8 Loi binomiale

8 Loi binomiale 8.1 Loi de Bernoulli Définition : • Pour une expérience aléatoire présentant deux issues, l’une S appelée « succès » de probabilité p et l’autre S appelée « échec » de probabilité q = 1 − p, la variable aléatoire X qui prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d’échec est appelée variable aléatoire de Bernoulli. • La loi de probabilité de cette variable aléatoire est appelée loi de Bernoulli de paramètre p: X = xi 0 1 P (X = xi ) 1 − p p

Théorème : Si la variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p, alors son espérance mathématique est égale à p : E(X) = p

Preuve : E(X) =

i=2 X

xi P (X = xi ) = 0 × (1 − p) + 1 × p = p. 

i=1

8.2 Loi binomiale Définition : • L’expérience aléatoire consistant à répéter n fois de manière indépendante une épreuve de Bernoulli de paramètre p s’appelle un schéma de Bernoulli de paramètres n et p. • La loi de probabilité de la variable aléatoire X égale au nombre de succès au cours de ces n épreuves s’appelle la loi binomiale de paramètres n et p, notée B(n ; p).

Exemples : • Dans une urne contenant 3 boules blanches et 2 boules noires on considère le tirage d’une boule blanche comme un succès. On répète 6 fois de suite la même expérience en réintroduisant dans l’urne la boule après chaque tirage. La variable aléatoire X qui compte le nombre de succès, c’est-à-dire de boules blanches tirées, suit la loi binomiale de Å le nombre ã 3 3 paramètres n = 6 et p = : B 6 ; . 5 5 • La variable aléatoire X qui compte le nombre de « pile » Å obtenusã lors de 20 lancers successifs 1 d’une pièce de monnaie (équilibrée) suit la loi binomiale B 20 ; . 2 Cas simples : n = 2 ou n = 3 Pour n = 2 ou n = 3 il est facile de modéliser par un arbre un tel schéma de Bernoulli de paramètres n et p :

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Maths 1es-1l

8. Loi binomiale p

prog 2010

S

P (X = 2) = P ({SS}) = p2

S

P (X = 1) = P ({SS,SS}) = 2pq

S

P (X = 0) = P ({S S}) = q 2

S

p

q

p

q S

q

S

On constate que : P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p2 + 2pq + q 2 = (p + q)2 = 1

p p

S

S q

p

q

S S

S q

S

p

S

q p

S S

P (X = 3) = P ({SSS}) = p3

q p

S S

P (X = 2) = P ({SSS,SSS,SSS}) = 3p2 q

q p

S S

q

P (X = 1) = P ({SS S,SSS,S SS}) = 3pq 2 P (X = 0) = P ({S S S}) = q 3

S

On peut vérifier que : P (X = 3) + P (X = 2) + P (X = 1) + P (X = 0) = p3 + 3p2 q + 3pq 2 + q 3 = (p + q)3 = 1

8.3 Coefficients binomiaux Lorsque n est supérieur le fonctionnement est identique. Pour calculer la probabilité d’obtenir k succès sur n expériences de Bernoulli avec un paramètre p, il faut compter toutes les issues composées de k succès et n − k échecs. D’après la propriété des arbres pondérés chacune de ces issues a la même probabilité pk q n−k . Définition : Soit n un entier naturel non nul et k un entier compris entre 0 et n (0 6 k 6 n). Le nombre de chemins réalisant k succès lors de n répétitions Ç dans å l’arbre d’un schéma de n Bernoulli est appelé coefficient binomial de k parmi n et noté . k

Exemples : • Pour n = 2 dans l’arbre ci-dessus • Pour n = 3 dans l’arbre ci-dessus

Ç å

3 3

= 1;

Ç å

2 2

Ç å

3 2

= 1;

= 3;

Ç å

2 1

Ç å

3 1

= 2 et

= 3 et

Ç å

2 0

Ç å

3 0

= 1.

= 1.

Calcul des coefficientsÇbinomiaux : On uneÇcalculatrice (ou un tableur) pour calculer un å Ç utilise å å 10 10 10 coefficient binomial : = 120 ; = 252 ; = 120. 7 5 3 Théorème : Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, B(n ; p), Ç å n k alors pour tout entier k, 0 6 k 6 n : P (X = k) = p (1 − p)n−k . k

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Maths 1es-1l

8. Loi binomiale

Preuve : L’événement « X = k » comporte

Ç å n k

issues puisqu’il y a k n−k

échecs. Les issues ayant toutes la même probabilité p q

prog 2010 Ç å n k

chemins réalisant k succès et n − k

, on obtient bien le résultat P (X = k) =

Ç å

n k n−k p q k

avec q = 1 − p. 

Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, avec remise, la variable aléatoire X égale au nombre de boules blanches tirées suit une loi binomiale. Sa loi de probabilité est donnée par : Ç å Å ãk Å ãn−k 2 3 6 × , pour 0 6 k 6 n P (X = k) = × 5 5 k alors : P (X = 0) = P (X = 1) = P (X = 2) = P (X = 3) = P (X = 4) = P (X = 5) = P (X = 6) =

6
0 6
1 6
2 6
3 6
4 6
5 6
6

×

Ä ä0 3 5

× 0,6 × ×

0,62

Ä ä6

2 5 0,45

×

×

= 1 × 0,46 ≈ 0,0041,

≈ 6 × 0,0061 ≈ 0,0369,

0,44

≈ 15 × 0,0092 ≈ 0,1382,

× 0,63 × 0,43 ≈ 20 × 0,0138 ≈ 0,2765, × 0,64 × 0,42 ≈ 15 × 0,0207 ≈ 0,3110, × 0,65 × 0,4 ≈ 6 × 0,0311 ≈ 0,1866, × 0,66 ≈ 1 × 0,0467 ≈ 0,0467.

Théorème (admis) : Si la variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, B(n ; p), alors son espérance mathématique est E(X) = np. Exemples : • Pour 6 tirages d’une boule blanche sur 3 parmi 5, l’espérance mathématique est 3 6 × = 3,6. 5 • Pour 20 lancers d’une pièce de monnaie, l’espérance mathématique du nombre de « pile » (ou 1 « face ») est de E(X) = 20 × = 10. 2

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