14 Proportionnalité et géométrie

14

Proportionnalité et géométrie

1 Commentaires généraux Le chapitre 14 traite de certains problèmes de proportionnalité rencontrés en géométrie dans le cadre du programme de 4e. Une grande partie du chapitre est consacrée à l’étude des agrandissements et réductions à l’échelle de figures planes. De nombreuses situations permettent à l’élève d’observer et d’utiliser les propriétés de conservation des figures lors d’un agrandissement ou d’une réduction à l’échelle (mesures d’angles, parallélisme). Une part importante du contenu est consacrée à des constructions de tels agrandissements ou réductions. La variation d’une grandeur en fonction d’une autre, dans le cadre des formules d’aires et de volumes, offre de nombreuses situations de proportionnalité ainsi que de non proportionnalité. Par ailleurs, les élèves découvrent et utilisent dans ce chapitre la proportionnalité entre, d’une part, la longueur d’un arc de cercle ou l’aire d’un secteur angulaire et, d’autre part, son angle au centre. Cette étude permet l’élaboration d’un patron de cône. Pour traiter ce chapitre, il est important que les notions du chapitre 7 soient déjà familières pour l’élève, notamment la procédure des « produits en croix ». L’enseignant trouve ici l’occasion d’utiliser pleinement les logiciels de géométrie dynamique avec ses élèves. Le site Internet de la collection (www.dimatheme.com) propose un nombre conséquent d’illustrations interactives en liaison avec les activités et les exercices de ce chapitre.

2 Objectifs des activités Activité 1 Faire comprendre à l’élève la notion d’agrandissement à l’échelle. Activité 2 Faire découvrir la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction.

2 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

Activité 3 Faire découvrir une propriété de conservation de parallélisme et d’orthogonalité dans un agrandissement / réduction. Activité 4 Démontrer la propriété de conservation des angles dans un agrandissement / réduction dans le cas d’un triangle rectangle.

3 Avant de démarrer (solutions) A. c

B. c

C. a

D. b

5 1. HIJ est un triangle rectangle en H. En appliquant le théorème de Pythagore, on a : IJ 2 = HI 2 + HJ 2 IJ 2 = 5 6002 + 4 2002 = 49 000 000 donc IJ = 7 000 (en mètres) 1 les nouvelles dimensions 2. À l’échelle 70 000 sont (en cm) : 560 000 420 000 =8; H’J’ = =6 H’I’ = 70 000 70 000 700 000 = 10 I’J’ = 70 000

E. c

4 Je découvre, j’utilise (solutions) 1

J’

4 cm

10 cm 6 cm

9,5 cm

2 M’N’ = M’P’ = 2 # 28 = 56 mm et P’N’ = 1,5 # 28 = 42 mm H’

M’

8 cm

I’

6 1 600 km = 160 000 000 cm 160 000 000 =8 20 000 000 d’où : 8 cm P’

N’

Floride

3

mer des sargasses (OCÉAN ATLANTIQUE)

Îles des Bermudes

8 cm

8 cm 9 cm

B’

C’

Porto Rico

5 cm

7,6 cm A’

7 12 m = 1 200 cm ; 7 m = 700 cm D’

Dimensions réelles en cm : 125

4 D’E’ = 50 # 0,2 = 10 cm D’F’ = 29 # 0,2 = 5,8 cm et F’E’ = 63 # 0,2 = 12,6 cm

4 m = 400 cm

1 200 700 400

Dimensions sur le plan en cm

9,6

5,6

3,2

75 0,6

F’

tableau

porte

0,6 cm 5,6 cm

E’

3,2 cm

D’

9,6 cm

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 3

8, 4 =4 2, 1 Il s’agit de multiplier chaque dimension par 4. A’M’ = 4 # 1,9 = 7,6 cm et A’F’ = 4 # 1 = 4 cm

8

7, 8 = 2, 6 3 Il s’agit d’un agrandissement à l’échelle 2,6. E’G’ = 2,6 # 2,5 = 6,5 cm

11

.

