Calcul élémentaire des probabilités

Épreuves répétées.

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1 1 IRMA,

Université Louis Pasteur Strasbourg, France

Licence 1ère Année 29 novembre 2006

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

Calcul élémentaire des probabilités

Épreuves répétées.

Théorème : La loi des grands nombres Moyenne et écart-type. Exemple. Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff. Théorème de la limite centrale. Exercices. Exercice.

Sommaire

1

Épreuves répétées.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Le problème

Théorème : La loi des grands nombres Moyenne et écart-type. Exemple. Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff. Théorème de la limite centrale. Exercices. Exercice.

R

Soit une fonction X : Ω → qui est une variable aléatoire dont la loi est inconnue. Notons µ et σ 2 son espérance et sa variance, c’est-à-dire E[X ] = µ et Var[X ] = σ 2 . La solution Pour étudier X , on va faire l’expérience suivante : on tire au hasard un élément ω1 de Ω et on mesure X (ω1 ) puis on recommence (peut être que ω2 = ω1 ). On tire au hasard ω2 et on mesure X (ω2 ), et on recommence un certain nombre de fois. On dispose alors de n variables aléatoires que l’on notera X1 , . . . .Xn . Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Théorème : La loi des grands nombres Moyenne et écart-type. Exemple. Inégalité de Bienaymé-Tchebicheff. Théorème de la limite centrale. Exercices. Exercice.

On a à notre disposition trois théorèmes très importants et très utiles. Le premier s’intitule : la loi des grands nombres. Théorème Soient X1 , X2 , . . . , Xn des variables aléatoires indépendantes de même loi que la variable aléatoire X . On a alors le résultat suivant : X1 + X2 + . . . + Xn n

tend vers E[X ] = µ

quand n tend vers plus l’infini.

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Interprétation Ceci veut dire que si n est suffisament grand la moyenne observée doit être proche de l’espérance de X . Première question Dans la pratique pourquoi ne pas prendre n = 30 ? Remarque En fait on sait donner une estimation de l’erreur commise en n remplaçant µ par X1 +X2 +...+X . n

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Posons Mn =

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X1 +X2 +...+Xn . n

Moyenne et écart-type Après quelques calculs élémentaires, on trouve que E [Mn ] = µ et

σ σ [Mn ] = √ . n

Remarque En particulier

Mn√ −µ σ/ n

est une variable aléatoire centrée-réduite.

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Exemple On répète 100 fois de manière indépendante une expérience de moyenne 11 et d’écart-type 8. Alors la moyenne Mn suit une loi de moyenne 11 et d’écart-type 0.8.

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Le deuxième théorème s’intitule l’inégalité de Bienaymé-Tchebicheff. Théorème La probabilité que X1 + X2 + . . . + Xn σ − µ > t √ n n est inférieure ou égale à t12 , avec t 6= 0 sous réserve que les v.a. X1 , . . . , Xn sont indépendantes et aient toutes la même variance σ 2 .

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Application directe Par exemple si n = 10 il y a 90 chances sur 100 que X1 + X2 + . . . + Xn − µ n soit inférieure ou égale à 0.6 σ.

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Exemple Dans une population, on veut estimer la proportion µ de gens qui vont voter pour Mr X. lors des prochaines élections. On interroge 900 personnes, et on regarde le résultat Mn . Alors l’inégalité de Bienaymé-Tchebicheff nous dit que # " q 1 1 ×(1− ) P |Mn − µ| > t 2√900 2 6 t12 . Par exemple pour ne se tromper qu’au plus une fois sur 10, on prend t = 3.3. On trouve alors que Mn et µ diffèrent d’au plus 11 % . Ce qui entre nous soit dit est extrêmement mauvais. Heureusement, on trouvera un moyen plus efficace de faire des sondages dans la suite de ce chapitre. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Un autre exemple Si un sondeur nous disait que Mr S. fera entre 35 et 55 % aux prochaines élections, qui achetera son sondage ?

Solution Heureusement grâce à ce qui suit on verra qu’en fait avec le même risque d’erreur, on obtiendra une fourchette de ±3%.

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Le troisième théorème s’intitule le théorème de la limite centrale. Théorème Mn − µ X + . . . + Xn − nµ √ = 1 √ σ/ n σ n converge vers la loi normale centrée-réduite. L’idée est de dire que ce théorème est tellement juste que dans √ n −nµ par une loi la pratique, on peut remplacer la loi de X1 +...+X σ n N (0, 1).

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Exercice 1 On lance un dé n fois. On considère le nombre de six obtenus que l’on note N à la fin des n lancers. À partir de quel entier n on a   N 1 P − < 0.01 > 0.90? n 6

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Exercice 2 Un restaurateur peut servir 75 repas. La pratique montre que 20 % des clients ayant reservé ne viennent pas. 1

Le restaurateur accepte 90 réservations. Quelle est la probabilité qu’il se présente plus de 50 clients ?

2

Combien de réservations le restaurateur doit-il accepter pour avoir une probabilité supérieure ou égale à 0.90 de pouvoir servir tous les clients arrivants ?

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Retour à l’exemple des sondages On interroge 900 personnes, et on observe le résultat. Disons que la SOFRES ou l’IFOP nous dise : « On observe, sur un échantillon de 900 personnes que 20 % votent pour Mr S. ». Question Que peut-on en déduire ?

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Réponse √ n −nµ = Y suit une loi N (0, 1). Tout se passe comme si X1 +...+X σ n Maisp la difficulté est que µ et σ sont inconnus, où σ = µ(1 − µ) < 1/2. On en déduit que √     X1 + . . . + Xn n P − µ > α = P |Y | > α × n σ √   6 P |Y | > α × 2 n .

Pour n = 900, on obtient donc   X1 + . . . + Xn P − µ > α 6 P [|Y | > 60α] . n Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Conclusion Donc en lisant la table de la loi normale centrée-réduite, pour α = 0.01, on a que 60α = 0.60, et P [|Y | > 60α] ' 0.549. Donc il y a moins d’une chance sur deux que le nombre de gens qui votent pour Mr S. soit compris entre 19 et 21%

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Remarque Ce même résultat peut s’interpréter autrement. En effet, remarquons qu’il y a une chance sur deux d’avoir une erreur > α = 1% = 0.01...

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Exercice Un statisticien veut estimer la proportion p de la population U de taille N qui votera pour Mr S. Pour cela, le statisticien interroge un échantillon de taille n < N personnes sélectionnées au hasard (avec remise) dans la population U et compte le nombre X de personnes qui déclarent qu’ils voteront Mr S. lors des prochaines élections.

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Questions. Partie A 1 2

Quelle est la loi de X ? Supposons que 1/10 < p < 9/10, n > 300.

Par quelle loi est-il légitime d’approcher X ? Quels sont ces paramètres ?

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Suite des questions. Partie B 1

2

b le pourcentage estimé. Par quelle loi peut-on Soit p b? approcher p Pour p voisin de 0.50 et n = 1000, quelles sont les probabilités que : 1 2

p1 p2

b − p < 0.02 ? : p b − p > 0.01 ? : p

3

b = 0.51. Quelle est la Pour n = 1000, le sondeur observe p probabilité pour que p > 0.50 ?

4

Comment le sondeur doit-il choisir n pour que la probabilité b que p − p > 0.50 soit 1/10? Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Suite et fin des questions. Partie C 1

Deux sondeurs réalisent chacun un sondage indépendamment de l’autre sur 1 000 personnes et observent les proportions suivantes respectivement : c1 = 0.51 et p c2 = 0.52. p Quelle est la probabilité que p > 0.50 ?

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