gizeh, c’est admettre que sa fonction ne peut pas être simplement le tombeau d’un pharaon... Une nouvelle question émerge alors en plus de la problématique de la construction : quelle était la fonction de ces édifices ? Nous avons bien sûr une idée mais elle est si inattendue que nous la dévoilerons ultérieurement... (moquerie !)

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7

12 triangles mystiques

Dans la grande pyramide de Gizeh, dans ses dimensions originales, le côté de la base mesure 440 coudées (3) et la hauteur (4) mesure 280 coudées. Avec un tel choix de longueur, lorsqu’on fait le rapport de deux côtés de la base (plus grande dimension horizontale visible) par la hauteur au sol (plus grande dimension verticale visible), on obtient alors la fraction d’Archimède, qui est bonne approximation de π : 2 × 440 22 = ≈π 280 7 Mais ce n’est pas tout... Si on calcule le format extérieur d’un tel triangle, on obtient deux termes consécutifs de la suite de Fibonacci dont on sait que les rapports tendent vers le nombre d’or : √ 2802 + 2202 356 89 fe = ≈ ≈ ≈ϕ 220 220 55 Quant au format intérieur, il est également remarquable : fi =

280 14 4 √ = ≈ ≈ ϕ 220 11 π

Bien sûr, ce ne sont que des approximations mais l’erreur est inférieure au millième ce qui est tout de même à signaler (5) . En simplifiant les côtés du triangle afin d’obtenir des mesures en nombres entiers, on obtient le triangle suivant :

38

Caractéristiques

38

• Angle au sommet : 76,3 ˚

• Angles à la base : 51,8 ˚ (arctan(14/11)). Noter que 51˚50′ évoque √ 14 ≈ π4 ≈ ϕ ≈ 1,27 • Format intérieur : 11

14

• Format extérieur : ≈ ϕ ≈ 1,618

• autre particularité en radians : arctan 11

11 14




ϕ π

≈ 0,666

11

Étant donné les approximations suivantes :

4 14 √ ≈ ϕ≈ 11 π

ce triangle peut, à un coefficient de similitude près, se décliner sous les variantes suivantes :

3. La coudée chez les bâtisseurs égyptiens est une unité de mesure des longueurs. Elle vaut approximativement 0,5236 m. Il existe quelques controverses sur cette valeur ; selon certains égyptologues ce serait plutôt 0,5235 mais les écarts d’estimations sont inférieurs au centième. Notons que 6 coudées donne une très bonne approximation de π. On peut donc aussi s’amuser à définir la coudée par π . Ainsi, chose étonnante, si on réalise un cercle dont le périmètre mesure 6 coudées, le diamètre de ce cercle sera très sensiblement 6 égal à 1 mètre. On peut y voir une simple coïncidence, ou pas... Officiellement, le mètre apparaît tard dans notre histoire (dans les années 1668 avec les travaux de John Wilkins) et n’est adopté par l’Académie des sciences qu’à la suite des travaux d’uniformisation des mesures réalisés par Talleyrand et Condorcet dans les années 1790 et 1791. Volonté ou non des bâtisseurs, chacun se fera son idée. Quoi qu’il en soit, l’approximation « π ≈ 6 coudées ≈ périmètre d’un cercle de diamètre 1 mètre » fait que si on cherche le mètre dans la grande pyramide de Gizeh, on va le trouver ! 4. Mesures estimées avec la présence du pyramidion sommital aujourd’hui disparu. Mesures également estimées sans le très léger évasement des 4 faces principales, à peine discernable à l’œil ; cet évasement fait que la pyramide de Gizeh possède en réalité 8 faces. 5. On peut également signaler d’autres belles apparitions comme la présence du nombre d’or dans les dimensions de la chambre dite du roi (disons la chambre haute). Le niveau de la chambre haute est également à une hauteur particulière de la pyramide, à 82 coudées du sol et à 198 coudées du sommet. Si on note c le côté du carré sectionnant horizontalement la pyramide au niveau de la chambre haute, on a alors d’après le théorème dit de Thalès : √ 220 280 = ≈ 1,414 ≈ 2 c 198 √ Donc 220 ≈ c 2 ce qui fait que l’aire du carré en question est la moitié de l’aire du carré de base de la grande pyramide.

