Angles et parallélisme Exercices corrigés

Angles et parallélisme Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche :            

Exercice 1 : montrer que deux angles sont complémentaires Exercice 2 : trouver l’angle complémentaire à un angle Exercice 3 : montrer que deux angles sont supplémentaires Exercice 4 : trouver l’angle supplémentaire à un angle Exercice 5 : angles aigus et obtus Exercice 6 : angles adjacents Exercice 7 : angles opposés par le sommet Exercice 8 : angles alternes-internes et angles correspondants Exercice 9 : angles formés par deux droites parallèles et une droite sécante Exercice 10 : angles de même mesure et parallélisme de deux droites Exercice 11 : somme des angles dans un triangle Exercice 12 : cas particuliers du triangle rectangle, du triangle isocèle et du triangle équilatéral

Rappel : Dénomination d’un angle En général, on utilise trois lettres pour nommer un

Sommet de l’angle

angle. La lettre centrale désigne alors le sommet. A droite, est représenté l’angle ̂ , que l’on peut

Demi-droite

aussi noter ̂ . Demi-droite

Remarque : Cependant, une seule lettre peut suffire s’il n’y a aucun risque de confondre. Ainsi, à droite sont représentés l’angle ̂ en orange, l’angle ̂ en bleu et l’angle ̂ en rouge. On peut noter de 3 manières différentes l’angle ̂ .

̂

̂

̂

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1

Exercice 1 (1 question)

Niveau : facile

Dans chaque cas, dire si l’angle bleu et l’angle rouge sont complémentaires. 1)

2)

3)

4)

Correction de l’exercice 1

Rappel : Angles complémentaires Deux angles ̂ et ̂ sont complémentaires si la somme de leurs mesures est égale à ̂

̂

, c’est-à-dire si

. Autrement dit, si la somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle droit.

1) L’angle rouge mesure La somme des angles est égale à 2) L’angle rouge mesure

et l’angle bleu mesure

. La somme de ces angles est donc

.

donc les angles sont complémentaires. et l’angle bleu mesure

La somme des angles n’est pas égale à

. La somme de ces angles est

.

donc les angles ne sont pas complémentaires.

3) L’angle bleu mesure et l’angle rouge mesure . La somme de ces angles ne peut pas être égale à car la mesure de l’angle bleu, à elle seule, est déjà supérieure à . Il n’est pas toujours Les angles ne sont pas complémentaires. 4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle droit gris. La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à complémentaires.

nécessaire d’effectuer des calculs ! donc les angles sont

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2

Exercice 2 (1 question)

Niveau : facile

Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle complémentaire à l’angle proposé. 1) ̂

2) ̂

3) ̂

Correction de l’exercice 2 1) On cherche un angle complémentaire à l’angle ̂ donc on cherche un angle ̂ tel que ̂ ̂ Autrement dit, on cherche ̂ tel que ̂ . L’angle de mesure

est complémentaire à l’angle de mesure

2) On cherche un angle ̂ tel que ̂

̂

̂

.

.

. On cherche donc ̂ tel que ̂

̂

Cette mesure d’angle est négative donc il n’existe pas d’angle complémentaire à l’angle de mesure 3) On cherche un angle ̂ tel que ̂

̂

. On cherche donc ̂ tel que ̂

L’angle de mesure est l’angle complémentaire à l’angle de mesure droit sont complémentaires.

. .

̂

.

. Autrement dit, l’angle nul et l’angle

Remarque : On pourra retenir qu’un angle obtus n’a pas d’angle complémentaire.

Exercice 3 (1 question)

Niveau : facile

Dans chaque cas, dire si les angles sont supplémentaires. 1)

2)

3)

4)

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3

Correction de l’exercice 3 Rappel : Angles supplémentaires Deux angles ̂ et ̂ sont supplémentaires si la somme de leurs mesures est égale à somme de leurs mesures est égale à la mesure d’un angle plat. On a donc : ̂

1) L’angle rouge mesure .

et l’angle bleu mesure

La somme des angles n’est pas égale à 2) L’angle bleu mesure

3) L’angle rouge mesure

.

