Beräkningar i naturvetenskap och teknik

Magnetism Magnetostatik Beskriver hur magneter med konstanta magnetfält, t.ex. permanentmagneter, växelverkar med varandra och med externa magnetfält. Vi känner till följande effekter: 1. En fritt upphängd magnet ställer in sig parallellt med det jordmagnetiska fältet 2. Den del av en magnet som pekar mot norr benämner vi magnetisk nordpol och den som pekar åt söder för magnetisk sydpol (detta betyder att jordens geografiska nordpol är en magnetisk sydpol och vice versa…) 3. Om vi delar upp en magnet i mindre delar kan vi inte avskilja en separat nord- och sydpol utan de nya mindre delarna av magneten bildar nya magneter med både nord- och sydpol. Man kan dra slutsatsen att det inte finns en magnetisk laddning utan att den enklaste magneten är en dipol.

N

S

N

S

N

S

Magnetostatik

Trots att det inte finns (upptäckts) någon magnetisk laddning observerar man:

Attraktion 4. Olika poler attraherar varandra

N

S

N

S

Repulsion 5. Lika poler repellerar varandra

S

S

N

N

Fältlinjer

N

S

6. Fältlinjernas riktning ges av den riktning en kompassnåls nordpol pekar åt då kompassnålen placeras i ett magnetiskt fält. 7. Fältlinjerna bildar slutna banor som pekar från nordpol till sydpol utanför magneten men från sydpol till nordpol inuti magneten. 8. Tätheten hos fältlinjerna är störst vid polerna. 9. Fältlinjer kan inte korsa varandra.

Magnetiska och icke-magnetiska material

B Tre olika fall:

B Dia- och paramagnetism 1. Endast mycket små förändringar uppmäts i det yttre fältet. När materialet tas bort från fältet kan man inte uppmäta något magnetfält kring materialet. Om den lilla förändring man mätte när materialet befann sig i fältet gav ett litet större fält kallas materialet:

Paramagnetiskt om fältet istället blev något mindre kallas materialet Diamagnetiskt Många vanliga material/ämnen tillhör dessa två grupper: trä, luft, glas, koppar, mässing…

Magnetiska och ickemagnetiska material Permanentmagneter

En magnet tillverkad av ett magentiskt material kallas för permanentmagnet. Typiskt används legeringar av Fe, Ni och Al för att tillverka permanentmagneter.

Magnetiseringen hos en permanentmagnet kan fås att försvinna genom att hetta upp magneten. En permanentmagnet förvaras ofta “armerad”, d.v.s. med slutna fältlinjer m.h.a. järnstycken.

N

S

järnstycken S

B

N

Ferromagnetism

B

B Om man däremot placerar ett järnstycke i ett yttre magnetiskt fält så förstärks fältet avsevärt. Ämnen med denna egenskap kallas ferromagnetiska då de ofta är föreningar som innehåller järn (ferrum = latin för järn). Remanens Om magnetfältet kvarstår även efter att det yttre fältet tagits bort, d.v.s om metallstycket har magnetiserats så säger man att materialet uppvisar magnetisk remanens. Materialet uppvisar m.a.o. “minneseffekter” från det tidigare pålagda fältet. Detta beror på att förstärkningen av magnetfältet tillkom i en process som inte är direkt reversibel när fältet togs bort. Vanligt stål uppvisar ofta avsevärd remanens.

Magnetiska domäner

Ferromagnetiskt material

Inom mindre områden i materialet riktar de atomära magnetiska momenten, som kan ses som små magnetiska dipoler, upp sig spontant. Eftersom riktningarna är slumpvis fördelade är det totala fältet utanför materialet litet. Om ett magnetiskt fält läggs över materialet så riktar domänerna upp sig med detta fält på samma sätt som en kompassnål vrider sig i det jordmagnetiska fältet. Den magnetiska kraftverkan utför ett arbete för att göra detta. Upplinjeringen kvarstår efter att fältet avlägsnats.

