Angle inscrit_au centre

CERCLES - ANGLES INSCRITS - ANGLES AU CENTRE B

1. Définitions B

O

C

A) Angle au centre O

C

Un angle au centre est un angle dont le sommet est le centre du cercle. B

BOC est un angle au centre.

͡ BOC intercepte l’arc AB O

C

B) Angle inscrit Un angle inscrit est un angle dont le sommet est sur le cercle et dont les côtés sont sécants avec le cercle. B

B

B

B A

A

C

C O

B

O

O

non

A

A C

O

O

oui

oui

C

non

C

B

͡ L’angle inscrit BAC intercepte l’arc BC O

A

B

B

C

O

2. Propriété

O

C

B

A) Exemple B

A

O

B

1 ?

B

L’angle inscrit BAC et l’angle au centre BOC O

20°

C

C

͡ interceptent le même arc de cercle BC. D’après les mesures indiquées, on a :

40°

O

2

C

BAC = 20° + 40°

O C

BAC = 60° Nous allons montrer que BOC = 120°

C

B

Un tour complet autour du point O correspond à un angle de 360°. Donc O

C

BOC = 360° – ( O1 + O2 )

égalité ➀

Le triangle BOA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a : B

O

O1 = 180° – 2 x 20° = 180° – 40° = 140° C

B

Le triangle COA est isocèle en O. Ses angles à la base sont égaux. Par suite, on a : O

C

O2 = 180° – 2 x 40° = 180° – 80° = 100° L’égalité ➀ devient : BOC = 306° – ( 140° + 100° ) = 360° – 240° = 120° CQFD B

B) Théorème B

B

SI, dans un cercle, un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, ALORS l’angle au centre vaut le double de l’angle inscrit. O

C

O

CO

B

C

B

C) Démonstration

B O

O

C

C

Raisonnons comme pour l’exemple. O

A

C

BOC = 360° – ( O1 + O2 ) Dans le triangle BOA isocèle en O, on a : B

égalité ➀

B

1

2

B

O

O

C

C

O1 = 180° – 2 x A1 = 180° – 2 A1 Dans le triangle COA isocèle en 0, on a : B

O

1

B

O

B

O2 = 180° – 2 x A2 = 180° – 2 A2 L’égalité ➀ devient : B

B

O

O

C

O

C

B

C

B

B

CO

O

C C

O

C

C

= 360° – [ 360° – 2 A1 – 2 A2 ] O

C O

C

O

C

C

= 360° – 360° + 2 A1 + 2 A2 O

C

= 2 ( A1 + A2 ) Or, d’après la disposition A1 + A2 = BAC Donc

C

B

BOC = 360° – [ ( 180° – 2 A1 ) + ( 180° – 2 A2 ) ] O

O

O

C

B

B

B

B

O

BOC = 2 x BAC

CQFD

2

O

C

B

B

B

C

3. Angles inscrits égaux

B

B

I

B

C

O B

O

C

O

C B

B O

C

J O

C O

C

BIC et BJC sont deux angles inscrits qui interceptent le même arc ͡ BC. Donc, ils ont égaux chacun à la moitié de l’angle au centre BOC. Par suite, ils sont égaux :

BIC = BJC Théorème

SI deux angles inscrits interceptent le même arc de cercle ALORS ils sont égaux.