. La somme de ces angles est par conséquent

donc les angles ne sont pas supplémentaires.

et l’angle rouge mesure

La somme des angles est égale à

̂

, c’est-à-dire si la

. La somme de ces angles est

.

donc les angles sont supplémentaires. et l’angle rouge mesure

La somme des angles n’est pas égale à

. La somme de ces angles est

.

donc les angles ne sont pas supplémentaires.

Remarque : On pourra retenir que deux angles aigus ne sont pas supplémentaires. 4) Dans ce cas, on ne dispose que d’une mesure d’angle, celle de l’angle plat gris. La somme des mesures de l’angle bleu et de l’angle rouge est, par codage, égale à supplémentaires.

Exercice 4 (1 question)

donc les angles sont

Niveau : facile

Dans chaque cas, donner si possible la mesure d’un angle supplémentaire à l’angle proposé. 1) ̂

2) ̂

3) ̂

Correction de l’exercice 4 1) On cherche un angle supplémentaire à l’angle ̂ donc on cherche un angle ̂ tel que ̂ ̂ Autrement dit, on cherche ̂ tel que ̂ . L’angle de mesure

est supplémentaire à l’angle de mesure

est supplémentaire à l’angle de mesure

.

.

2) On cherche un angle supplémentaire à ̂ donc on cherche un angle ̂ tel que ̂ ̂ dit, on cherche ̂ tel que ̂ . L’angle de mesure

̂

̂

. Autrement

.

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4

3) On cherche un angle ̂ tel que ̂ .

̂

. Par conséquent, on cherche ̂ tel que ̂

L’angle de mesure est l’angle supplémentaire à l’angle de mesure sont supplémentaires.

̂

. Autrement dit, deux angles droits

Exercice 5 (2 questions)

Niveau : moyen

Dans chacun des quatre cas ci-dessous, construire, si possible, l’angle décrit et dire s’il est aigu ou obtus. 1) Un angle complémentaire à un angle aigu. 2) Un angle complémentaire à un angle obtus.

3) Un angle supplémentaire à un angle aigu. 4) Un angle supplémentaire à un angle obtus.

Correction de l’exercice 5

Rappel : Angle aigu et angle obtus 

Un angle aigu mesure entre

et

exclus.



Un angle obtus mesure entre

et

exclus.

1) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle aigu.

Regardons dans un second temps s’il existe un angle complémentaire en cherchant un angle ̂ tel que ̂ .

Construisons ensuite cet angle, en rouge.

Enfin, concluons. L’angle obtenu est un angle aigu.

̂ Il existe bien un angle complémentaire de mesure . Remarque : On pourra retenir que l’angle complémentaire à un angle aigu est un angle aigu.

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5

2) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle obtus.

Regardons dans un second temps s’il existe un angle complémentaire en cherchant un angle ̂ tel que ̂ . ̂ Il n’existe donc pas d’angle complémentaire.

Remarque : On pourra retenir qu’il n’existe pas d’angle complémentaire à un angle obtus.

3) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle aigu.

Regardons dans un second temps s’il existe un angle supplémentaire en cherchant un angle ̂ tel que ̂ .

Construisons ensuite cet angle, en rouge.

Enfin, concluons. L’angle obtenu est un angle obtus.

̂ Il existe bien un angle supplémentaire de mesure . Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle aigu est un angle obtus.

4) Construisons dans un premier temps, en bleu, un angle obtus.

Regardons dans un second temps s’il existe un angle supplémentaire en cherchant un angle ̂ tel que ̂ .

Construisons ensuite cet angle, en rouge.

Enfin, concluons. L’angle obtenu est un angle aigu.

̂ Il existe bien un angle supplémentaire de mesure . Remarque : On pourra retenir que l’angle supplémentaire à un angle obtus est un angle aigu.

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Exercice 6 (1 question)

Niveau : facile

Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont adjacents. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

Correction de l’exercice 6

Rappel : Angles adjacents Deux angles adjacents ̂ et ̂ sont deux angles qui : 

ont le même sommet



ont un côté commun



se situent de part et d’autre de ce côté commun

Côté commun

Sommet commun

1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet et un côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun. Ainsi, ces angles sont adjacents.

Sommet commun

Côté commun

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2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet mais pas de côté commun. Donc ces angles ne sont pas adjacents.

Sommet commun

3) L’angle rouge et l’angle bleu n’ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas adjacents.

4) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet et un côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun. Donc ces angles sont adjacents. Sommet commun Côté commun 5) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet et un côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun. Par conséquent, ces angles sont adjacents.

6) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet et un côté commun mais ils ne se situent pas de part et d’autre de ce côté commun. Donc ces angles ne sont pas adjacents.

Sommet commun

Côté commun

Sommet commun

Côté commun

Exercice 7 (1 question)

Niveau : facile

Dans chaque cas, dire si les angles rouge et bleu sont opposés par le sommet. Lorsqu’ils ne le sont pas, justifier. 1)

2)

3)

4)

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Correction de l’exercice 7 Rappel : Angles opposés par le sommet Deux angles opposés par le sommet sont deux angles qui : 

ont le même sommet



ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre

Sommet commun

Remarque : Deux angles opposés par le sommet ont même mesure et sont symétriques par rapport au sommet.

1) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu, mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas opposés par le sommet. Remarque : Observant que les angles ne sont pas de même mesure, on peut directement conclure que les angles ne sont pas opposés par le sommet. 2) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. De plus, ces angles ont leurs côtés dans le prolongement l’un de l’autre donc ils sont opposés par le sommet. 3) L’angle rouge et l’angle bleu ont le même sommet. L’un des côtés de l’angle rouge est dans le prolongement d’un des côtés de l’angle bleu, mais le deuxième côté de l’angle rouge n’est pas dans le prolongement de l’autre côté de l’angle bleu. Par conséquent, ces angles ne sont pas opposés par le sommet. 4) L’angle rouge et l’angle bleu ont la même mesure, d’après le codage. Toutefois, ils n’ont pas le même sommet donc ces angles ne sont pas opposés par le sommet.

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Exercice 8 (2 questions)

Niveau : facile

En utilisant la figure ci-contre, 1) nommer des angles alternes-internes formés par les droites et et la sécante 2) nommer des angles correspondants formés par les droites et et la sécante

Correction de l’exercice 8

Rappel : Angles alternes-internes et angles correspondants Soient deux droites sécante

et

coupées par une droite

.

Deux angles alternes-internes sont deux angles formés par ces trois droites et : 

qui n’ont pas le même sommet



qui sont de part et d’autre de la droite sécante



qui sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites

et

Deux angles correspondants sont deux angles formés par ces trois droites et : 

qui n’ont pas le même sommet



qui sont du même côté de la droite sécante



dont l’un est à l’intérieur de la bande délimitée par les droites

et

et dont l’autre est à l’extérieur

de cette bande

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1) Les angles bleus ̂ et ̂ sont alternesinternes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et d’autre de la sécante verte.

Les angles bleus ̂ et ̂ sont alternesinternes. En effet, ils n’ont pas même sommet, se situent à l’intérieur de la bande grise et sont de part et d’autre de la sécante verte.

2) ̂ et ̂ sont Les angles rouges correspondants. En effet, ils n’ont pas même sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.

Les angles rouges ̂ et ̂ sont correspondants. En effet, ils n’ont pas même sommet, sont du même côté de la sécante verte et l’un se trouve à l’intérieur de la bande grise alors que l’autre se trouve à l’extérieur de cette bande.

Exercice 9 (1 question)

Niveau : moyen

On sait que :  les droites et sont parallèles ;  les points , et sont alignés dans cet ordre ;  les points , et sont alignés dans cet ordre ;  les points , et sont alignés dans cet ordre. A l’aide des mesures portées sur la figure et des informations données ci-dessus, donner la mesure des angles ̂ , ̂ , ̂ , ̂ , ̂ et ̂ . Angles et parallélisme – Exercices corrigés © SOS DEVOIRS CORRIGES (marque déposée)

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Correction de l’exercice 9 Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure Si deux droites 

et

sont parallèles et coupées par une droite sécante

, alors :

les angles alternes-internes qu’elles forment ont même mesure Les angles bleus ont la même mesure. Les angles rouges

Droites parallèles

ont la même mesure.



les angles correspondants qu’elles forment ont même mesure

Les angles bleus sont tous de même mesure.

Les angles rouges sont tous de même mesure.



Calculons la mesure de l’angle ̂ .

Les droites et sont parallèles et elles sont coupées par la droite donc elles forment des angles correspondants de même mesure. Or, comme les angles ̂ et ̂ sont correspondants, il en ̂ résulte que ̂ L’angle ̂ mesure

.

