Calcul élémentaire des probabilités

Écart-type. Loi binomiale.

Calcul élémentaire des probabilités Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1 1 IRMA,

Université Louis Pasteur Strasbourg, France

Licence 1ère Année 16-02-2006

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

Calcul élémentaire des probabilités

Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Sommaire

1

Écart-type.

2

Loi binomiale.

Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

Calcul élémentaire des probabilités

Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Écart-type. Définition Soit X une variable aléatoire. On définit l’écart-type de X par la formule suivante : q  q    σ (X ) = E X 2 − E2 [X ] = E (X − E [X ])2 . Remarque Il faut noter que si la variable aléatoire X a une unité, alors l’écart-type σ (X ) est exprimé dans la même unité que X .

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Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Remarque Pour la plupart des lois que nous allons étudier dans ce cours, l’écart-type d’une variable aléatoire, permet de donner une évaluation de la probabilité que la variable aléatoire X prenne un valeur éloignée de son espérance. Exemple La plupart du temps nous aurons : P [|X − E [X ] | > 2σ(X )] < 0, 1 où σ(X ) désigne l’écart-type de la variable aléatoire X .

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Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Exemple On joue à la roulette 2 fois de suite. La probabilité de gagner à chaque fois est p = de 36 fois la mise.

1 et le gain est 37

Soit q = 1 − p. Soit X la variable aléatoire que décrit la somme ramassée. Si je gagne deux fois je ramasse 72m. Si je gagne une fois je ramasse 36m. Si je perd deux fois je ramasse 0. Ces 3 évènements ont lieu avec la probabilité : p2 ,

2pq,

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q2.

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Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

On a : 

 72 × p2 + 36 × 2pq + 0 × q 2 m   = 72 × p2 + 72 × p(1 − p) m   = 72 × p2 + 72 × p − 72 × p2 m

E [X ] =

= 72 × pm 72 = ×m 37 ' 1, 95 × m.

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Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Posons : Y = X 2. Y prend alors les 3 valeurs suivantes : 72m × 72m = 5184m2 ,

36m × 36m = 1296m2

avec les probabilités p2 ,

2pq,

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q2.

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et

0

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Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

 5184 × p2 + 1296 × 2pq + 0 × q 2 × m2   = 5184 × p2 + 1296 × 2p(1 − p) × m2   = 2592 × p2 + 2592 × p × m2 !  2 1 1 + 2592 × × m2 = 2592 × 37 37

E [Y ] =



' (1.89 + 70.05) × m2 ' 71.94 m2 . Donc σ (X ) '

q

(72 − 4)m2 ' 8, 24 m.

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Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Règle de calcul.

Règle de calcul Soient α un réel et X une variable aléatoire. On a alors : σ (α X ) = |α| σ (X ) . Définition On dit qu’une variable aléatoire X est réduite si σ (X ) = 1 . X , elle le Si X n’est pas réduite alors en posant Y = σ (X ) devient.

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Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Écart-type. Loi binomiale.

Exercice 1. Une variable aléatoire X prend les valeurs : 0,

2,

4

avec les probabilités 21/32,

6/32,

5/32.

Question Que valent l’espérance et l’écart-type de la variable aléatoire X?

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Exemple. Règle de calcul. Exercice 1. Exercice 2.

Exercice 2. Je joue à un jeu : Pour gagner il me faut répondre à une certaine question. Je connais la réponse avec la probabillité p. Si je réponds juste je gagne 400e. Sinon je perds 1000e. Questions Quelle est l’espérance de gain ? L’écart-type ? À partir de quelle somme est-il raisonnable de vouloir jouer ?

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Exemple. Théorème admis. Exemple.

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Écart-type.

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Loi binomiale.

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Exemple. Théorème admis. Exemple.

Loi binomiale. La loi binomiale est une loi qui décrit une expérience répétée. On repète n fois la même expérience. À chaque fois la probabilité d’observer un certain résultat est p. À la fin, on compte le nombre de fois où on a observé le résultat. Soit X cette variable aléatoire. Définition On dit que X suit une LOI binomiale B(n, p) de paramètres n et p. On écrit X ∼ B(n, p). Cette loi prend les valeurs 0, 1, 2, . . . , n avec certaines probabilités. Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Théorème admis. Exemple.

Exemple.

Exemple de la loi B(2, p) : P [X = 0] = (1 − p)2 = q 2 , P [X = 1] = 2 × p × (1 − p), P [X = 2] = p2 .

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Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Théorème admis. Exemple.

Théorème admis. Propriété On a les formules suivantes : E [X ] = np

et σ (X ) =

√

npq =

p

np(1 − p).

Propriété En fait on a une formule très compliquée et qui n’est pas très utile :     n! n n k n−k P [X = k ] = p (1 − p) , où = . k k k !(n − k )! Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant

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Écart-type. Loi binomiale.

Exemple. Théorème admis. Exemple.

Exemple. 100! est égal 20!80! au nombre à 20 chiffres 535983370403809682970. 1 Si, de plus, p = 1/2 par exemple, alors pk (1 − p)n−k = 100 2 est égal au nombre 0,00000000000000000000000000789 (il y a 30 zéros après la virgule). Si k = 20 et n = 100, par exemple, alors

En tout la probabilité cherchée est de l’ordre de 10−10 . Le problème qui va nous intéresser est comment remplacer la formule de la loi binomiale par une formule utile pour analyser des situations concrètes.

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