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Kurvendiskussion Die Kurvendiskussion beschreibt ein Verfahren um aus einer analytisch gegebenen Funktion auf einfachem Weg (also unter Umgehung einer Wertetabelle) den zugehörigen Graphen skizzieren zu können. Zu diesem Zweck wird die Lage bestimmter markanter Punkte der Funktion ermittelt. Anschließend werden diese Punkte jeweils mit seinem „Nachbarn“ verbunden. Folgende markante Punkte müssen rechnerisch ermittelt werden: 1. 2. 3. 4.

Schnittpunkte mit der x-Achse Schnittpunkt mit der y-Achse Extrempunkte Wendepunkte

Um darüber hinaus gehend genauere Aussagen über den Verlauf des Graphen machen zu können, werden zusätzlich folgende Berechnungen durchgeführt: 1. 2. 3. 4. 5.

Definitionsbereich Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches Symmetrieeigenschaften Wertebereich Graph der Funktion

Zweckmäßigerweise sollte die Kurvendiskussion nach folgendem Muster erfolgen: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Definitionsbereich Wertebereich Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches Symmetrieeigenschaften Schnittpunkt mit der y-Achse Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen) Extrempunkte Wendepunkte Graph der Funktion

Zu 1. Definitionsbereich Bei den hier behandelten Polynomen (= ganzrationale Funktion) ist der Definitionsbereich immer R, also D=R

(Anmerkung: Das R bedarf eines Doppelstrichs, den WORD nicht darstellen kann)

Hinweis: Mit dem Begriff „Definitionsbereich“ sind alle diejenigen Werte (=Zahlen) gemeint, die man für x einsetzen darf, ohne dass etwas „mathematisch Verbotenes“ geschieht. Beispiele für „mathematisch Verbotenes“ sind das Teilen durch 0 oder negative Radikanten bei Wurzelausdrücken.

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Zu 2. Wertebereich Bei den hier behandelten Polynomen (= ganzrationale Funktion) ist der Wertebereich immer R, also W=R

(Anmerkung: Das R bedarf eines Doppelstrichs, den WORD nicht darstellen kann)

Hinweis: Mit dem Begriff „Wertebereich“ sind alle diejenigen Werte (=Zahlen) gemeint, die sich für y ergeben, ohne dass etwas „mathematisch Verbotenes“ geschieht. Beispiele für „mathematisch Verbotenes“ sind die Werte ∞ / -∞ oder negative Funktionswerte bei Wurzelausdrücken. Zu 3. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches Die Ränder des Definitionsbereiches sind +∞ („plus unendlich“) bzw. -∞ („minus unendlich“). Um zu ermitteln welchen Funktionswert die Funktion an den Rändern annimmt, wird nur der Term mit dem höchsten bei x vorkommemden Exponenten betrachtet. Zu unterscheiden sind dabei 4 Fälle: a) Funktion mit positivem Koeffizienten (= Faktor) und geradem Exponenten Beispiel: f ( x)  3x 4  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0 Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem höchsten Exponent, hier also 3x 4 Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> 3* ∞4 -> +∞ Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> 3* (-∞)4 -> +∞ b) Funktion mit negativem Koeffizienten (= Faktor) und geradem Exponenten Beispiel: f ( x)  3x 4  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0 Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem höchsten Exponent, hier also  3x 4 Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> -3* ∞4 -> -∞ Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> -3* (-∞)4 -> -∞ c) Funktion mit positivem Koeffizienten (= Faktor) und ungeradem Exponenten Beispiel: f ( x)  3 x 3  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0 Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem höchsten Exponent, hier also 3x 3 Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> 3* ∞3 -> ∞ Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> 3* (-∞)3 -> -∞ d) Funktion mit negativem Koeffizienten (= Faktor) und ungeradem Exponenten Beispiel: f ( x)  3x 3  a3 x 3  a 2 x 2  a1 x  a0 Gleichgültig was sonst noch in der Funktion steht, betrachtet wird nur der Term mit dem höchsten Exponent, hier also  3x 3 Für x -> +∞ gilt dann: f(x) -> -3* ∞3 -> -∞