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

Calculons la mesure de l’angle ̂ .

Les points , et sont alignés dans cet ordre donc l’angle ̂ est un angle plat. Autrement dit, ̂ . En outre, les angles ̂ et ̂ sont adjacents car ils ont le même sommet , le même côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun. ̂ ̂ Ainsi, ̂ (autrement dit, les angles ̂ et ̂ sont supplémentaires). Par conséquent, en remplaçant par les mesures connues, on a : ̂ ̂ ̂ 

L’angle ̂ mesure

.

L’angle ̂ mesure

.

Calculons la mesure de l’angle ̂ .

Comme les droites et sont parallèles et coupées par la droite , elles forment des angles correspondants de même mesure. Les angles ̂ et ̂ étant correspondants, on a : ̂ ̂ L’angle ̂ mesure 

.

Calculons la mesure de l’angle ̂ .

Les points , et sont alignés dans cet ordre. Par conséquent, l’angle ̂ est un angle plat. De plus, les angles ̂ et ̂ sont adjacents car ils ont le même sommet , le même côté commun et se situent de part et d’autre de ce côté commun. ̂ ̂ De ce fait, ̂ (ce qui signifie en d’autres termes que les angles ̂ et ̂ sont supplémentaires). Il s’ensuit, en remplaçant par les mesures connues, que : ̂ ̂ ̂ 

Calculons la mesure de l’angle ̂ .

Les angles ̂ et ̂ sont opposés par le sommet donc ils ont ̂ même mesure. On a donc ̂ L’angle ̂ mesure



.

Calculons la mesure de l’angle ̂ .

1ère méthode : Les points , et sont alignés dans cet ordre. Donc l’angle ̂ est un angle plat. Les angles ̂ et ̂ sont adjacents et supplémentaires puisque ̂ ̂ ̂ . Il vient alors que : ̂ ̂ ̂ L’angle ̂ mesure

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2e méthode : Les angles ̂ et ̂ sont opposés par le sommet donc ils ont la même mesure. ̂ Par conséquent, on obtient ̂ L’angle ̂ mesure

.

3ème méthode : Les droites et sont parallèles et elles sont coupées par la droite ; donc elles forment des angles alternes-internes de même mesure. Or, les angles ̂ et ̂ sont alternes-internes puisqu’ils n’ont pas le même sommet, sont de part et d’autre de la droite sécante et sont à l’intérieur de la bande délimitée par les droites et . ̂ Il en résulte que ̂ L’angle ̂ mesure

.

En résumé, on a : Remarques :  Il peut exister plusieurs démonstrations possibles. Quelle que soit la méthode utilisée, il convient de détailler la rédaction pour montrer au correcteur que les savoirs (définitions, propriétés…) et les savoir-faire sont parfaitement maitrisés.  Il serait possible de calculer la mesure des angles manquants, à savoir d’une part ̂ et d’autre part ̂ , en utilisant la formule de la somme des angles dans les triangles d’une part et d’autre part. Exercice 10 (1 question)

Niveau : facile

Dans chacun des quatre cas suivants, dire si les droites 1)

et

sont parallèles. Justifier.

2)

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3)

4)

Correction de l’exercice 10

Rappel : Parallèles, sécante et angles de même mesure (réciproque) 

Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes de même mesure, alors ces droites sont parallèles. Angles de même mesure

La droite bleue est parallèle à la droite rouge.



Si deux droites coupées par une sécante forment deux angles correspondants de même mesure, alors ces droites sont parallèles.

Les droites rouge et bleue sont parallèles.

1) D’après le dessin, les angles ̂ et ̂ sont des angles correspondants. De plus, ̂ ̂ . Ainsi, les droites et coupées par la sécante forment des angles correspondants de même mesure. Il s’ensuit que les droites et sont parallèles.