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8

12 triangles mystiques

38

ϕ

38

1

38

ϕ

√ ϕ

38

2

1

π

Notons que si l’on considère la suite des trois nombres : demi-base, hauteur, hypoténuse ; on obtient trois termes √ consécutifs d’une suite géométrique (1, ϕ, ϕ). Nous sommes donc en présence d’un « triangle géométrique ». On peut également avoir des « triangles arithmétiques » dans lesquels ces trois longueurs sont en progression arithmétique. Il s’agit du célèbre triangle pythagoricien présenté ci-dessous.

2.5

Triangle isocèle basé sur le triangle sacré « 3/4/5 » (bis)

Revenons à la corde à 13 nœuds qui permet de faire des angles droits (et bien d’autres choses encore (6) ) sans équerre, ici le célèbre triangle pythagoricien.

37

Caractéristiques

37

• Angle au sommet : 73,74 ˚ 5

4

• Angles à la base : 53,13˚(= angle au sommet du triangle

5

maçonnique, cf. section 2.9, page 12)

• Format intérieur :

• Format extérieur : 3

4 3 5 3

≈ 1,333 ≈ 1,666

3

On trouve ce triangle dans le toit de certains anciens édifices. Nous consacrerons un paragraphe spécial, à la fin de ce document, aux propriétés mathématiques méconnues de ce triangle « sacré » 3/4/5, notamment ses bissectrices et son cercle inscrit. Notons que l’on trouve la présence de ce triangle sacré dans les proportions de la pyramide dite de Khephren sur le site de Gizeh. En effet, sa hauteur est de h = 274 coudées et le côté de sa base mesure b = 411 coudées ce qui donne pour format intérieur : fi =

4 274 = 205,5 3

Mais ce triangle sacré est également présent dans la chambre haute (dite chambre du roi) de la grande pyramide de Gizeh. Cette chambre, en forme de parallélépipède mesure 20 coudées de longueur, 10 coudées de largeur (ou profondeur) et la diagonale sur le petit mur vertical 15 coudées. Dans ces conditions, la grande diagonale √ du parallélépipède mesure 152 + 202 = 25 coudées. On est donc en présence d’un triangle rectangle de côtés 15/20/25, c’est-à-dire homothétique à 3/4/5 qui est le triangle sacré. En simplifiant les longueurs, on voit donc apparaître une belle progression arithmétique 2/3/4/5.

6. Par exemple un triangle équilatéral en prenant 3 côtés ayant pour longueur 4 intervalles, car 12 = 4 + 4 + 4, un carré en prenant 4 côtés ayant pour longueur 3 intervalles, car 12 = 3 + 3 + 3 + 3, un bicarré (rectangle de format 2) en faisant 12 = 2 + 4 + 2 + 4 etc.

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9

12 triangles mystiques 4

5

3

2

2.6

Format «

√

2»

Voici un triangle mathématiquement intéressant dans lequel apparaît à la fois

35

√ √ 2 et 3.

35

Caractéristiques √

√

3

√

2

1

• Angle au sommet : 70,5 ˚

3

• Angles à la base : 54,75 ˚ √ • Format intérieur : 2 ≈ 1,414 √ • Format extérieur : 3 ≈ 1,732

1

Ce triangle possède quelques belles propriétés mathématiques. Notamment, les hauteurs issues des sommets de la base recoupent les côtés opposés en leur tiers. Démontrons cette propriété. A

K √

35 b

H √

3 √

b

B

35 b

2

3

b

1

1

C

D’une part, via le théorème de Pythagore dans le triangle BHC, on a : BC 2 = BH 2 + HC 2 Donc : BH 2 + HC 2 = 4

(⋆)