G’

A’

4 cm

6,5 cm

7,6 cm

F’ E’

8,4 cm

F’

7,8 cm

M’

6 . 9 = 1, 2 5 Il s’agit de multiplier chaque dimension par 1,2. M’P’ = P’N’ = 1,2 # 4,5 = 5,4 cm P’

12 Londres- BerlinBerlin Paris

ParisLondres

Distance réelle en km

921

868

341

Distance sur le schéma en cm

10

9,4

3,7

L

10 cm

5,4 cm

B 3,7 cm 9,4 cm M’

N’

6 cm

P

10 50 m = 5 000 cm

ZAE = 45° 13 Z’A’ = A’E’ = 50 mm et \

5 000 = 625 8

Z’

Il s’agit d’une réduction à l’échelle

1 . 625

Dimensions réelles en m

50

45

15

30

Dimensions sur le schéma en cm

8

7,2

2,4

4,8 45°

7,2 cm

E’

A’

U’

4,8 cm

8 cm

14

31° 2,4 cm

2,4 cm

4 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

R’

14 cm

T’

\ = 70° et \ PSD = 110° ; SDO DOP = 110° . 15 1. \ 1 chaque côté mesure 8 cm et les 3 mesures des angles restent inchangées. 2. À l’échelle

O’

P’ 70°

110°

1 #h 2 b. Quand  est fixée,
et h sont deux quantités proportionnelles (un coefficient de proportionnalité 1 est # ). 2 2. On peut dresser le tableau de proportionnalité suivant.

18 1. a.
=


en cm2 8 cm

h en cm

11,1

51,8

3

x

3 # 51, 8 = 14 11, 1 Si
= 51,8 cm2 alors h = 14 cm .

x= 110°

70° D’

S’

19 1.  =  # h En multipliant la hauteur par la base qui est fixée, on obtient le volume, donc quand la base est fixée le volume d’un cylindre est proportionnel à sa hauteur. 2.

16 1. 5 cm

F

G

4 cm

50°

9

7

x

12 # x = 7 # 9 7 # 9 63 d’où x = = = 5, 25 cm 12 12

H

2. F’G’ = 1,5 # 5 = 7,5 cm Hauteur : 1,5 # 4 = 6 cm

20 La longueur de l’arc de cercle est proportion-

G’

5 cm

12

cm3

Volume en

K

F’

Hauteur en cm

nelle à la mesure de l’angle au centre.

50° 6 cm

Mesure de l’angle au centre en degrés Longueur de l’arc en cm

K’

H’

12 = 1, 25 9, 6 B’C’ = 1,25 # 6,8 = 8,5 cm D’C’ = 1,25 # 8,4 = 10,5 cm \ \ = 90° \ = 79° et \ A’B’C’= ABC B’C’D’= BCD B’

17

12 cm 79° A’ 8,5 cm

D’

10,5 cm

x

12 # r

26

On a donc 12 # π # x = 360 # 26 360 # 26 d’où x= . 248 12 # r

21 Même raisonnement qu’à l’exercice 20. x=

360 #16, 8 . 120 16 # r

22 L’aire de la portion de disque est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre. Mesure de l’angle au centre en degrés Aire en cm2

C’