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2) D’après le dessin, les angles ̂ et ̂ sont des angles alternes-internes. De plus, ̂ ̂ . Ainsi, les droites et coupées par la sécante forment des angles alternes-internes de mesures différentes. Par conséquent, les droites et ne sont pas parallèles. 3) Les points , et sont alignés dans cet ordre donc les angles ̂ et ̂ sont des angles adjacents et supplémentaires. On a donc : ̂ ̂ d’où : ̂ ̂ On a donc ̂ ̂ . ̂ Par ailleurs, les angles et ̂ sont correspondants. En conséquence, les droites et sont parallèles. 4) Les angles ̂ et ̂ sont opposés par le sommet donc ils sont de même mesure. Ainsi, on a ̂ ̂ On a donc finalement ̂ ̂ . Or, les angles ̂ et ̂ sont des angles correspondants. Autrement dit, les angles ̂ et ̂ sont correspondants et de même mesure. Par conséquent, les droites et sont parallèles.

Exercice 11 (2 questions)

Niveau : facile

En utilisant la figure ci-contre, calculer la mesure respective des angles ̂ et ̂ puis en déduire celle de ̂ .

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Correction de l’exercice 11 Rappel : Somme des angles dans un triangle

Droite parallèle à

Dans un triangle, la somme des trois angles est égale à

. On a : ̂

̂

̂

Autrement dit, les trois angles d’un triangle sont supplémentaires.





1ère étape



2ème étape

3ème étape

Dans le triangle , la somme Dans le triangle , la somme Les angles ̂ et ̂ sont ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ des angles , et est des angles , et ̂ est adjacents. égale à . égale à . On a donc : ̂ ̂ ̂ On a donc : On a donc : ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ C’est-à-dire : ̂ ̂ L’angle ̂ mesure

̂

.

C’est-à-dire : ̂ ̂ L’angle ̂ mesure

̂

L’angle ̂ est un angle obtus de mesure .

.

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Exercice 12 (1 question)

Niveau : moyen

Dans chacun des six cas suivants, donner la mesure de tous les angles du triangle. 1)

2)

3)

4)

5)

6)

Correction de l’exercice 12

Rappel : Mesures d’angles dans un triangle isocèle Si un triangle est isocèle, alors ses angles à la base sont égaux (les angles à la base sont indiqués sur la figure en orange).

Réciproquement, si un triangle a deux angles égaux, alors il est isocèle.

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1) D’après le codage de la figure, ̂ isocèle en . Ainsi, ̂

. Donc le triangle

est

.

En outre, la somme des angles d’un triangle est égale à ̂ ̂ ̂ . D’où : ̂ ̂ ̂

2) D’après le codage, le triangle est isocèle en ̂. On a donc ̂ Par ailleurs, d’après la figure, ̂ .

donc

car

.

Comme, dans un triangle, les angles sont supplémentaires, on a la ̂ ̂ relation suivante : ̂ . ̂ donc, en remplaçant, on a ̂ On vient de montrer que ̂ ⏟ C’est-à-dire ̂ ̂

̂

, soit

̂

̂

.

̂

. Il en résulte que ̂

. Finalement,

.

3) D’après la codage de la figure, le triangle est rectangle en . ̂ Donc . De plus, la figure indique clairement que ̂ . La somme des mesures des angles d’un triangle étant égale à , ̂ ̂ ̂ on a l’égalité suivante : . Il s’ensuit ̂ ̂ que : ̂ . Rappel : Mesures d’angles dans un triangle équilatéral Si un triangle est équilatéral, alors chacun de ses angles mesure

.

Réciproquement, si un triangle a trois angles égaux, alors il est équilatéral.

4) D’après le codage, le triangle est isocèle en et, par ailleurs, ̂ . Or, d’après une propriété du cours, si un triangle isocèle a un angle de , alors il est équilatéral. Par conséquent, ̂

̂

̂

.

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Rappel : Mesures d’angles dans un triangle rectangle isocèle Si un triangle est rectangle isocèle, alors chacun de ses angles aigus mesure

.

Réciproquement, si un triangle a deux angles mesurant

, alors il est

rectangle isocèle. De même, si un triangle rectangle a un angle mesurant , alors il est rectangle isocèle.

5) Le codage montre que le triangle dit, ̂ . De plus, ̂

est rectangle en . Autrement .

D’après une propriété du cours, si un triangle rectangle a un angle de , alors il est rectangle isocèle. Il en résulte que ̂

̂

.

6) D’après la figure, , ce qui signifie que le triangle ̂ isocèle en . Dès lors, il vient que ̂ . D’après une propriété du cours, si un triangle a deux angles de alors il est rectangle isocèle. Donc est rectangle isocèle en . Par conséquent, ̂

est

,

.

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