Brobygge med hjälp av omvänd kedjebåge

UMEÅ UNIVERSITET Tillämpad fysik och elektronik Osama Hassan

Projektuppgift i inledande ingenjörskurs -för byggstudenter-

Brobygge med hjälp av omvänd kedjebåge (CATENARY ARCH)

1. Kedjekurvan En kedja eller lina är ett strukturelement som endast kan ta dragkrafter, se Figur 1. Vid belastning formar sig linan på ett sådant sätt att endast dragkraft finns i linan. Vid belastning med jämnt utbredd last (tex egentyngd eller löst sammanfogade tegelstenar) fås en form enligt cosinus hyperbolicus, även kallad kedjekurvan:

Figur 1: Vid belastning på en material med en last fås en form enligt cosinus hyperbolicus, även kallad kedjekurvan eller också kallas catenaria(av latin: catena, "kedja")

En kedjekurva är därför den form en böjlig kedja eller kabel får av tyngdkraften då den hänger fritt mellan två stöd. Vid stöden uppbär kedjan den största tyngden och lutar där kraftigast. Mot kedjans mitt avtar lutningen allt mer eftersom kedjan bär mindre och mindre av sin egen vikt, se Figur 1. Kedjekurvan ekvation En kedjekurv med bärande dragkrafter visas i Figur 2. Som kan visas är kurvan är symmetrisk mht x-led. Kedjekurvan ekvation är en differential ekvation: dy s = , dx c

(1)

där c är kedjekurvans parameter (se Figur 2) som bestämmer hur mycket kedjekurvan vidgas; ju större värden på c (i y-koordinat) desto större blir avstånd mellan kurvans ändar, och s är kuvans längd. Paramtern c kan skrivas som: c=

H w

(2)

där H är den horisontella dragkraften och w är kedjans vikt per längdenhet.

Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

2

Figur 2: En kedjekurv med bärande krafter

Integrering av Ek. (1) ger de följande uttrycken:  x y = c cosh   c

(3)

 x s = c sinh   c

(4)

Man behöver inte vara Nobelpristagare för att veta att Ek. (1) beskriver lutningen och därmed vinkeln, ψ . Det medföljer att: tan ψ =

dy s s  dy  = ⇒ ψ = tan −1   = tan −1   dx c c  dx 

(5)

där tan-1 betecknas också ”arctan” Om man till exempel lyfter en ring ur diskvatten bildar den hängande såpbubblan en katenoid. Ett kvadratiskt segel bildar, teoretiskt en likadan form. Om man rullar en parabel längs med en rät linje bildar dess fokus en rullningskurva som följer kedjekurvans form. På en vägbana som består av en serie omvända kedjekurvor skulle ett fordon med kvadratiska hjul köra helt jämnt.

2. Omvänd kedjebåge En hängande lina kan, som tidigare sagt, endast uppta dragkrafter. Om man, å andra sidan, vänder på kedjekurvan och lasten (t ex löst sammanfogade tegelstenar) fås en struktur eller en Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

3

båge med endast tryckkrafter. Optimal form om material/knutpunkter bara tål tryckkrafter. Exempel är trycklinje.

Upplagen till en båge måste kunna ta horisontalkraft

Alternativt utformas bågen med dragband

Kedjekurvan är alltså den ideala formen för en båge som bara ska bära sin egen vikt. Om en sådan båge byggs upp av konstruktionselement vars snittytor är rätvinkliga mot kurvan sammanfaller båglinjen och trycklinjen och, i teorin, uppstår ingen skjuvning och tyngden fortplantar sig ned i marken längs med kedjekurvans förlängning. Det är därför att sådana strukturer har blivit vanliga i byggnader inan betong kommat att användas, i stor skala, som konstruktionsmaterial. Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

4

Den katalanske arkitekten Antoni Gaudí använde sig av kedjekurvan i flera av sina projekt. I katedralen Sagrada Familia finns flera kupolvalv med denna form. För att hitta den optimala formen byggde Gaudí modeller med linor. Dragkrafterna på linorna använde han för att analysera tryckkrafterna på stenarna i kyrkan; se också http://en.wikipedia.org/wiki/Catenary eller http://sv.wikipedia.org/wiki/Kedjekurva.

Hur bestäms omvända kedjebågens utseende? De ekvationer som beskriver kedjekurvan kan användas för beskriva omvända kedjebågen, dock den nya uppställningen på kurvan måste tas hänsyn till i detta fall, t ex med avseende på y-led. Generellt sätt kan man skriva den följande uttrycken för omvända kedjebågen (se Ek.(3)):  x (6) y = c cosh   + K , c där K är en konstant. Lutningen ( på centrum linjen för element) kan fås, som förut, via derivationen av Ek.(6): dy  x = y ′ = sinh   dx c

(7)

Och vinkeln på elementen läsas från Ek. (5). Som et exempel på hur kan Ekvation (6) utnyttjas i design kan man nämna ”The gateway Arch i Saint Louis, Missouri, USA” som ritades av arkitekten Eero Saarinen. Här används de följande konstaten: c = −127.7 ft och K = 757.7 ft. Som visas av Ekvation (6), bestäms kurvans utseende genom att välja konstanten c och K. T ex. Om man vill välja c = −2 och K så att y = 0, då x = −5 (om man väljer basens längd=10 dm) , blir K då 12.2648. Tips: cosh(−2)=cosh(2), dvs. kurvan är symmetrisk på båda sidorna i x-led.

