Cahier de l`élève

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

Situation d’apprentissage MAT-5153-1 Séquence CST 5 e secondaire

Mise en situation Les châteaux forts, vestiges d’une autre époque certes font encore aujourd’hui la fierté des Européens. Ces monuments sont la preuve de savoirs faire hors pair et il est très compréhensible de tout mettre en place pour les conserver. Comme les mouvements de sol et les tremblements de terre ont pour effet de déplacer les monuments, la préservation de ces derniers exige donc un grand savoir-faire. En effet, comme ils ont été bâtis à des endroits stratégiques et parfois difficiles d’accès, les arpenteurs-géomètres, agissant comme vigiles du patrimoine, doivent utiliser des techniques de mesure précises et des techniques de calcul rigoureuses afin de s’assurer que les monuments sont sécuritaires pour les touristes qui parcourent la planète pour les visiter. À la suite de l’analyse comparative d’une année à l’autre de ces mesures, les gestionnaires de ces sites historiques peuvent intervenir au besoin, en vue de le rénover et de les maintenir dans un état presque identique à celui du moment de leur construction. Prenons, par exemple, un château fort entouré de quatre tours ayant la forme de prismes droits à base carrée. Dans le but de s’assurer que les mouvements de sol liés aux tremblements de terre n’ont pas trop altéré les fondations des tours, des arpenteursgéomètres prennent des mesures, à l’aide d’instruments, qu’ils colligent par la suite dans un carnet.

1

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

Carnet des arpenteurs Hauteur de la tour Les arpenteurs géomètres prennent la mesure des angles d’élévation à deux endroits différents (K) et (L) distants de 30 m entre eux. Le schéma ci-dessous illustre bien la méthode utilisée.

Identification de l’angle de mesure

Mesure en degré

∠𝐺𝐾𝐻

26,92o

∠𝐺𝐿𝐻

38,12o

Vue de côté

Dimension de la base de la tour Les arpenteurs géomètres prennent la mesure des angles de visées entre eux (E et F) et les coins de la tour (C et A sur le schéma). Les mesures sont effectuées à deux endroits différents (F) et (E) distants de 47,17 m entre eux. Le schéma ci-dessous illustre bien la méthode utilisée. Identification de l’angle de mesure

Mesure en degré

∠𝐶𝐸𝐴

21,11o

∠𝐴𝐸𝐹

88,85o

∠𝐶𝐹𝐴

14,32o

∠𝐶𝐹𝐸

37,66o

Vue de haut

À l’aide des informations contenues dans le carnet des arpenteurs-géomètres, déterminez les dimensions d’une des tours (la hauteur et les côtés de la base) et comparez vos résultats avec ceux colligés depuis les deux dernières années.

2

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

En vue identifier les limites des connaissances acquises en 4e secondaire en ce qui a trait à la trigonométrie, nous vous suggérons d’explorer la situation et de faire ressortir les obstacles de calcul.

EXPLORER LA SITUATION DE DÉPART La recherche de mesure dans de telles situations peut se faire en identifiant deux sousproblèmes :  

Déterminer la hauteur de la tour en utilisant les relations trigonométriques des triangles rectangles ; Déterminer la mesure des côtés de la base de la tour à l’aide de relations trigonométriques dans les triangles quelconques ;

Avant de procéder aux calculs des mesures d’angles et de côtés, utilisons différentes stratégies en vue de faire ressortir des données pertinentes utiles. Stratégie 1 (séparer la figure initiale en plus petites figures connues) En vue de bien cerner la situation problème, nous avons fait ressortir deux triangles du schéma contenu dans le carnet. Sur ces figures, inscrivez les mesures (angles et de côtés) du carnet. E C

E F

A F

Stratégie 2 (Éclater la figure initiale en vue d’avoir le plus d’alternatives possible)

3

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

Les quatre triangles ci-dessous représentent un découpage stratégique de l’illustration de départ. À l’aide de vos connaissances sur les triangles, déduisez le plus de mesures que vous pouvez et inscrivez-les ci-dessous. Nous avons ajouté un point Q qui est commun aux quatre triangles. E C Q

A F Suggestions : Utiliser le théorème de la somme des angles intérieurs d’un triangle, ainsi que la loi des sinus afin de déduire les mesures.