360

360

x

72 # r

98

On a donc 49r # x = 360 # 98 360 # 98 . 229 d’où x= 49 # r

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 5

23 Même raisonnement qu’à l’exercice 22. 360 # 218 x= . 250 100 # r

24 Les mesures des arcs sont proportionnelles à celles des angles au centre. Mesure de l’angle au centre en degrés

360

130

Mesure de l’arc en cm

12 # r



On a donc 360 #  = 130 # 12 # r 130 #12# r d’où = . 13,6 cm 360

25 Les aires sont proportionnelles aux angles au centre. Mesure de l’angle au centre en degrés Aire en cm2

360

80

72 # r




On a donc 360 #
= 80 # 49 # r 80 # 49# r d’où
= . 34,2 cm2 360

26 1. Mesure de l’angle au centre en degrés Longueur de l’arc en cm

360

x

2#4#r

15

29 Pour obtenir les dimensions finales, on multiplie les dimensions par 0,8 (4 ' 5). On obtient 8 cm ; 4 cm et 5,6 cm. 30 • vert et bleu : facteur d’agrandissement ou de réduction 2. • orange et rouge : facteur d’agrandissement ou de réduction 1,5. 31 1 km = 100 000 cm . Le rectangle de dimensions 15 cm sur 9 cm est une réduction du rectangle de dimensions 15 km sur 1 . 9 km à l’échelle 100 000 32 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles dont les longueurs des côtés sont proportionnelles. BD BE DE . = = BA BC AC BD 6 3 ou = = 2. Un facteur de réduction est BA 8 4 0,75. 33 Paul a raison, un facteur de réduction est égal au quotient de la longueur du petit côté par celle du grand côté. 34 Jane a raison, dans une réduction la mesure des angles et la nature des polygones sont conservées.

On a donc 8 # r # x = 360 # 15 360 #15 675 d’où x= = . 215 8#r r 2.

35

Aire en cm2

On a donc 360 #
= d’où

360

675 r

42 # r




675 # 16 # r r

360 #
= 675 # 16 675 #16
= = 30 cm2 360

5 Faire le point en classe (solutions) 27 À l’échelle 7 les nouvelles dimensions sont 49 cm ; 56 cm et 70 cm. 28 32 ' 4 = 8 . À l’échelle un quart, chaque côté mesure 8 cm.

6 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

D

4,2 cm

C Mesure de l’angle au centre en degrés

45° A

8,4 cm

B

36 1. P = 2 # r # r On obtient le périmètre d’un cercle en multipliant son rayon par le nombre fixe 2 # r , donc le périmètre est proportionnel au rayon. 2.
= r # r # r Pour obtenir l’aire d’un disque, on multiplie son rayon par le nombre r # r qui n’est pas fixe, donc l’aire d’un disque n’est pas proportionnelle au rayon.

37 La mesure de l’angle au centre est proportionnelle à la longueur de l’arc. 1 60 1 a. = ; 360 # = 90 . 4 240 4 Si l’arc mesure 60 cm l’angle mesure 90°. 1 48 1 b. = ; 360 # = 72 . 5 240 5 Si l’arc mesure 48 cm l’angle mesure 72°. 3 180 3 c. = ; 360 # = 270 . 4 240 4 Si l’arc mesure 180 cm l’angle mesure 270°. 38

B

a.

(d)

8 Je m’entraîne (solutions) 47 1. A’B’ = 1,2 # 6 = 7,2 cm A’C’ = 1,2 # 5 = 6 cm B’C’ = 1,2 # 7 = 8,4 cm A’

7,2 cm

6 cm

(d) // (AB) B’

A b.

B (d)

(d) // (AB)

C’

8,4 cm

2. A’B’ = 0,8 # 6 = 4,8 cm A’C’ = 0,8 # 5 = 4 cm B’C’ = 0,8 # 7 = 5,6 cm A’

A c.

(d ) // (AB)

(d)

4,8 cm

B

B’

A

6 Calcul mental (solutions) 39

4 cm

C’

5,6 cm

R’S’T’ = 35° ; \ R’T’S’ = 48° 48 1. \ et S’T’ = 1,4 # 5 = 7 cm R’

a. 56 ; 72 ; 88

b. 3,5 ; 4,5 ; 5,5 c. 0,7 ; 0,9 ; 1,1

40 7,5 ; 12 ; 0,9 et 15

48°

35°

3 6 ou 0,6 41 = 5 10

S’

T’

7 cm

R’S’T’ = 35° ; \ R’T’S’ = 48° 2. \ et S’T’ = 0,7 # 5 = 3,5 cm

7 J’évalue mes compétences (solutions) 42

b.

