Analysis III Zusammenfassung - informatik.uni

Charaktere endlicher abelscher Gruppen Katrin Harries 9. August 2006 Seminar Kombinatorik und Zahlentheorie

Inhaltsverzeichnis 1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen 1.1 Dualit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Definition . . . . . . . . . . . 1.1.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Bemerkung . . . . . . . . . . 1.1.4 Satz . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 Bemerkung . . . . . . . . . . 1.1.6 Satz . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Orthogonalit¨atsrelationen . . . . . . 1.2.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Korollar . . . . . . . . . . . . 1.3 Modulare Charaktere . . . . . . . . . 1.3.1 Satz . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Literaturangaben . . . . . . . . . . .

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3 3 3 4 5 5 5 6 6 6 7 7 8 9

1 Charaktere endlicher abelscher Gruppen Sei G eine endliche abelsche Gruppe (G, ·)

1.1 Dualit¨ at 1.1.1 Definition Ein Charakter von G ist definiert als ein Homomorphismus von G in die multiplikative Gruppe C∗ = C\{0} der Komplexen Zahlen. ˆ Dies wird auch als Dual von Die Charaktere von G bilden die Gruppe Hom(G,C∗ )=:G. G bezeichnet. Ein Charakter hat die Eigenschaft χ(a)χ(b) = χ(ab), da χ ein Homomorphismus ist. Beispiel Sei G zyklisch (von einem Element erzeugt) mit Ordnung n und Erzeuger s. Falls χ : G → C∗ ein Charakter von G, so erf¨ ullt das Element w = χ(s) die Gleichung wn = 1, denn da G zyklisch und von endlicher Ordnung ist, existiert ein n ∈ N, so dass sn = e (das neutrale Element der Gruppe bez¨ uglich der Multiplikation). Daraus ergibt sich dann χ(sn ) = χ(s)n = χ(e) = 1 und da χ ein Gruppenhomomorphismus folgt sofort wn = 1. Die L¨angen sind die n-ten Einheitswurzeln. Ein solches w definiert durch sn 7→ wa a ∈ Z einen Charakter von G. Somit ist die Abbildung χ 7→ χ(s) ein ˆ auf die Gruppe µn der n-ten Einheitswurzeln. Also ist dann G ˆ Isomorphismus von G zyklisch von der Ordnung n. Beispiel fu ¨ r einen Charater Legendre Charakter: Sei G(p) eine multiplikative Gruppe von (Z/pZ)∗ p prim 6= 2 Dann ist G(p) zyklisch der Ordnung p − 1, es existiert ein eindeutiger Charakter der Ordnung 2. Der Legendre Charakter   x x 7→ p Exkurs: Legendre Symbol Sei p Primzahl 6= 2 und sei x ∈ G(p) So ist das Legendre Symbol definiert als:   x := x(p−1)/2 = ±1 p Es gilt: x 0 falls x = 0

:= 0

Außerdem ist die Charktereigenschaft erf¨ ullt:       x y x·y · = p p p Dies l¨asst sich leicht u ¨ber die Definition ausrechnen x(p−1)/2 · y (p−1)/2 = (x · y)(p−1)/2 Weitere Eigenschaften des Legendre Symbols:   1 • p =1   • xp = (−i)ε(x)   • p2 = (−i)ω(x) Beweise siehe Serre Das Quadratische Reziprozit¨ ats Gesetz Es gilt:     l p = (−1)ε(l)ε(p) p l f¨ ur l, p 6= 2 verschiedene Primzahlen Beiweis siehe Serre Definition von ε(n) und ω(n) ε und ω sind jetzt und auch sp¨ater immer wie folgt definiert:

n−1 ( ε(n) := 2

n2 − 1 ( ω(n) := 8

( mod 2) =

0, falls n = +1( mod 4) 1, falls n = −1( mod 4)

( mod 2) =

0, falls n = ±1( mod 8) 1, falls n = ±5( mod 8)

1.1.2 Satz Sei H eine Untergruppe von G Jeder Charakter von H l¨asst sich zu einem Charakter von G fortsetzen. Beweis Induktion u ¨ber den Index (G : H) von H in G Falls (G : H) = 1 so ist man schon fertig, denn dann ist G = H und man braucht nichts mehr fortzusetzen. Sei x ∈ G, x ∈ / H, sei n > 0 die kleinste positive Zahl, so dass xn ∈ H. Diese Bedingung ist sp¨atestens mit xn = e erf¨ ullt, denn e ist auf jeden Fall in H, da H Untergruppe ist. Sei nun χ ein Charakter von H und sei t = χ(xn ) Da C∗ eine teilbare Gruppe ist, kann man w ∈ C∗ w¨ahlen, so dass wn = t. Sei H´ eine weitere Untergruppe von G, erzeugt von H und x. Jedes Element h’ von H’ l¨asst sich dann schreiben als h0 = hxa , a ∈ Z, h ∈ H

