Chap 5. Probabilités conditionnelles

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Blaise Pascal (1623 - 1662) Mathématicien, physicien, philosophe, moraliste et théologien français, il publie un traité de géométrie projective à seize ans ; ensuite il développe, en 1654, une méthode de résolution du « problème des partis » qui, donne naissance au cours du XVIIIe siècle au calcul des probabilités.

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 1 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

I. Conditionnement par un événement Problème n°1 : On lance un dé équilibré une fois et on étudie les deux événements suivants : : « le nombre est inférieur ou égal à 5 » : « le nombre est supérieur ou égal à 3 » Supposons que soit réalisé, quelle est alors la probabilité que ! soit réalisé aussi ?

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 2 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Problème n°2 : Un candidat à un examen sait qu’il se verra proposer à l’oral soit une question de type avec une probabilité 0,6 pour laquelle il estime ses chances d’avoir la moyenne à 40%, soit une question de type avec une probabilité 0,4 pour laquelle il estime ses chances d’avoir la moyenne à 70%. Quelle est la probabilité pour ce candidat d’obtenir la moyenne ? Sachant qu’il a eu la moyenne, quelle est la probabilité pour qu’il ait été interrogé sur une question de type ! ? Sachant qu’il n’a pas eu la moyenne, quelle est la probabilité pour qu’il ait été interrogé sur une question de type ? [email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 3 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Définition : Une loi de probabilité # est définie sur un ensemble Ω. et sont deux événements avec #% & ≠ 0. La probabilité de l’événement sachant , notée #) % &, est dé*% ∩!& finie par * %!& = . *% &

Exemple 1 : Un SAV a constaté que les retours d’un appareil sont dus dans 30% des cas à une panne , dans 40% des cas à une panne et dans 3% des cas à la simultanéité des deux pannes. Un appareil choisi au hasard présente la panne . Quelle est la probabilité qu’il ait aussi la panne ? [email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 4 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Conséquence : Une loi de probabilité # est définie sur un ensemble Ω. et sont deux événements avec #% & ≠ 0. La probabilité de l’intersection entre et est : *% ∩ !& = *% &×* %!&. Exemple 2 : Tous les élèves de Terminale ont passé un test de certification en anglais. 80% ont réussi le test. Parmi ceux qui ont réussi, 95% n’ont jamais redoublé et parmi ceux qui ont échoué, 2% n’ont jamais redoublé. Un élève est choisi au hasard, quelle est la probabilité qu’il a réussi le test sans jamais redoubler ? [email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 5 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Définition : Les événements , et 7 forment une partition de l’univers Ω lorsqu’ils sont incompatibles deux à deux et que leur réunion est Ω: ∩ = ∅, ∩ 7 = ∅ et ∩7 =∅ ∪ ∪7 =Ω

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 6 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Propriété : Soit ,

et 7 une partition de Ω et @ un événement

@ = % ∩ @& ∪ % ∩ @& ∪ %7 ∩ @& où ∩ @, ∩ @ et 7 ∩ @ sont incompatibles deux à deux donc #%@& = #% ∩ @& + #% ∩ @& + #%7 ∩ @& *%C& = *% &×* %C& + *%!&×*! %C& + *%D&×*D %C& [email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 7 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Exemple 3 : Pour se rendre à un endroit donné Alexandre dispose de 4 chemins possibles notés , , 7 et @. 1 1 1 1 #%« choisir »& = #% & = #% & = # %7 & = # %@ & = 3 4 12 3 J La probabilité d’arriver en retard par le chemin est . La probabilité d’arriver en retard par le chemin

est

KL J

JL J

et

la probabilité d’arriver en retard par le chemin 7 est . M En passant par le chemin @, Alexandre n’est jamais en retard. Quelle est la probabilité pour qu’Alexandre soit en retard ? [email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 8 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

II. Indépendance de deux événements Deux événements et sont indépendants lorsque la réalisation ou non de n’a pas d’influence sur la réalisation de donc #P % & = #% & et #) % & = #% & or #P % & =

Q%)∩P& Q%P&

= #% & donc #% ∩ & = #% &×#% &

Définition Deux événements

[email protected]

et

sont indépendants lorsque *% ∩ !& = *% &×*%!&

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 9 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Propriété : Si et sont deux événements indépendants alors ̅ et aussi indépendants.

sont

Démonstration %ROC& :

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 10 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

∩

et ̅ ∩

forment une partition de

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 11 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

donc #% & = #% ∩ & + #% ̅ ∩ & or

et

sont indépendants donc #% ∩ & = #% &×#% &

par conséquent #% ̅ ∩ & = #% & − #% ∩ & #% ̅ ∩ & = #% & − #% &×#% & #% ̅ ∩ & = V1 − #% &W×#% & or #% ̅& = #%Ω& − #% & = 1 − #% & et donc #% ̅ ∩ & = #% ̅&×#% & On en déduit que ̅ et sont indépendants eux aussi∎

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 12 sur 13

Chap 5. Probabilités conditionnelles Terminale S

Remarque : De la même façon, on peut démontrer que si et sont indépendants alors et [ sont aussi indépendants ainsi que ̅ et [ . Exemple 4 : On lance une pièce équilibrée deux fois de suite. : « Obtenir Pile au 1er lancer » : « Obtenir Face au 2e lancer » 7 : « Obtenir au moins une fois Pile » Les événements Les événements

et ! sont-ils indépendants ? et D sont-ils indépendants ?

[email protected]

http://gaellebuffet.free.fr/

Page 13 sur 13