4

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

5

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

L’OBSTACLE Vos déductions vous ont sûrement amenées à identifier le triangle CQA où Q représente le point de rencontre des lignes de visée des arpenteurs-géomètres, comme la clé pour résoudre cette situation problème. Bien que nos déductions nous ont permis de déterminer l’angle Q, ainsi que les mesures des côtés QC et QA, nous ne connaissons ni l’angle C, ni l’angle A ainsi en l’absence des mesures opposées à ces mesures, nous ne pouvons pas déduire la diagonale de la tour (CA). C

?

Q

A

La loi des sinus est inutile dans la situation C-A-C (côté – angle - côté), il est donc nécessaire de rechercher de nouvelles propriétés des triangles quelconques. Nous verrons dans la suite de la situation d’apprentissage un nouvel outil qui complétera nos connaissances pour résoudre tous les types de triangles.

6

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

LOI DES COSINUS Soit le triangle quelconque ABC suivant : C 

A



 B

Démontrez que la mesure de a, côté opposé à l’angle  formule : 𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜶). Indice : Construire une hauteur issue du sommet C relative à la base AB et utiliser la relation de Pythagore deux fois!

7

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

EXEMPLE D’APPLICATION DE LA LOI DES COSINUS Avant de revenir à la situation de départ et résoudre le triangle pour la diagonale CA, résolvez l’exercice ci-dessous. Soit le triangle ABC ci-dessous, utilisez loi des cosinus pour déterminer la mesure de l’angle  



8

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

RETOUR SUR LA SITUATION DE DÉPART Revenez à la situation de départ, inscrivez les mesures sur le triangle QAC et déterminez la mesure du côté CA. Espace pour votre démarche

C Q

A

9

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

De plus, déterminez la hauteur de la tour en utilisant les informations du carnet.

10

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

Comparez vos déductions avec les mesures des années antérieures. Voici les données colligées depuis les deux dernières années. An 1 Hauteur de la tour : 45,36 m Diagonale de la tour : 19,89 m An 2 Hauteur de la tour : 44,87 m Diagonale de la tour : 20,81 m Inscrivez vos conclusions dans cet espace.

11

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

SITUATION PROBLÈME (NOUVELLE) En vue de consolider vos nouveaux apprentissages, nous vous suggérons cette nouvelle situation problème. À vous de jouer! Dans la région de la Bretagne, en France, plus précisément à Plogoff, on y a érigé un phare sur un rocher. Ce monument fut construit entre 1882 et 1887 et chaque année, des arpenteurs-géomètres n’ayant clairement pas accès facilement au phare mesure à l’aide d’instruments sa hauteur afin de déterminer sa portée. Voici comment ils s’y prennent, à bord d’un bateau : 1. Ils dessinent un triangle ABC sur une carte telle que B représente la base du rocher et tel que l’ordre des sommets du triangle se fait dans le sens antihoraire des aiguilles d’une montre; 2. Ils mesurent à l’aide d’un GPS la distance entre B et C ; 3. Ils mesurent l’angle entre les côtés BC et CA ; 4. Ils mesurent avec un GPS la distance entre C et A ; 5. En A, ils mesurent l’angle d’élévation au-dessus du niveau de la mer (base du rocher) et la hauteur du phare (H). Voici les résultats de leurs mesures à chacune des étapes: 𝑚𝐵𝐶 = 74,56𝑚 𝑚∠𝐴𝐶𝐵 = 43𝑜 𝑚𝐶𝐴 = 87,50𝑚 𝑚∠𝐵𝐴𝐻 = 29,22𝑜 À l’aide de ces données, déterminez la hauteur du phare sans vous mouiller!

12

Cahier de l’élève SA MAT-5153-1 Représentation géométrique en contexte général 2

13