43

a.

44

b.

45

a. et b.

46

a. (valeur exacte

R’

35° S’

48° 3,5 cm

T’

F’G’ 6 1 = = . Le triangle E’F’G’ est une FG 24 4 1 réduction du triangle EFG à l’échelle . 4

49

360 # 30 180 ) = 60 r r

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 7

E’F’ =

1 1 # 12 = 3 cm et EG = # 16 = 4 cm 4 4 E’ 4 cm 3 cm

G’ 6 cm

F’

50

SL 36, 8 4 = = = 0, 8 BF 46 5 PF 24, 8 4 BP 25, 6 4 = = = = 0, 8 ; = = 0, 8 AL 31 5 SA 32 5 Le triangle BFP est une réduction du triangle SLA à l’échelle 0,8. 2. Dans une réduction, les mesures des angles sont conservées donc : \ = 42° \ PBF = ASL \ = 44° \ BFP = SLA La somme des angles d’un triangle est égale à 180° BPF = 180° - (42° + 44°) = 94° . donc \

52 1.

a. Échelle 3

53 1.

C

7,5 cm 6 cm

b. Échelle

3 5

B

(d)

AC2

B

A

(d) // (AB) c. Échelle

7 3

(d) // (AB) (d) B

A

51 On peut mesurer les angles du triangle ABC en construisant un triangle A’B’C’ à l’échelle 100. A’B’ = 10 cm ; A’C’ = 8 cm et B’C’ = 15 cm . Les angles du triangle A’B’C’ ont les mêmes mesures que ceux du triangle ABC c’est-à-dire : \ ABC . 30° ; \ ACB . 38° et \ BAC . 112° . 8 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

4,5 cm

A

7,52

2. = = 56,25 BC2 + BA2 = 62 + 4,52 = 36 + 20,25 = 56,25 donc AC2 = BC2 + BA2 . D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B. 3. Dans une réduction, la mesure des angles est conservée donc le triangle A’B’C’ est rectangle en B’.

54 1. Dans un triangle, la longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. 1 1 DE = AC = 4, 25 cm ; FE = AB = 5, 5 cm 2 2 1 et DF = BC = 3 cm . 2 2. ADF ; DBE ; FEC et EDF sont des réductions du triangle ABC à l’échelle 0,5. 55 1. Si on coupe deux côtés d’un triangle par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels. (DE) // (CB) AD AE DE 3 1 = = = = AC AB CB 9 3 1 2. AED est une réduction de ABC à l’échelle . 3

Triangle Longueur en cm du côté horizontal Aire en cm2

EFG

HIJ

MLK

1,5

5,4

4,1

2,625

9,45

7,175

2, 625 9, 45 7, 175 = = = 1, 75 3. 1, 5 5, 4 4, 1 Les deux dernières lignes du tableau sont proportionnelles car on passe de la longueur du côté horizontal à l’aire en multipliant par 1,75. h h
= # c avec ici h = 3,5 donc = 1, 75 . 2 2 Le résultat précédent était donc prévisible puisque l’on obtient l’aire d’un triangle en multipliant un de ses côtés par la moitié de la longueur de la hauteur correspondante qui est ici fixe.

57 1. Les trois quadrilatères sont des parallélogrammes. 2. Quadrilatère

ABCD

ABEF

ABGM

Hauteur relative à [AB] en cm

2

4

1

Aire en cm2

12

24

6

12 18 6 = = =6 2 3 1 Les deux dernières lignes du tableau sont proportionnelles. Pour obtenir l’aire de chacun de ces parallélogrammes, on multiplie une de ses hauteurs par la longueur du côté correspondant qui ici est fixe.
=6#h L’aire est donc proportionnelle à la hauteur quand le côté est de longueur fixe.

3.

