Chapitre 13 : Variables aléatoires

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Variables aléatoires

Chapitre 13 Variables aléatoires F. Delacroix, École des Mines de Douai, 18 février 2011

Introduction Présentation et objectifs La plupart du temps, le résultat exact d’une expérience aléatoire importe moins qu’un aspect de celui-ci : score total d’un lancer de dés plutôt que les scores individuels et différenciés de chaque dé, taille d’une personne plutôt que son identité complète, etc. La notion qui à un objet de l’ensemble fondamental Ω d’une expérience aléatoire associe une qualité correspond exactement, dans le langage ensembliste, à la notion d’application. Comme un espace probabilisable est muni d’une structure supplémentaire (la tribu), on est amené à définir une condition technique de compatibilité des applications considérées avec cette structure. C’est la notion de variable aléatoire. On commence donc dans ce chapitre par présenter cette notion de variable aléatoire en toute généralité, ainsi que les concepts généraux de lois de probabilité et de fonction de répartition qui y sont rattachés, avant de se restreindre au cas des variables aléatoires discrètes, le cas continu étant relégué au chapitre suivant. Pour les variables aléatoires discrètes, on définit les notions d’espérance et de variance, avant de s’intéresser aux cas des variables aléatoires admettant des lois discrètes classiques : loi de Bernoulli, binômiale, de Poisson, géométrique, binômiale négative, hypergéométrique. Pour chacune d’elles, on donne des exemples classiques d’expériences aléatoires conduisant à des variables aléatoires admettant la loi étudiée. Prérequis: Chapitres 7, 12 Variables aléatoires (terminale) Suites: Chapitres 14, 15 Statistique inductive (1ère année) Optimisation Mathématiques financières et sciences « molles »

1

Variable aléatoire

Soient (Ω, T , P ) un espace probabilisé et (E, S) un espace probabilisable (la plupart du temps, ce sera R — ou une partie de R — muni de sa tribu borélienne).

1.1

Définitions 1

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Définition 1 On appelle variable aléatoire sur Ω à valeurs dans E toute application X : Ω → E telle que ∀A ∈ S, X −1 (A) ∈ T . On dit parfois que X est une application mesurable. Lorsque l’ensemble des valeurs prises par X, c’est-à-dire X(Ω), est discret (i.e. fini ou dénombrable), on dit que la variable aléatoire X est discrète. ♠ Si T est la tribu totale de Ω, quelles sont les variables aléatoires sur Ω ? ♠ Montrer que si Ω est lui-même discret, alors toute variable aléatoire sur Ω est discrète. La plupart du temps, pour une variable aléatoire X discrète, on choisit pour E une partie de N (plus rarement Z) munie de sa tribu totale. La condition de mesurabilité dans la définition 1 est peu importante dans la pratique. Le cas discret ne pose pas de réelle difficulté comme on vient de le voir, et les autres cas pratiques sont en général couverts par la proposition suivante. Il est en fait relativement difficile de trouver des applications non mesurables. Proposition 1 Si Ω et E sont des parties de R (munis de leurs tribus boréliennes) et si X : Ω → E est une application continue par morceaux, alors X est une variable aléatoire. L’une des notions les plus importantes associées à une variable aléatoire est celle de loi de probabilité. Proposition 2 Soit X : Ω → E une variable aléatoire. L’application PX : S −−−→ [0,1]  A 7−−−→ P X −1 (A)

est une mesure de probabilité sur E. On l’appelle loi de probabilité de la variable aléatoire X. ♠ Prouver cette proposition en vérifiant les axiomes de Kolmogorov pour PX . Notation Pour tout évènement A ∈ S, l’évènement X −1 (A) est noté {X ∈ A} et PX (A) est noté P (X ∈ A). Cette notation est adaptée dans le cas d’évènements A de type particulier. Par exemple, lorsque A = {a}, on note {X = a} (lire «X prend la valeur a») et P (X = a) («probabilité que X prenne la valeur a»). Lorsque E ⊂ R et A = [a, b], on note {a 6 X 6 b} et P (a 6 X 6 b), etc.