3. Uppgift Varje grupp ska beräkna och tillverka en omvänd kedjebåge av träklossar (se exemplet i Figur 3). Grupperna får fritt välja konstanten c i kedjekurvans ekvation. Bågen bör dock inte bli större än att den ryms på ett bord. Lämplig bredd mellan stöden kan vara variera mellan 80 cm och 40 cm Förslag på arbetsgång 1. Bestäm kurvans utseende genom att välja lämplig konstant c 2. Dela in kurvan i ett antal dellängder i x-led. Tips: välja basens längd och beräkna då kurvans höjd eller vice versa! 3. Beräkna y i vid skärningarna i x-led. 4. Beräkna längd och lutning på klossens centrumlinje Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

5

5. 6. 7. 8. 9.

Derivera kurvan i skärningspunkterna för att få fram lutningen i skärningspunkterna Bestäm vinkeln på kapsnittet på träklossen vinkelrätt mot kurvans lutning. Rita ut kapsnittet på träklossvinen, se ex i Fig. 4 nedan Kapa till klossarna mha en geringssåg Stödklossarnas vinklar mot underlaget tas lättast fram genom att lägga ut bågen på ett jämnt underlag och med hjälp av en rak list eller liknande markera dessa. 10. Då bågen inte görs tillräckligt hög för att tvärkrafterna ska försvinna kan stöden fästas i underlaget med hjälp av dubbelhäftande tejp, om så behövs!

OBS! Väljer man att beräkna med radianer istället för grader så kan en använda följande formel: Radianer = π × grader/180

Figur 3: Ett exempel på hur en båge kan konstrueras.

(längdskillnaden, diff. hög)

60 mm

Figur 4: Ett exempel på kappsnitt. OBS! glöm inte att mäta klossens aktuella bredd!

Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

6

4. Redovisning Redovisningen sker genom att varje grupp visar upp sin båge för projekthandledaren vid en given tidpunkt. Förutom att bågen ska kunna stå för sig själv ska gruppen även redovisa en tabell och arbetsgång som visar hur längden och vinklarna på varje träbit har räknats fram. Denna tabell förenklar även tillverkningen av träklossarna. Nedan ses ett exempel på hur en sådan tabell kan vara utformad, se även figur 3 och 4.

Exempel på tabell för tillverkningsmått Kloss nr

Skarv X

Skarv Y

Lutning Längd dy/dx Vinkel

0,14

0,36

0,22

0,46

1,66 1,34 1,06

Diff Vä

Diff Hö

Diff Vä (mm)

Diff Hö (mm)

2,94

3,57

V 1 2 3

0,12

58,92 53,33 46,54

5,60

6,78

4 5 6 7 8 9 10 11 H

Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

7

5. Verktyg, Hjälpmedel och Material Nedan finns en lista på material, verktyg och hjälpmedel som behövs för att konstruera bågen. De verktyg som är markerade med * finns att tidsboka i maskinhallen.

• • • • •

Trälist Penna Linjal Gradskiva Vinkelhake*

• • • •

Geringssåg* (finns också i rum A209/A210) Miniräknare Dubbelhäftande tejp* Rak trälist (markering av stödvinklarna)*

Observera att träbräder finns att hämta i maskinhallen!

6. Betyg och bedömning Projektuppgiften syftar till att stimulera och motivera studenterna. Upplevelsen at få se kedjebågen ta form och gå från ritning och räknande till färdig konstruktion är med stor sannolikhet både givande och rolig. Dessutom syftar projektet, som helhet, till att skapa och underbygga kreativiteten för att komma med åtskilliga lösningar til problem. Utvärdering syftar till att få studenter att analysera och reflektera över för och nackdelar med konstruktionen, vilket leder till kunskapskvaliteter som krävs för betyget Godkänd. Arbeten bedöms enligt kriterier nedan som antingen ”Godkänd” eller ”Icke-Godkänd. Vid bedömning tas hänsyn till konstruktionsarbete, redovisning och utvärdering. För betyget Godkänd skall gruppen: -

Redogöra, kortfattigt, för de viktigaste komponenternas funktion i det tekniska systemet samt förklara samspelet dem emellan Konstruera en omvänd kedjebåge utifrån egen ritning och beräkning samt beskriva hur konstruktionen är uppbyggd och fungerar.

Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

8

Formelsamling för projektet Omvända kedjebågens ekvation:

 x y = c cosh  + K c Ekvationen kan också skrivas i en enkel form som:

y=

(

)

c ( x c) (−x c) e +e +K 2

Konstanten K fås genom att välja c, y =0 och x får definieras. Om man t ex väljer basen längd 8 dm så blir det x = -4 dm. Bågens höjd fås genom att sätta x = 0 i omvända kedjebågens ekvation.

Lutningen på centrumlinjen för varje kloss:

dy  x = y ′ = sinh  dx c Också skrivas som:

(

dy 1 ( x c ) ( − x c ) = e −e dx 2

)

Vinkeln för varje punkt fås som:

 dy   dy   = arctan   dx   dx 

ψ = tan −1 

Längden för varje kloss fås genom Pythagoras:

L = ( x1 − x2 ) 2 + ( y1 − y 2 ) 2

Osama Hassan, Tillämpad fysik och elektronik, Umeå universitet, [email protected]

9