58 1. Aire ABCD = 32 = 9 cm2 . Aire ABED = aire ABCD + aire BCE 3# 3 =9+ = 13,5 (cm2). 2 Aire ABFD = aire ABCD + aire BCF 6#3 =9+ = 18 (cm2). 2 Aire ABGD = aire ABCD + aire BCG 9#3 =9+ = 22,5 (cm2). 2 9 3 ! 2, 25 . Les aires ne sont pas 2. = 3 3 proportionnelles aux longueurs 13, 5 = 2, 25 des côtés opposés à [AB]. 6

}

Volume 25 en cm3 Hauteur en cm

5

v

On a donc 5v = 25 # 12 25 #12 = 60 (cm3). 12 d’où v = 5

60 1. 8 cm

à 3,5 cm. 2.

1 3 Si la base  est fixée, le volume du cône s’obtient  en multipliant la hauteur par le nombre fixe donc 3 le volume et la hauteur sont proportionnels. 2.

59 1. V =  # h

8 cm

56 1. Les trois triangles ont la même hauteur égale

4 cm

6 cm

1 2 rr # h 3 Si r = 4 et h = 8 , 128r 1 V 1 = r # 42 # 8 = . 134 (cm3) 3 3 Si r = 6 et h = 8 , 288r 1 V2 = r # 62 # 8 = = 96r . 301,6 (cm3) 3 3 3. 2. V =

Volume en cm3

32r 3

16r 3

4

6

Rayon de la base en cm

32r 6# = 64r 3 16r 64r = 4# 3 3

}

Les produits en croix sont différents donc le tableau n’est pas de proportionnalité. Le volume d’un cône n’est pas proportionnel au rayon de sa base.

1 3 Si la base  est fixe, on obtient le volume en mul tipliant la hauteur par le nombre fixe donc le 3 volume est proportionnel à la hauteur. 2.

61 1. V =  # h

Volume en cm3

50

120

Hauteur en cm

16

h

On a donc 51 # h = 120 # 16 120 #16 d’où h = = 38,4 cm 50

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 9

62 La longueur de l’arc et l’aire du secteur sont proportionnelles à l’angle au centre. Angle en degrés

360

50

Longueur en cm

2#r#4



On a donc 360 #  = 50 # 2 # r # 4 400r 10 = = r . 3,5 (cm) 360 9 Angle en degrés Aire en

cm2

360 r#

66 Pour déterminer le format on divise la longueur Format argentique 3/2 • 51 # 34 • 30 # 20 • 30 # 45

50


42

On a donc 360 #
= 50 # 42 # r 800r 20
= = r . 7 (cm2) 360 9

3 4 et à . 2 3 Format numérique 4/3 • 2 272 # 1 704 • 1 800 # 1 350 • 1 500 # 1 125 • 1 024 # 768 • 1 300 # 975 • 1 700 # 1 275 • 20 # 15 • 52 # 39

par la largeur ; puis on compare à

67 1. Avec les deux premières colonnes :

{

On a donc 12 # r # x = 22 # 360 22 # 360 660 = . 210 (en °) d’où x= 12r r

841 # 841 = 707 281 595 # 1 189 = 707 455 Donc à peu de chose près, ces dimensions ne sont pas proportionnelles. 1189 841 595 . 1, 41 ; . 1, 41 ; . 1, 41 2. a. 841 595 421 421 297 210 148 . 1, 42 ; . 1, 41 ; . 1, 42 ; . 1, 41 297 210 148 105 b. À un centième près, on obtient le même facteur. 3.