D’autre part, via le théorème de Pythagore dans le triangle BHA, on a : BA2 = BH 2 + HA2 Donc : BH 2 + HA2 = 3 (⋆⋆) On effectue la différence (⋆) − (⋆⋆) :

HC 2 − HA2 = 1

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10

12 triangles mystiques

(HC − HA)(HC + HA) = 1 Or, HC + HA =

√ 3 donc :

√ 1 3 HC − HA = √ = 3 3

Pour finir, il nous reste à résoudre le système :  √  HC − HA = 3 3 √  HC + HA = 3 pour trouver (par addition et soustraction) :

√ 3 HA = 3

√ 2 3 HC = 3

et

La pied H de la hauteur est bien situé au tiers du segment [AC] en partant de A.

2.7

Triangle « face de la Grande Pyramide de Gizeh »

Revenons en compagnie de la grande pyramide et examinons maintenant le triangle formé par l’une de ses faces.

356 c

Nous avons vu dans un calcul précédent que l’apothème de la grande pyramide mesure 356 coudées.

440 c

Comme la demi-base de ce triangle est de 220 coudées, cela donne un format intérieur quasiment égal au nombre d’or (encore lui (7) ) : fi =

356 89 = ≈ϕ 220 55

En simplifiant les côtés du triangle afin d’obtenir des mesures en nombres entiers, on obtient le triangle suivant : 7. Mais cela est-il une vraie nouvelle coïncidence ? Pas si sûr... En effet, si on note h la hauteur de la pyramide, on a vu précédemment (voir section 2.4, page 6) que le format du triangle de section était environ égal à π4 . Autrement dit, en notant c le côté de la base on h a l’approximation c/2 ≈ π4 , c’est-à-dire : c π ≈ h 2 L’apothème a de la pyramide s’en déduit via le théorème de Pythagore : a2 = h2 +

c2 4 c2 = 2 c2 + = c2 4 π 4

Le format intérieur d’une face est alors : c a = c/2

p

4 π2

+

1 4

r

4 1 + π2 4



r

16 +1 ≈ ϕ π2 √ Mais cette nouvelle coïncidence n’est qu’une conséquence d’une précédente, à savoir π4 ≈ ϕ qui, mise au carré qui donne π162 ≈ ϕ puis 16 2 en ajoutant 1 donne π2 + 1 ≈ ϕ + 1 = ϕ d’où le résultat après passage à la racine carrée. Ainsi, nous avons mis en évidence, par le calcul, que le fait de voir apparaître le nombre d’or dans le format des faces découle toujours √ de l’approximation 14 ≈ π4 ≈ ϕ. Mais cette proportion a une autre conséquence... Accrochez-vous : elle permet à la grande pyramide 11 d’être la réalisation d’un problème de « rectification du cercle » (réaliser un carré ayant même périmètre qu’un cercle donné). En effet, si on considère une sphère de rayon h et qu’on construit dans son plan équatorial un carré de côté c ayant le même périmètre que l’équateur, on a alors 4c = 2πh. Si on construit alors une pyramide ayant pour base ce carré et pour sommet un point polaire de la sphère initiale on obtient une pyramide vérifiant alors hc = π2 ce qui correspond aux proportions de la grande pyramide de Gizeh... Étonnant non ? c/2

=2

4 1 + = π2 4



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11

12 triangles mystiques

32

32

Caractéristiques • Angle au sommet : 63,43 ˚ • Angles à la base : 58,28 ˚

89

• Format intérieur :

89 55

≈ ϕ ≈ 1,618

• Format extérieur : ≈ 1,9

55

2.8

55

Triangle équilatéral

On ne présente plus ce triangle qui apparaît évidemment dans l’hexagone (convexe et étoilé). Ses angles sont tous de 60 ˚(ou

2π 6

rad ou encore

1 6

tour). Bref, 3 angles dans lesquels apparaît le chiffre 6 et ce, quelle que soit l’unité

de mesure, d’où le lien avec le nombre de la bête 666.

