Arithmétique dans Z

⋇ Arithmétique dans ℤ ⋇ PGCD & PPCM PGCD de 2 entiers relatifs L’ensemble des diviseurs communs à 2 entiers relatifs non nuls a et b a un plus grand élément ∆ qu’on appelle le plus grand diviseur commun à a et b. On note ∆ = PGCD(a,b) ou ∆ = a ∧ b * Tout diviseur commun à a et b divise toute combinaison linéaire au + bv * L’ensemble des diviseurs communs à deux entiers relatifs non tous deux nuls est l’ensemble des diviseurs de leur PGCD * Pour montrer qu’un diviseur d de a et b est le PGCD de a et b il faut montrer que tous les diviseurs de a et b divisent d

Propriété du PGCD (∀ (a, b, c) ∈ (ℤ*)3) ca ∧ cb=|c|(a ∧ b)

Algorithme d’Euclide * Si (a, b) ∈ ℤ x ℕ* et si r est le reste de la division de a par b alors : a ∧ b = b ∧ r on effectue successivement les divisions Ce qui conduit aux résultats b = bq + r et 0≤r