Nature, UC Berkeley

Magnetiskt flöde och flödestäthet Definition

B

Magnetiskt flödestäthet:B Magnetisk flöde:Φ Θ A

Normal till ytan A

  B A  B A cos()    B  dA

Elektromagnetism Beskriver hur elektriska laddningar och rörelser hos dessa växelverkar med och skapar magnetiska och elektriska fält.

De tre klassiska experimentella upptäckterna:

1. Magnetfält från rak ledare (Örsted och Ampere)

I

B

En konstant ström genom en rak ledare ger upphov till ett magnetfält utanför ledaren. Fältlinjerna följer den s.k. högerhandregeln. Fältets styrka avtar med avståndet från ledaren.

Fältriktning hos koncentriska ringar

I

B

2. Kraftverkan mellan två ledare

Attraktion I I

+

+

U Attraktion

U Repulsion

Repulsion

Elektromagnetism

3. Fält från strömspole

B Magnetfälten från de enskilda ledarna summeras inuti (och utanför) spolen och ger upphov till en riktning hos det magnetiska fältet som ges av en liknande högerhandregel som för den enskilda ledaren. Man får ett yttre fält av samma typ som från en stavmagnet med en given nord- och sydpol.

I

I S

I N

B

Symboler B inåtgående ström

utåtgående ström

B

MMagMagnetism mikroskopiskt Mikroskopisk bakgrund Rörelsemängdsmoment

-

Elektroner som rör sig runt kärnan med hastigheten v på radien R ger upphov till ett magnetfält på samma sätt som elektronerna i en spole med endast en slinga.

R +

Produkten av massa, hastighet och radie kallas rörelsemängdsmoment och är karaktäristisk för banrörelse av denna typ.

v

Spinn

Z l

ml

s

1/2

-1/2

På samma sätt kan man också se det som att elektronerna roterar kring sin egen axel (jämför jordens rotation kring solen och kring sin egen axel). Denna rörelse ger också upphov till en “ström” och därför till ett magnetfält.

Biot-Savarts lag z

dl

r y

I



Biot-Savarts lag är för magnetfältet litet grand av motsvarigheten till Coulombs lag för det elektriska fältet från en punktladdning.



En ström I i riktningen dl ger med hjälp av kryssprodukten, mellan strömriktningen och riktningen till punkten man söker magnetfältet i, fältet i denna punkt. Storleken hos dB avtar som 1/r2

x

r0 Idl  e r dB   4 r2 0 I e B 2R

Magnetisk permeabilitet Precis som det elektriska fältet påverkar ett material och kan polarisera det så ser vi t.ex. från det ferromagnetiska fallet att ett magnetfält också påverkar ett material. Fältbilden blir m.a.o. inte densamma med resp. utan materialet. När det gällde det elektriska fältet så dividerade vi laddningen med kapacitiviteten för vacuum (ε0) och med den relativa kapacitiviteten (εr) för materialet för att ta hänsyn till polarisation.

För magnetfältet multiplicerar vi istället med permeabilitetstalet för vacuum och det relativa permeabilitetstalet för materialet (>1) för att ta hänsyn till att magnetfältet kan förstärkas av vissa material.



Som nämndes tidigare så har ε0 och μ0 införts för att få en koppling mellan Newtons ekvation och elektromagnetisk kraftverkan, d.v.s. för  att ha ett enhetligt enhetssystem.

E

Q 40r r 2

r0 Idl  e r dB   4 r2

Amperes lag Lyckligtvis finns det ett sätt att beräkna magnetfältet i enkla geometrier som är snabbare och enklare än att utföra integrationen m.h.a. Biot-Savarts lag. Från elstatiken minns vi Gauss lag som innebar att om vi kunde finna en yta på vilken E är konstant så kunde vi multiplicera E med denna ytas area och att denna produkt då blir den inneslutna laddningen dividerad med dielekticitetskonstanten.

