1.¨Ubungsblatt - Institut für Mathematik

ADM III: Einf¨uhrung in die Spieltheorie, WS 2006/2007 Technische Universit¨at Berlin Institut f¨ur Mathematik Dr. Guido Sch¨afer

¨ 1. Ubungsblatt Besprechung: Donnerstag, 26.10.2006 Tutorin: Janina Brenner Aufgabe 1. Betrachte das folgende strategische Zweipersonenspiel.

T B

L (1, 1) (1, 0)

M (1, 0) (0, 1)

R (0, 1) (1, 0)

(a) Bestimme die Nash-Gleichgewichte des Spiels. (b) Gibt es ein striktes Nash-Gleichgewicht?

Aufgabe 2. Bestimme die Nash-Gleichgewichte des folgenden Zweipersonenspiels mittels der Beste-Antwort Funktionen. T M B

L (2, 2) (3, 1) (1, 0)

C (1, 3) (0, 0) (0, 0)

R (0, 1) (0, 0) (0, 0)

Aufgabe 3. Betrachte das strategische Zweipersonenspiel (N, (Ai ), (ui )), N = [2], mit Ai = R+ (Menge der nicht-negativen reelen Zahlen) f¨ur i ∈ N und u1 (a1 , a2 ) = a1 (a2 − a1 ) und u2 (a1 , a2 ) = a2 (1 − a1 − a2 ). Bestimme die Nash-Gleichgewichte dieses Spiels.

Aufgabe 4 (First-price sealed-bid auction). Ein Objekt soll an einen der Spieler in N = [n], n ≥ 2, versteigert werden. Wir bezeichnen den Wert, den das Objekt f¨ur Spieler i ∈ N hat, mit vi ∈ R+ und nehmen an, dass v1 > v2 > · · · > vn > 0. Jeder Spieler schreibt sein Gebot bi ∈ R+ f¨ur das Objekt auf einen Zettel, steckt ihn in einen Umschlag und schickt diesen an den Auktionator (sog. sealed-bid auction).

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Der Auktionator vergibt das Objekt an den Spieler, dessen Gebot maximal ist. Wird das maximale Gebot von mehr als einem Spieler eingereicht, so erh¨alt der Spieler mit kleinstem Index das Objekt. Sei das maximale Gebot bmax . Der Gewinner zahlt einen Preis p = bmax f¨ur das Objekt. Wir definieren den Payoff von Spieler i ∈ N als vi − p falls Spieler i das Objekt erh¨alt und als 0 sonst. Zeige, dass die folgenden Aussagen wahr sind: (a) Das Aktionsprofil (b1 , b2 , . . . , bn ) = (v2 , v2 , . . . , vn ) ist ein Nash-Gleichgewicht. (b) In allen Nash-Gleichgewichte ist Spieler 1 der Gewinner. (c) F¨ur jeden Spieler i ∈ N wird die Aktion bi = x f¨ur x > vi von der Aktion bi = vi schwach dominiert. (d) Ein Aktionsprofil b ist ein Nash-Gleichgewicht genau dann wenn (i) b1 = bmax , (ii) f¨ur das zweith¨ochste Gebot b0 gilt b0 = bmax und (iii) bmax ∈ [v2 , v1 ].

Aufgabe 5 (Second-price sealed-bid auction). Das Setting ist wie in Aufgabe 4. Der Auktionator vergibt das Objekt an den Spieler mit dem maximalen Gebot (Regel wie in Aufgabe 4). Der Preis f¨ur das Objekt wird nun aber durch das zweith¨ochste Gebot bestimmt. Sei b0 das zweith¨ochste Gebot. Der Spieler, der das Objekt erh¨alt, bekommt dieses zu einem Preis von p = b0 . (a) Zeige, dass die Aktionsprofile (b1 , b2 , . . . , bn ) = (v1 , v2 , . . . , vn ) und (b1 , b2 , . . . , bn ) = (v1 , 0, . . . , 0) Nash-Gleichgewichte sind. (b) Finde ein Nash-Gleichgewicht, in dem Spieler i ∈ N der Gewinner ist. (c) Zeige, dass f¨ur jeden Spieler i ∈ N die Aktion bi = vi eine schwach dominante Aktion ist.

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