Setze nun χ0 (h0 ) = χ(h)wa . Damit stimmen χ0 und χ in den Elementen der Untergruppe u ¨berein. 0 a 0 Diese Zahl ist unabh¨angig von der Zerlegung h = hx und χ : H 0 → C∗ ist ein Charakter von H 0 . Da (G : H 0 ) < (G : H) folgt induktiv, χ0 l¨asst sich zu einem Charakter von G fortsetzen. Man nimmt quasi zu jeder weiteren Untergruppe H 00 immer wieder ein Element x ∈ G, x∈ / H 0 dazu, bis man H 00 zu ganz G fortgesetzt hat. 1.1.3 Bemerkung ˆ→H ˆ Die Einschr¨ankung ρ(χ) := χ | H definiert einen Homomorphismus ρ : G Nach Satz 1.1.2 ist ρ surjektiv. ˆ die trivial auf H sind. Weiterhin ist der Kern von ρ die Menge der Charaktere in G, [ Damit ist der Kern von ρ gleich G/H. ˆ ˆ ist isomorph zu G nach dem Isomorphiesatz. H \ (G/H)

Insgesamt erh¨alt man eine exakte Sequenz (d.h. das Bild eines Homomorphismus ist Kern des n¨achsten): [ →G ˆ→H ˆ → {1} {1} → G/H 1.1.4 Satz ˆ ist eine endliche abelsche Gruppe der gleichen Ordnung wie G. Die Gruppe G Beweis Induktion u ¨ber die Ordnung n von G n = 1 ist trivial, denn dann besteht die Gruppe G nur noch aus dem Neutralen Element ˆ auf 1 abgebildet, also dem Neutralen Element in der mule und dieses wird von χ ∈ G tiplikativen Gruppe. Daraus folgt sofort, die Ordnungen sind gleich. F¨ ur n ≥ 2 w¨ahle eine nicht-triviale zyklische Untergruppe H von G. Nach der obigen [ ˆ das Produkt der Ornungen von H ˆ und G/H Bemerkung gilt, dass die Ordnung von G ist, \ ˆ = ordH ˆ · ord(G/H). ordG [ ˆ (bzw. G/H), Aber die Ordnung von H (bzw. G/H ) ist gleich der Ordnung ihres Duals H nach Induktionsannahme. Damit erh¨alt man insgesamt [ = ordH · ordG/H = ordG ˆ = ordH ˆ · ordG/H ordG 1.1.5 Bemerkung Es l¨asst sich zeigen: ˆ ist isomorph zu G. G Dazu zerlegt man G in ein Produkt zyklischer Gruppen.

ˆ denn es gilt Falls x ∈ G, so ist die Funktion xˆ : χ 7→ χ(x) ein Charakter von G, xˆ(χ · ψ) = χ · ψ(x) = χ(x) · ψ(x) = xˆ(χ) · xˆ(ψ) ˆˆ :G→G sei die durch x 7→ xˆ definierte Abbildung und ist ein Homomorphismus. 1.1.6 Satz ˆˆ Der Homomorphismus  ist ein Isomorphismus von G in sein Bidual G. Beweis ˆˆ Da G und G nach Satz 1.1.4 die gleiche Ordnung haben, gen¨ ugt es zu zeigen, dass  injektiv ist. Denn da die Ordnung endlich ist, sind surektiv, injektiv und bijektiv gleich. Es gilt:  ist injektiv ⇔ Kern() = {1} Es gen¨ ugt also zu zeigen, falls x 6= 1, x ∈ G, existiert ein Charakter χ, so dass χ(x) 6= 1. Sei nun H die zyklische Untergruppe von G, die von x erzeugt wird. Offensichtlich existiert ein Charakter χ von H, so dass χ(x) 6= 1. Das heißt, es gibt mindestens zwei Elemente, e wird auf 1 abgebildet und x wird nicht auf 1 abgebildet. Mit Satz 1.1.2 wird χ zum Charakter von G fortgesetzt, welches genau das Gew¨ unschte leistet.

1.2 Orthogonalit¨ atsrelationen 1.2.1 Satz ˆ Sei n = Card(G) und sei χ ∈ G Dann gilt: ( X

χ(x) =

x∈G

n, falls χ = 1 0, falls χ 6= 1

Beweis Die erste Gleichung ist trivial, denn falls χ = 1 summiert man wegen Card(G) = n n-mal u ¨ber die 1. Also folgt: X 1=n x∈G

F¨ ur die zweite Gleichung w¨ahle y ∈ G, so dass χ(y) 6= 1. Daraus folgt: X X X χ(y) · χ(x) = χ(y · x) = χ(x) x∈G

denn y bewirkt f¨ ur Umstellen ergibt:

P

x∈G

x∈G

x∈G

χ(x) nichts weiter, als eine Permutation der n Elemente.