2

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Variables aléatoires

♠ Montrer que si X est une variable aléatoire discrète, la donnée des probabilités P (X = a) pour tous les a ∈ X(Ω) détermine entièrement la loi de probabilité de X. ♠ Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire donnant le score total d’un lancer de deux dés équilibrés (présenter le résultat sous forme d’un tableau). Tracer le diagramme en bâtons correspondant. Lorsque la variable aléatoire n’est pas discrète, il n’est pas suffisant de connaître les probabilités des évènements élémentaires associés à X. La tribu borélienne de R étant engendrée par les intervalles du type ] − ∞, a] où a ∈ R, on est amené à introduire la notion de fonction de répartition pour les variables aléatoires à valeurs réelles (plus simplement appelées variables aléatoires réelles sur Ω).

1.2

Fonction de répartition

On considère une variable aléatoire réelle X sur Ω. Définition 2 La fonction de répartition de X est la fonction FX : R −−−→ [0, 1] x 7−−−→ P (X 6 x).

♠ Déterminer entièrement la fonction de répartition de la variable aléatoire donnant le score d’un lancer de deux dés et tracer son graphe. Quelles sont les valeurs de FX (x) pour x < 2 ? Pour x > 12 ? Proposition 3 (1) La fonction FX est croissante : ∀a, b ∈ R,

(a < b) =⇒ (FX (a) 6 FX (b)).

(2) On a lim FX = 1 et lim FX = 0. +∞

−∞

(3) En tout point de R la fonction FX est continue à droite. ♠ La croissance de FX est-elle stricte en général ? ♠ Que signifie exactement la propriété (3) ? ♠ La fonction FX est-elle continue à gauche en général ? ♠ Démontrer la propriété (1) de manière élémentaire.

3

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Proposition 4 Pour tous a, b ∈ R tels que a < b, on a (1) P (a < X 6 b) = FX (b) − FX (a). (2) P (x < a) = lim FX = FX (a) − P (X = a). − a

♠ Démontrer cette proposition en introduisant des partitions bien choisies. ♠ À l’aide de la propriété (2) de la proposition 4 et de la propriété (3) de la proposition 3, démontrer que, pour tout a ∈ R, la fonction FX est continue en a si et seulement si P (X = a) = 0. Vérifier cette propriété dans le cas de la fonction de répartition du score d’un lancer de deux dés. Corollaire 5 La fonction FX est continue par morceaux sur R. ♠ Montrer qu’il s’agit d’une conséquence immédiate des deux propositions précédentes.

2

Variables aléatoires discrètes

2.1

Définitions, exemples

On reprend dans le cas où E = R la définition donnée précédemment. Définition 3 Une variable aléatoire réelle est dite discrète si X(Ω) est une partie discrète de R, i.e. une partie finie ou dénombrable de R. On peut alors écrire X(Ω) = {xn , n ∈ N} où, par convention et lorsque c’est possible, la numérotation des xn a été choisie de telle sorte que la suite (xn )n∈N soit strictement croissante : x0 < x1 < · · · < xn < · · ·

Remarques 1. Petite digression topologique : cette notion de partie discrète de R est différente de la notion de partie discrète en topologie. La topologie définit un ensemble discret comme un ensemble ne comportant aucun point d’accumulation, i.e. dans lequel tout point est isolé (ou encore tel que la topologie induite soit discrète : toute partie est à la fois un ouvert et un fermé). Par exemple, l’ensemble 1 A = {0} ∪ , n ∈ N∗ n 