30

30

Caractéristiques 1

√ 3 2

• Angle au sommet : 60 ˚

1

• Angles à la base : 60 ˚ √ • Format intérieur : 3 ≈ 1,732 • Format extérieur : 2

1

Avec deux triangles équilatéraux entrecroisés, on forme l’étoile de David (symbole du judaïsme) ; cette étoile est inscrite dans un hexagone. Elle est constituée de 6 sommets, 6 côtés et 6 angles (d’où, une fois de plus, le lien avec le nombre de la bête 666). b

b

b

b

b

b

Figure 9 – Un hexagone avec ses multiples triangles équilatéraux. Notons qu’en chimie, les atomes de carbone (indispensables à la vie) s’assemblent souvent pour former des structures hexagonales. Par ailleurs, un atome de carbone possède 6 électrons, 6 protons et 6 neutrons...

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12

12 triangles mystiques

2.9

Triangle maçonnique

Là encore un symbole très connu, constitué des instruments de base de tout géomètre (compas et équerre) et donc de tout bâtisseur ou architecte. Normalement, si la représentation est bien faite, le milieu du segment formé par les points d’intersection entre l’équerre et le compas doit se situer au centre de gravité du triangle isocèle formé par le compas. On montre alors que dans un tel triangle, la base est alors égale à la hauteur ce qui donne un format intérieur égal à 2. On obtient également un triangle contenant un carré pseudo-inscrit.

Figure 10 – Compas et équerre, emblème de la franc-maçonnerie On montre alors que l’angle d’ouverture du compas doit être égale à 53 ˚ (exactement 2 arctan

1 2




≈ 53,13 ˚).

Malheureusement, toutes les représentations ne respectent pas cette règle, signe d’une certaine méconnaissance des symboles maçonniques.

26,6 26,6

Caractéristiques • Angle au sommet : 53,13˚(= angle à la base du triangle √ 5 2

3/4/5, cf 2.5, page 8)

√ 5 2

1

b

• Angles à la base : 63,43˚(≈ angle de la face « Gizeh »)

G

• Format intérieur : 2 (base = hauteur) √ 1 5=ϕ+ ϕ ≈ 2,236

• Format extérieur :

1

Notons qu’en multipliant les dimensions du triangle maçonnique par 2, on obtient un triangle isocèle dont la base √ mesure 2 et les côtés 5. Un tel triangle isocèle est construit sur un célèbre triangle rectangle, à savoir le triangle rectangle obtenu dans un double carré (très utilisé en franc-maçonnerie) :

√

5

1

26,6 2

Figure 11 – Un double carré et sa diagonale égale à

√ 5=ϕ+

1 ϕ

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13

12 triangles mystiques

On peut alors remarquer que le périmètre de ce triangle rectangle (égal à 3 +

√

5 ≈ 5,236) est très proche de 10

coudées (ou 5 tiers du périmètre d’un cercle de rayon 1). La pente obtenue (de 1 pour 2) donnant un angle de

26,6˚ environ est celle des couloirs et galeries de la grande pyramide de Gizeh. On retrouvera tout naturellement cet angle dans de nombreux édifices puisque le double carré est très utilisé par les constructeurs (on l’obtient avec une corde à 13 nœuds en faisant 4 + 2 + 4 + 2), il n’y a donc pas lieu de s’en étonner outre mesure.

2.10

Triangle « illuminati »

Il s’agit d’un triangle représentant une pyramide en pierre (mais sans rapport avec les pyramides égyptiennes (8) ) formée de 13 étages (correspondants aux 13 degrés du rite de York, franc-maçonnerie américaine) surmontée de l’œil « omniscient » (l’œil de l’initié, qui voit tout). Ce symbole est celui du nouvel ordre mondial (novos ordo seclorum) qui apparaît sur les billets de 1 $ et de la société occulte illuminati (9) .

Figure 12 – Triangle illuminati Son angle au sommet est de 45 ˚. Le format d’un tel triangle est alors de 1 +

√ 2.