64 L’aire du secteur est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre.

A6

63 La longueur de l’arc est proportionnelle à la mesure de l’angle au centre. Angle en degrés

360

x

Longueur en cm

2#r#6

22

Angle en degrés Aire en cm2

360

x

r # 72

32

On a donc 49 # r # x = 360 # 32 360 # 32 d’où x= . 75 (en °) 49r

9 J’approfondis (solutions) 65 • Longueur du rectangle initial

108 = 18 (cm) 6

18 = 4, 5 (cm) 4 • Aire du rectangle initial 18 # 4,5 = 81 (cm2)

• Largeur du rectangle initial

10 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

A5 A4

A3

A2

A1

A0

68 À l’échelle 109, 1 pm est représenté par 1 mm donc sur le schéma OH = OH’ = 96 mm , r = 25 mm

H

O

H’

HOH’ est inchangé). et R = 60 mm (l’angle \ Représentation de la molécule à l’échelle 109 :

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 11

69 Périmètre du cercle de gauche de rayon 3 cm :

3.

2r # 3 = 6r (en cm). La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre. 3 cm

Angle au centre en degrés

360

x 5 cm

Longueur de l’arc en cm

2r # 4

216°

6r

On a donc 8rx = 360 # 6r 360 # 6r d’où x= = 270 (en °) 8r

70 La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle

72 Avec la même démarche qu’à l’exercice 71.

au centre. Angle au centre pour l’arc bleu : 360 - 47 = 313 Longueur de l’arc bleu : 313 313 #2 #r # 3 = r . 5, 22 (en cm) 360 60 Angle au centre en degrés Longueur de l’arc en cm

360

x

2r # 5

313r 60

S

31, 25 . 5, 6 cm

5

360 # 313 # r = 1 878r 60 1 878r = 187, 8 . 188 (en °) x= 10r

On a donc 10rx = d’où

71 1. Si A est un point du cercle de base, le triangle SHA est rectangle en H.

H

Angle au centre en degrés

On a donc x =

z

3

Longueur de l’arc en cm

360 2#5#r

A

360

x

2 # 5,6 # r 2 # 2,5 # r

5 # r # 360 c 161 (en °). 11, 2 # r

5,6 cm

A

2. a. y = 3 (cm), c’est le rayon de la base. Puisque le triangle SHA est rectangle en H, en appliquant le théorème de Pythagore, on obtient : z 2 = 42 + 32 donc z = 5 (cm). b. L’arc rouge et l’arc bleu sont de même longueur. c. La longueur de l’arc est proportionnelle à l’angle au centre. Angle au centre en degrés

2,5

Longueur de l’arc en cm

S

4

H

161°

2,5

cm

x 6r

On a donc 10rx = 360 # 6r 360 # 6r d’où x= = 216 (en °) 10r

12 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

73 1. a. 50 % échelle de réduction de facteur 0,5. b. 200 % échelle d’agrandissement de facteur 2. c. 500 % échelle d’agrandissement de facteur 5. 21 191 . 1, 909 ; 1, 909 . 1, 91 = 11 100 Il faut saisir 191 %.

2.

F

74 1.

2 B 1

D

A

O

C

E

2. a. Si on joint un point d’un cercle aux deux extrémités d’un de ces diamètres on obtient un triangle rectangle. ABC est rectangle en B et DFE est rectangle en F. b. On applique le théorème de Pythagore dans les triangles rectangles ABC et DFE. On a : AC 2 = AB2 + BC 2 d’où BC 2 = AC 2 - AB2 = 82 - 4,82 = 40,96 d’où BC = 6,4 (cm). DE2 = DF 2 + FE2 d’où FE 2 = DE 2 - DF 2 = 122 - 7,22 = 92,16 d’où FE = 9,6 (cm). DE 12 DF 7, 2 FE 9, 6 • • 3. • = = 1, 5 = = 1, 5 = = 1, 5 AC 8 AB 4, 8 BC 6, 4 En multipliant les dimensions de ABC par 1,5 on obtient les dimensions de DFE donc le triangle DFE est un agrandissement du triangle ABC au facteur 1,5. AB # BC 3, 6 # 4, 8 = = 8, 64 (m2) 2 2 BD # AC 6x = = 3x . 2. a. L’aire de ABC est aussi égale à 2 2 b. On a donc 3 # x = 8,64 . 8, 64 c. D’où x = = 2,88 soit BD = 2,88 (m). 3 3. Dans le triangle ABD rectangle en D, en utilisant le théorème de Pythagore, on a : AB2 = AD2 + BD2 d’où AD2 = AB2 - BD2 AD2 = 3,62 - 2,882 = 4,6656 AD = 4, 6656 = 2,16 (en mètres)