Amperes lag för magnetostatiken (d.v.s då vi har konstanta strömmar och elektriska och magnetiska fält) säger att strömmen multiplicerad med permeabilitetskonstanten är lika med magnetfältet integrerat längst en slinga som omsluter strömmen: I B

 B l   I ||

0

 B  dl   I

B|| I det allmänna fallet μrμ0 Δl

0

Tillämpning av Amperes lag Toroid

2RB  r0NI

R

r0 NI B 2R

Rak “lång” spole

B=0

Idealiserat fall. Slingan går sträckan L genom spolen där B är konstant och parallellt  med L. Utanför spolen är slingan vinkelrät mot B och ger inget bidrag. Slutligen avslutas slingan på mycket stort avstånd där B antas nära noll, d.v.s. produkten mellan B och L är då noll.

BL  r0NI

I

r0 NI B L

Generell lösning kan integreras fram enl. Biot-Savarts lag ex.vis för positioner utanför ändlig spole (för resultatet se läroboken)

L

B

Cirkulär strömslinga

z

På samma sätt kan man integrera fram fältet på centrala axeln genom en strömslinga:

B r

r0IR2 2 2 2 B ,r  R  a 3 2r För fallet a=0 får man fältet i centrum av slingan.

r0 I B 2R

a R

dl

I

Kraft på partikel i rörelse i magnetfält

Lorentzkraften:

Använde vi i elstatiken

Laddningar i rörelse i magnetfält v

F  q(E  v  B)

B

 Q

F

qv  B  qvBsin()

B v

Θ

Högerhandsregeln F v

R B

B



v F

F

• http://www.youtube.com/watch?v=izYiDDt 6d8s • http://www.redorbit.com/media/uploads/20 04/10/4_58d180de6d0f28286cf3bc85a49c b91c2.jpg • http://www.youtube.com/watch?v=8O89G PVbJm4 • http://www.youtube.com/watch?v=RKyGD WeblQw

http://www.youtube.com/watch?v=izYiDDt6d8s Magnetisk kraftverkan



F  q(E  v  B)

F  qv  B

Om vi har en konstant ström där laddningen q rör sig sträckan L under tiden t vinkelrätt mot fältet B får vi:

I, v

B

L



F  qv  B  qvB  L q  q  B   L  B  BIL t t

q



Definition av 1 Ampere

0 Ie B 2R

F  BIL

0I 0 I L F IL  2R 2R  2

Om L=1 m och R=1 m så är I 1 A då F=2×10-7 N

I

+

U

0 F 2

0  4 107 N / A2

c 2 1/ 00 c  299792458m/s 

Attraktion

0  8.854 1012 As /(Vm)

Enhet för magnetfältet

μ0

0 I 2 L F 2R

F  BIL [F ] N CV Vs [ B]     2 T 2 [ I ][ L] Am Am m Enheten Tesla uppkallad efter Nikola Tesla.





[0 ]  [F]/[I 2 ]  N / A2  Vs / Am

Kan förstås uttryckas i andra härledda enheter också.

I

Varierande magnetfält Vi har sett att en konstant ström ger upphov till ett magnetfält. Vi vet också att en konstant laddningsfördelning endast ger upphov till ett konstant elektriskt fält men inget magnetfält samt att en konstant fördelning av magnetiska dipoler endast ger upphov till ett konstant magnetfält.

B

E B

Q

N

S

Varierande magnetfält Fråga: Om elektriska laddningar i rörelse ger upphov till ett magnetfält vad händer då om vi varierar det magnetiska fältet? Ger detta upphov till ett elektriskt fält?

Frågan undersöktes av Michael Faraday som upptäckte det s.k. induktionfenomenet. Matematiskt formuleras svaret på frågan i Faradays lag:

A



Φ

dl

E



E  dl  

 B t

Vad betyder det i praktiken?