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Für x -> -∞ gilt dann: f(x) -> -3* (-∞)3 -> +∞ Zu 4 Symmetrieeigenschaften Die Symmetrieeigenschaft einer Funktion beschreibt ihre „Spiegelgleichheit“ an einer oder an beiden Achsen. Dabei wird zwischen Achsensymmetrie und Punktsymmetrie unterschieden: Achsensymmetrie f ( x)  f ( x) Dieser Fall liegt ausschließlich dann vor, wenn ALLE Exponenten in der Funktion gerade sind. Punktsymmetrie f ( x)   f ( x) Dieser Fall liegt ausschließlich dann vor, wenn ALLE Exponenten in der Funktion ungerade sind. Keine Symmetrie liegt dann vor, wenn die Funktion gerade und ungerade Exponenten enthält.

Zu 5. Schnittpunkt mit der y-Achse Wenn die y-Achse geschnitten wird ist der zugehörige x-Wert immer gleich 0. Also muss zur Berechnung des y-Achsenschnittpunktes jedes x in der Funktion gleich 0 gesetzt werden. Der „übrig bleibende Rest“ ist dann der Schnittpunkte mit der y-Achse. Zu berechnen also: f(0)

Zu 6. Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen) Wenn die x-Achse geschnitten wird ist der zugehörige y-Wert immer gleich 0. Also muss zur Berechnung der x-Achsenschnittpunkte f(x) gleich 0 gesetzt werden. Zu berechnen also: f(x) = 0

Zu 7. Extrempunkte Extrempunkte sind diejenigen Stellen des Graphen (also auch der Funktion), die am höchsten oder am niedrigsten sind. Dabei können allerdings auch mehrere Punkte am höchsten, bzw. am niedrigsten sein, man spricht dann von lokalen Extrema. Bei allen gilt, dass die Steigung an den Hoch- bzw. Tiefpunkten gleich 0 ist. Also muss zur Berechnung der Extrema die erste Ableitung f (x) gleich 0 gesetzt werden. Zu berechnen also: I) f ( x)  0 (Notwendige Bedingung) Das Ergebnis von I) sind xe-Werte, bei denen ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Um beurteilen zu können, ob es nun ein Hoch- oder Tiefpunkt ist, muss darüber hinaus die zweite Ableitung berechnet werden. Zu berechnen also: I) f ( x)  0 (Hinreichende Bedingung) Für einen Hochpunkt gilt dann: II) f ( xe )  0

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Für einen Tiefpunkt gilt dann: II) f ( xe )  0 Bis hierher wurden nur x-Werte berechnet. Um Aussagen über die Punkte zu machen, an denen Extrema vorliegen, müssen abschließend noch die den xe-Werten zugehörigen y-Werte berechnet werden, indem die xe-Werte in die „Originalfunktion“ f(x) eingesetzt werden. Zu berechnen also: f ( xe ) Die Extrema sind dann: H p oder T p ( xe | f ( xe )

Zu 8. Wendepunkte Wendepunkte sind diejenigen Stellen, bei denen der Graph bzw. die Funktion die größte Steigung besitzt. Links und rechts von diesen Punkten ist die Steigung kleiner. Somit sind Wendepunkte in der ersten Ableitung also „die Größten“ oder „die Kleinsten“, also Extrema. In der zweiten Ableitung sind diese Extrema dann wieder Nullstellen. Zu berechnen also:

I) f ( xw )  0

(Notwendige Bedingung)

II) f ( x w )  0 (Hinreichende Bedingung) Hinweis: Der genaue Funktionswert für f ( x w ) ist nicht von Bedeutung, es geht nur darum, NICHT Null zu sein. Bis hierher wurden nur x-Werte berechnet. Um Aussagen über die Punkte zu machen, an denen Wendepunkte vorliegen, müssen abschließend noch die den xw-Werten zugehörigen yWerte berechnet werden, indem die xw-Werte in die „Originalfunktion“ f(x) eingesetzt werden. Zu berechnen also: f ( x w ) Die Wendepunkte sind dann: W p ( xw | f ( xw )

Zu 9. Graph der Funktion Hier werden nur noch die unter 1. Bis 8. Berechneten Punkte (also (x|y)-Pärchen) in ein geeignetes Koordinatensystem eingetragen und anschließend von links nach rechts miteinander verbunden.