75 1. Aire ABC =

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 13

4. Dd[AC] donc DC = AC - AD = 6 - 2,16 = 3,84 (en mètres) Dimensions du triangle ABC en m

3,6

4,8

79

B

6

Dimensions 2,16 2,88 3,6 du triangle ABD en m

N #0,6

Dimensions 2,88 3,84 4,8 du triangle BDC en m

A

M

#0,8 P C

ABD est une réduction de ABC de facteur 0,6. BDC est une réduction de ABC de facteur 0,8. donc DC = 3,84 cm .

10 Devoirs à la maison (solutions) étant 2,4 cm, il faut 76 La hauteur des lettres refaire la figure du texte en multipliant les dimensions par 5 (5 # 2,4 = 12).

77 La figure n’est pas en vraie grandeur. A

I

B

C

AB 6, 8 = =4; 78 1. AE 1, 7 AC 8, 4 = =4 AE 2, 1 BD 6 et = =4 . DE 1, 5 Le triangle ABC est un agrandissement du triangle ADE à l’échelle 4. 2. Dans un agrandissement, la mesure des angles \. ADE = ABC est conservée, on a donc \ \ et ABC \ sont 3. Les angles correspondants ADE égaux donc les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

14 • Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie

D’après le codage de la figure on a : (MN) // (AB) (NP) // (BC) et (MP) // (AC) • M est à la même distance de (AB) que de (AC) \ . La donc M est un point de la bissectrice de BAC \ bissectrice de BAC est (MA). BCA et (BN) • De même (PC) est la bissectrice de \ ABC . est celle de \ • Soit I le centre du cercle circonscrit à ABC. • Dans un triangle, si on coupe deux côtés par une droite parallèle au troisième côté, on obtient deux triangles à côtés proportionnels. IM IN MN = = . Dans le triangle AIB, on a IA IB AB IM IP MP . = = Dans le triangle AIC, on a IA IC AC IP IN PN . Dans le triangle BIC, on a = = IC IB CB MN MP PN . Donc = = AB AC CB Les longueurs des côtés du triangle MNP sont proportionnelles à celles du triangle ABC, le petit triangle est donc une réduction du grand.

Problème ouvert La longueur du segment qui joint le milieu de deux côtés d’un triangle est égale à la moitié de la longueur du troisième côté. À chaque étape les dimensions sont donc divisées par 2. À la 10e étape les dimensions sont divisées par 210 c’est-à-dire 1 024. 8 1 A10 B10 = = (cm). 1 024 128 10 5 (cm). = B10 C10 = 1 024 512 7 (cm). A10 C10 = 1 024

11 Documents à photocopier • Activité 2, p. 248

- 1,5 # 0,6

Côtés de EFG en cm

EF = 8

FG = 5,8

EG = 4,2

Côtés de HIJ en cm

HI = ...

IJ = ...

HJ = ...

Côtés de KLM en cm

KL = ...

LM = ...

KM = ...

Côtés de OPQ en cm

OP = ...

PQ = ...

QR = ...

• Exercice 38, p. 256

# 2

• Exercice 50, p. 258

• Exercice 56, p. 259 Triangle

EFG

HIJ

MLK

ABCD

ABEH

ABGH

Longueur en cm du côté horizontal Aire (en cm2)

• Exercice 57, p. 259 Quadrilatère Hauteur relative à [AB] (en cm) Aire (en cm2) © Les Éditions Didier

Chapitre 14 • Proportionnalité et géométrie • 15