Ce triangle est également celui formé par la lettre d’imprimerie A majuscule :

A initiale de Annuit Cœptis qui signifie « approuver cette entreprise », citation latine qui comporte 13 lettres comme les 13 étages de la pyramide. Un autre exemple où l’on retrouve ce triangle « illuminati » est la pyramide du Mont-Cenis. Son angle au sommet est de 45˚ et elle également constituée de 13 étages...

8. Quoique... La pyramide illuminati est tronquée. Il manque la partie sommitale (remplacée par l’œil) ce qui n’est pas sans rappeler le pyramidion (aujourd’hui disparu) au sommet de la grande pyramide de Gizeh, véritable condensé des propriétés et proportions de cette dernière. 9. Au départ, cette société secrète fut créée en 1776 sous le nom de illuminati de Bavière. Leur projet était de faire tomber les pouvoirs en place (pour s’en emparer !) un peu partout dans le monde (monarchies, pouvoir ecclésiastique). Leurs membres se sont infiltrés dans tous les réseaux de pouvoir et d’influence, en particulier la franc-maçonnerie. On peut dire aujourd’hui que leur objectif est atteint...

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14

12 triangles mystiques

Figure 13 – Pyramide du Mont-Cenis

22,5 22,5

Caractéristiques

1+

1

2.11

√

• Angle au sommet : 45 ˚

• Angles à la base : 67,5 ˚ √ • Format intérieur : 1 + 2 ≈ 2,414 p √ • Format extérieur : 2 2+2

2

1

Triangle d’or « étroit »

Encore un triangle très mystique, lié au pentagone ou au pentagramme (étoile à 5 branches). b

b

b

b

b

Figure 14 – Un pentagone avec son triangle d’or. Ce triangle d’or, inscrit dans le pentagone, possède de nombreuses propriétés : • des propriétés géométriques : si on construit un autre petit triangle à l’intérieur en traçant une bissectrice issue d’un sommet de la base, ce dernier sera encore un triangle d’or.

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12 triangles mystiques

15

36

ϕ

ϕ

72 36

1

En réitérant le processus, on peut ainsi construire une spirale d’or.

Figure 15 – Spirale d’or • Mais son côté mystique possède sûrement une origine astronomique. En effet, la période de révolution (autour du soleil) de la planète Vénus (qui est de 225 de nos jours terrestres) est en résonance orbitale avec la période de

révolution de la Terre (365 jours). En effet, le rapport de ces périodes est un nombre très proche d’un rationnel simple lui même très proche du nombre d’or ϕ : 13 365 ≈ 1,62 ≈ ≈ϕ 225 8 Autrement dit, pendant que la planète Terre effectue 8 révolutions autour du soleil, la planète Venus en effectue 13. Cette synchronicité a pour conséquence que les points de conjonction inférieure entre les deux planètes se retrouvent régulièrement aux mêmes positions sur les orbites et ces points forment un pentagramme (10) .

Figure 16 – Synchronisme orbital entre la Terre et Vénus en rapport avec le nombre d’or

10. Pour bien visualiser le phénomène en mouvement, cf. https://www.youtube.com/watch?v=fFDBeTdPKig.

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De plus, il y a également un synchronisme dans la période entre deux conjonctions Terre - Vénus qui est de 584 de nos jours terrestres (11) et la période de révolution orbitale de la Terre (qui est de 365 jours) : 584 8 = ≈ϕ 365 5 Encore et toujours le nombre d’or. Cette dernière propriété a pour conséquence que lors des conjonctions inférieures, la planète Vénus nous présente (à nous terriens) toujours la même face. Ainsi, un peu comme la Lune, Vénus a aussi sa face cachée. Notons, de plus, que le format intérieur du triangle d’or étroit est très voisin de 3 : q r ϕ2 − 14 3 fi = =2 ϕ+ ≈3 1 4 2

18 18

Caractéristiques ϕ

ϕ

• Angle au sommet : 36 ˚ • Angles à la base : 72 ˚

p

• Format intérieur : 2

• Format extérieur : 2ϕ

ϕ+

3 4

≈3

1

2.12

Triangle « 5/5/2 »

Ce triangle très étiré, que l’on obtient très facilement avec une corde à 13 nœuds, se retrouve dans l’architecture de certaines constructions médiévales, notamment des vieux clochers d’église (mais les flèches des cathédrales sont parfois des triangles encore plus pointus).