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Beispielaufgabe zur Kurvendiskussion Aufgabe 1) f ( x) 

Quelle: http://www.mathematik-wissen.de/eine_komplette_kurvendiskussion.htm

1 3 1 2 8 26 x  x  x 9 3 3 9

Definitionsbereich D=R Wertebereich W=R Verhalten an den Rändern der Funktion Für x -> +∞ gilt: f(x) -> f ( x) 

1 3   -> +∞ 9

Für x -> -∞ gilt: f(x) -> f (x) 

1 1  () 3     3   9 9

Symmetrieeigenschaften Die Funktion beinhaltet gerade und ungerade Exponenten => keine Symmetrie Berechnung Nullstellen: f (x )  0 1 3 1 2 8 26 x  x  x 0 9 3 3 9

Wegen x3 wird eine Nullstelle geraten und dann per Polynomdivision die Funktion in zwei Faktoren zerlegt. Geratene Nullstelle bei x = 1

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=> =>

x 1  0

x= 1

v

1 2 2 26 x  x 0 9 9 9

v

Da später die Funktion gezeichnet werden soll, rechnen wir die Werte mit dem Taschenrechner aus und erhalten zu der Nullstelle bei x = 1 noch die Nullstellen bei x = 6,196 und bei x = – 4,196. Ns1:(1|0)

Ns2:(6,196|0)

Ns3:(-4,196|0)

Berechnung Schnittstelle mit der y-Achse: Zuerst überprüfen wir den Schnittpunkt mit der y-Achse, die befindet sich bei x = 0. Deshalb setzen wir in die Funktion x = 0 ein und erhalten den entsprechenden Wert.

f ( 0) 

1 3 1 2 8 26 26 0  0  0  9 3 3 9 9

Schnittpunkt mit y-Achse: (0|

26 ) 9

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Berechnung Extrempunkte:

Überprüfung der Extremstellen auf Existenz und Hoch- bzw. Tiefpunkt:

f '' ( x) 

2 2 x 3 3

f ' ' (2) 

f ' ' (4) 

2 2 6 (2)      2  0 3 3 3

2 2 6 (4)    2  0 3 3 3

  2 ist der x  Wert des Maximums

 4 ist der x  Wert des Minimum

Bei x = -2 und x = 4 befinden sich die Extrema. Wir setzen diese x-Werte in die Originalfunktion ein, um die zugehörigen y-Werte zu bekommen:

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Hochpunkt H(– 2|6) und Tiefpunkt T(4|– 6).

Berechnung Wendepunkt:

Erste Ableitung:

Zweite Ableitung:

Zweite Ableitung gleich Null setzen:

Überprüfung auf echten Wendepunkt mit der dritten Ableitung:

f ''' ( x ) 

2 0 3

Bei x = 1 befindet sich die Wendestelle. Wir setzen diesen x-Wert in die Originalfunktion ein, um den y-Wert zu bekommen:

Unser Wendpunkt ist folglich W(1|0).

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Funktionsgraph zeichnen

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Übungsaufgaben Berechne 1. Definitionsbereich 2. Wertebereich 3. Verhalten an den Rändern des Definitionsbereiches 4. Symmetrieeigenschaften 5. Schnittpunkt mit der y-Achse 6. Schnittpunkte mit der x-Achse (=Nullstellen) 7. Extrempunkte 8. Wendepunkte 9. Graph der Funktion

f ( x)  x 3  3x 2 1 b) f ( x )  x 4  2 x 2 4 1 c) f ( x )   x 3  2 x 6 a)

d)

f ( x)  8x 3  2 x 2

e)

f ( x )  3x 4  8 x 3  6 x 2

f)

f ( x)  x 3  3x 2

g)

f ( x )  3x 4  8 x 3  6 x 2

h)

f ( x)  x 4  x 2 1 f ( x )  x 3  3x 2  5 x 2

i)

f ( x)  x 4  5x 2  4 1 k) f ( x )  x 4  2 x 2  2 4 j)

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