(χ(y) − 1)

X x∈G

χ(x) = 0

Da aber χ(y) 6= 1 gew¨ahlt war, folgt daraus, dass X χ(x) = 0 x∈G

sein muss. Also gilt auch die zweite Gleichung. 1.2.2 Korollar Sei n = Card(G) und x ∈ G Dann gilt: ( X

χ(x) =

ˆ χ∈G

n, falls x = 1 0, falls x 6= 1

ˆ denn xˆ = 1 Dies ergibt ich sofort aus Satz 1.2.1 angewendet auf die Duale der Gruppe G, genau dann, wenn x = 1 und χ(x) = xˆ(χ). Bemerkung Die obigen Ergebnisse sind Spezialf¨alle der Orthogonalit¨atsrelationen der Charaktertheorie endlicher Gruppen (nicht notwedigerweise abelscher).

1.3 Modulare Charaktere Sei m ≥ 1 G(m) := (Z/mZ)∗ definiert die multiplikative Gruppe der invertierbaren Elemente (Einheiten) des Rings Z/mZ(= Zm ). Dies ist eine abelsche Gruppe der Ordung φ(m), wobei φ(m) die Eulersche-φ-Funktion von m, die die Anzahl der zu m teilerfremden Zahlen ≤ m angibt. Ein Element χ des Duals von G(m) wird Charakter modulo m genannt. Dies kann als Funktion angesehen werden, die auf der Menge der Zahlen definiert ist, die prim zu m sind (also{k ∈ Z|(k, m) = 1}), mit Werten in C∗ , so dass χ(a) · χ(b) = χ(a · b) gilt, also die Charakterbedingung erf¨ ullt ist. Man kann diese Funktion leicht auf ganz Z erweitern, imdem man χ(a) = 0 setzt, falls a nicht prim zu m, (also {k ∈ Z|(k, m) 6= 1}). Beispiele 1.) m = 4 die Gruppe G(4) hat zwei Elemente, 1 und 3 Es gibt einen trivialen Charakter, der auf die Identit¨at abbildet (x 7→ 1). Und es gibt einen nicht-trivialen Charakter, welcher definiert ist als: x 7→ (−1)ε(x) ε(x) ist wie im obigen Beispiel definiert. 2.) m = 8 die Gruppe G(8) hat vier Elemente, 1, 3, 5 und 7 Es gibt nat¨ urlich wieder einen trivialen Charakter, x 7→ 1, x ∈ G. Und es gibt drei nicht-triviale Charaktere x 7→ (−1)ε(x) x 7→ (−1)ω(x) x 7→ (−1)ε(x)+ω(x)

ε und ω sind definiert, wie im obigen Beispiel. 3.) siehe obiges Bespiel: Legendre Charakter 1.3.1 Satz Sei a 6= 0 quadratfrei und sei m = 4|a|   Dann existiert ein eindeutiger Charakter χa modulo m, so dass χa (p) = ap f¨ ur alle Primzahlen p, die m nicht teilen, also f¨ ur alle (p, m) = 1. 2 Es gilt χa = 1 und χa 6= 1, falls a 6= 1. Beweis Die Eindeutigkeit von χa ist klar, denn alle Zahlen a, die prim zu m sind, lassen sich in Primfaktoren   l1 · ... · lk zerlegen, die prim zu m sind. Nach Definition des Legendre ur x ∈ G(m), x 6= 0. Symbol ist xp = ±1 f¨ Daraus ergibt sich dann auch χ2a = (±1)2 = 1 f¨ ur jede einzelne Primzahl. Und damit ist dann f¨ ur ganz a: k 2 χa = 1 = 1. Zu zeigen bleibt die Existenz von χa : Sei a = l1 · ... · lk mit li , i ∈ N verschiedene Primzahlen ungleich 2. Setze     x x ε(x)·ω(a) χa (x) = (−1) ··· l1 lk Falls p Primzahl ungleich 2, l1 , ..., lk , liefert das Quadratische-Reziprozit¨ats-Gesetz:       l1 lk a χa (p) = ··· = p p p und χa hat die ben¨otigte Eigentschaft.   In der Tat erh¨alt man χa 6= 1, wenn wir x so w¨ahlen, dass lx1 = −1 und x = 1 ( mod 4l2 · · · lk ), so istχa (x) = −1 Falls a negativ, also -b (oder 2b oder -2b) mit b = l1 · · · lk , dann nutze χa und erhalte χb durch (−1)ε(x) oder (−1)ω(x) oder (−1)ε(x)+ω(x) und mit dem gleichen Argument wie oben folgt χa ∈ / 1, falls a ∈ / 1.

1.4 Literaturangaben Serre, Jean-Pierre; A Course in Arithmetic; Springer-Verlag, New York 1973. Bosch, Siegfried; Algebra; Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2004.