230 Probas conditionnelles et independance

230 Probabilité conditionnelle et indépendance. Variables aléatoires indépendantes. Variance, covariance.

Exemple (1.6 - suite): Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche?

Soit (Ω, A, P) un espace probabilisé.

I.

Caractérisation de la loi exponentielle par son absence de mémoire.

→ Indépendants dans leur ensemble ssi

On suppose un événement B réalisé. On va modifier P pour tenir compte du fait que B est supposé réalisé.

complet. ∀n∊I, Def 1: 1 Soit B un événement de probabilité ≠0. On appelle probabilité conditionnelle à B, ou probabilité sachant B, B associée à P, l'application: P ( A ∩ B) PB : A →ℝ; A↦ PB ( A ) = . P ( B)

On note aussi P(A/B) pour PB(A). Prop 1: 1 L'application PB est une probabilité sur (Ω, A). Exemple (1.6, p.23): On considère deux urnes. U1 contient 2 boules blanches et 1 boule noire. U2 contient 1 blanche et 1 noire. On note B l'événement "la boule tirée est blanche", E1 "elle provient de U1", E2 "elle provient de U2". Calculer PE1(B).

( A ) un système P( A / A )× P( A ) P ( A / A) = . ∑ P( A / A )× P( A )

Prop 4: 4 Formule de Bayes. Bayes Soit

i

i∈ I

n

n

∩A

i

n

=

i =1

∏A

i

i =1

Indépendance mutuelle ⇒ Indep 2 à 2, réciproque fausse (Contre-exemple 1.9 p.26)

n

P ( A / B)× P (B)

Variables aléatoires réelles indépendantes.

P ( A)

Def 3: 3 Deux var X et Y sont indépendantes ssi:

i

i

i∈I

Issue de: P ( B / A ) =

Exemple (1.6 - suite): On suppose que l'on a tiré une boule blanche; quelle est la probabilité que cette boule soit issue de l'urne U1?

II.

( ) n

P

Probabilités conditionnelles p.21.

Escoffier

Evénements indépendants.

On traduit le fait que la réalisation de l'un n'a pas d'influence sur la réalisation de l'autre.

III.

∀ ( B1 ; B2 ) ∈ ( B ) , 2

P ( ( X ∈ B1 ) ∩ ( Y ∈ B2 ) ) = P ( X ∈ B1 ) × P ( Y ∈ B2 ) Exemple5.1 p97: Les variables X et Y ne sont pas indépendantes: P((X