Induktion Jo, om vi ändrar det magetiska flödet som flyter innanför en sluten slinga så kommer denna förändring att ge upphov till ett elektriskt fält. Detta fält driver som vanligt en laddningsomfördelning d.v.s. en ström. Slutsats: Om flödet ändras induceras en spänning som i sin tur kan driva en ström genom en yttre krets (d.v.s. man får en generator).

I B

Bind

Fix spole

N

S

Rörelseriktning

Lenz lag Den inducerade strömmen skapar ett magnetfält som motverkar den fältförändring som uppkommer när magneten förs in genom slingan. D.v.s. om magnetens nordpol pekar in mot slingan under rörelsen blir strömmen sådan att ett magnetfält med nordpolen riktad mot magnetens nordpol skapas. När magneten sedan dras tillbaka blir strömriktningen istället sådan att en sydpol skapas som attraherar nordpolen hos magneten. Man kan från energiprincipen inse att detta måste vara fallet.

I B

Bind

Fix spole

N

S

Rörelseriktning

F  qv  B

Induktionslagen från energiprincipen

I

A I

B



F,v B

F Man för en ledare med konstant hastighet vinkelrätt mot ett konstant magnetfält B. Den magnetiska delen av Lorentzkraften gör att en ström flyter genom ledaren. Denna ström leder i sin tur till en magnetisk motkraft på ledaren. För att upprätthålla konstant hastighet måste krafterna i ledarens rörelseriktning vara noll.

F  qv  B

Induktionslagen från energiprincipen Mekaniskt arbete

Magnetisk motkraft

W Fs

F  BIL

W  BIL s

I



F,v B

Elektrisk effekt

Energin



W  Pt  UIt, U  E

P  UI



EIt  BIL s 

Vi ser på ett kort intervall dt





L Inducerade emk:n

s E  BL   BL  v tidsberoende t ds ds e  BL  v dt dt

s

F  qv  B

Induktionslagen från energiprincipen

ds dA e  BL   B dt dt

BdA  d

I



F,v

s

A

d e dt

B



Med N st varv i lindningen får man:

d eN dt

L Man brukar ange referensriktningen med ett minustecken för att indikera att den inducerade spänningen motverkar flödesändringen:

d e  N dt

Självinduktion En spole genom vilken det flyter en ström skapar ett magnetfält. Om strömmen varierar så varierar också magnetfältet som strömmen skapar. Denna fältändring ger upphov till en inducerad emk som motverkar den strömförändring som gav upphov till den ursprungliga fältändringen. Fenomenet kallas självinduktion och är viktigt i växelströmsberäkningar.

i(t)

Φind

Fix spole

Φ(t)

Induktans Fältet i lång spole

B

r0 NI l



Induktionslagen

d e  N dt Induktansen:

L

2 r0 N A

l

r0 NI A l

d r0 NA di  dt l dt

Tillsammans ger detta:



d r0NAdi r0N 2 A di di e  N  N   L dt l dt l dt dt Enhet:

Vs [L]  H A

Generatorn, roterande strömslinga i magnetfält

A

A I Θ

B A

  B A  B A cos()

Generatorn, roterande strömslinga i magnetfält

  B A  B A cos()

  B A cos(t) Induktionslagen

e  N

d dt

t

d  e  NBA cos(t)  NBA sin(t) dt





  t

Motorn, roterande strömslinga i magnetfält Slinga med inkommande ström I

I F

B

Den magnetiska delen av Lorentzkraften ger upphov till ett vridmoment kring den centrala axeln. Strömmen måste byta riktning en gång per varv för att upprätthålla rörelsen.

B

B

F  qv  B

• http://www.youtube.com/watch?v=Z68VjOrxQU • http://www.youtube.com/watch?v=IkmMF MhnSCc • http://www.youtube.com/watch?v=txmKr69 jGBk • http://www.youtube.com/watch?v=T3AI1e Q50iE • http://www.youtube.com/watch?v=Ue6S8L 4On-Y • http://www.youtube.com/watch?v=i-j1j2gD28