11. Ne pas confondre avec la durée de l’année sur Vénus qui est de 243 de nos jours. En particulier, la durée du « jour » sur Vénus est plus longue que la durée de son « année ».

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Figure 17 – Un clocher d’église avec un angle de 23 ˚ Noter, tout de même, que selon les styles et les époques de construction, on trouvera de nombreux autres angles ou types de construction.

Caractéristiques

11,5 11,5

5

5

• Angle au sommet : 23,07 ˚ (2 arcsin(1/5))

• Angles à la base : 33,46 ˚ √ • Format intérieur : 2 6 ≈ 4,90 • Format extérieur : 5

2

3

Application : lien entre le triangle pythagoricien 3/4/5 (ou triangle sacré) et le triangle maçonnique

Le triangle maçonnique (voir section 2.9, page 12) possède un angle au sommet mesurant 53 ˚ et sa base a même longueur que sa hauteur. On retrouve le même angle de 53˚dans le triangle pythagoricien (voir section 2.5, page 8).

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12 triangles mystiques

Nous allons voir pourquoi et, au passage, démontrer une belle propriété du nombre d’or. Considérons un triangle pythagoricien ABC avec AB = 3, AC = 4 et BC = 5. Notons J le pied de la bissectrice (d) issue du point B. Soit D le point où la perpendiculaire à (d) passant par A recoupe le côté [BC]. Remarquons que dans le triangle BAD, la droite (d) reste la bissectrice issue de B et comme elle est perpendiculaire à (AD), c’est donc aussi une hauteur et une médiane de ce triangle. Le point d’intersection I entre (d) et (AD) est donc le milieu du segment [AD]. b

B

(d) b

b

r b

W

U

b

D

O b

I P b

b

A

b

b

V

J

b

C

Nous allons commencer par calculer le rayon r de son cercle inscrit (intersection des bissectrices en un point noté O). Notons A l’aire du triangle ABC et p son demi-périmètre. On a bien sûr A = 6 et p = 6. En décomposant la surface du triangle en trois parties, on peut écrire :

A = Aire(OBC) + Aire(OAC) + Aire(OAB) Comme le cercle inscrit est tangent à chaque côté on a : A=

1 1 1 × BC × r + × AC × r + × AB × r = pr 2 2 2

D’où : r=1 Intéressons-nous maintenant à l’angle en B qui est égal à arctan d’après la relation : arctan(x) + arctan(y) = arctan

4 3






(dont une mesure vaut environ 53 ˚). Or,

x+y 1 − xy



spécialisée avec x = y = 12 , on obtient :

On en déduit que :

Cela signifie que :

1
2 arctan = arctan 2



1 1−

1 4



= arctan

4
3



\ = 1 × ABC \ = 1 arctan 4 = arctan 1 ABD 2 2 3 2 AI 1 = BI 2

Le format intérieur du triangle BAD est donc fi = 2. On voit donc apparaître un triangle « maçonnique » (à savoir BAD) dans le triangle « sacré » (à savoir ABC). ................................................................................................................. Découvrez nos autres productions sur notre site : http://question-type-bac.fr/

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On retiendra que AD = BI ce qui est une belle propriété mathématique. Enfin, on peut faire apparaître le nombre d’or dans le triangle sacré en calculant la longueur BP = BO + r. En effet :

  WO \ tan W BO = WB 1 r = 2 WB

D’où : W B = 2r = 2 On en déduit, via le théorème de Pythagore que : BO = Et finalement : BP = BO + r =

√

5

√ 5 + 1 = 2ϕ

b

B

b

r

W

b

U

2ϕ

P b b

A

b

V

b

C

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