4



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Variables aléatoires

est discret en ce sens qu’il est dénombrable ; il n’est cependant pas topologiquement discret car 0 n’est pas isolé : il est la limite d’une suite de A \ {0}. Ce type de cas problématique sera évité dans le cadre des variables aléatoires nen composant par une fonction appropriée. Par exemple, si X(Ω) = o 1 ∗ {0} ∪ n , n ∈ N , X est discrète au sens de la définition 3 mais X(Ω) n’est pas topologiquement discret. On peut toutefois, par exemple, considérer la va1 riable aléatoire Y = X+1 dont l’ensemble des valeurs possibles est N∗ , qui est dénombrable et topologiquement discret. Bien sûr ce changement de « variable » fausse les calculs d’espérance et autres grandeurs caractéristiques. 2. On observera que, sur ce dernier exemple, il n’est pas possible de numéroter les valeurs de X par ordre croissant. 3. Bien sûr on adaptera la convention indiquée dans la définition 3 si X(Ω) est finie (la suite (xn ) est alors une famille finie) ou si, pour des raisons pratiques, la numérotation est légèrement différente (ne commençant pas à 0, par demientier, etc.). Cette adaptation doit également se faire sur les formules générales qui seront énoncées plus loin. La loi de probabilité d’une variable aléatoire X discrète est donc définie par les nombres pn = P (X = xn ) pour tout n ∈ N. Si X(Ω) est fini, on présente souvent la loi de probabilité sous la forme d’un tableau à deux lignes : les xn et les pn correspondants (cf. le lancer de deux dés pris en exemple précédemment). Proposition 6 X pn converge et sa somme vaut 1. Avec les notations précédentes, la série n>0

♠ Démontrer cette proposition. ♠ Quelle est la constante C pour une variable aléatoire X telle que X(Ω) = N∗ et, pour tout n ∈ N∗ , P (X = n) = nC2 ? Représenter le diagramme en bâtons correspondant et donner l’allure de la fonction de répartition FX . Cette loi de probabilité se nomme loi zéta de paramètre 2, et on note X ∼ ζ(2). Proposition 7 La fonction de répartition d’une variable aléatoire discrète X est une fonction en escalier dont les discontinuités se situent aux points xn , de hauteur égale à pn . ♠ Observer la conformité de cet énoncé dans le cas du lancer de deux dés étudié précédemment. ♠ Démontrer cette proposition à l’aide de la proposition 4 et de l’exercice qui la suit.

2.2

Espérance

Soit X une variable aléatoire discrète ; on reprend les notations xn et pn précédentes. 5

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Définition 4 On dit queX X admet une espérance (ou que l’espérance de X est finie) si la série numérique xn pn converge. Dans ce cas, le nombre n>0

E[X] =

∞ X

xn p n

n=0

s’appelle l’espérance de X. Remarque La terminologie « X est d’espérance finie » est courante mais trompeuse. Elle suggère en effet que dans les autres cas, l’espérance de X est infinie, alors que ceci ne peut être rigoureusement défini que si X est à valeurs positives (séries à termes positifs). ♠ Interpréter cette définition en termes de moyennes pondérées. ♠ Que devient cette définition si X(Ω) est un ensemble fini ? ♠ Montrer que l’espérance du score d’un lancer de deux dés est égale à 7. ♠ Une variable aléatoire X suivant la loi ζ(2) (cf. l’exercice suivant la proposition 6) admet-elle une espérance ? Plus généralement, si g : R → R est une fonction continue par morceaux, l’application g ◦ X est encore une variable aléatoire sur Ω, notée g(X). Théorème 8 Avec les notations précédentes,X la variable aléatoire g(X) admet une espérance si et seulement si la série numérique g(xn )pn converge. Si c’est le cas, on a n>0

E[g(X)] =

∞ X

g(xn )pn .

n=0

On observera que la non-trivialité de ce théorème découle de ce que l’on n’a pas supposé la fonction g injective : plusieurs xn peuvent avoir la même image par g. La démonstration du théorème consiste donc à invoquer le fait que la probabilité de l’évènement {g(X) = a} est la somme des probabilités des évènements {X = xn } pour tous les xn antécédents de a par g. On applique alors un théorème de regroupement des termes dans la série définissant E[g(X)]. ♠ Dans le cas du lancer de deux dés, calculer l’espérance du carré du score obtenu. ♠ A-t-on, en général, E[g(X)] = g(E[X]) (justifier à l’aide de l’exemple précédent) ? Définition 5 Pour r ∈ N∗ , l’espérance E[X r ], si elle existe, est appelée moment d’ordre r de X.

6

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Variables aléatoires

Corollaire 9 Si X admet une espérance, alors, pour tous a, b ∈ R, la variable aléatoire aX + b admet une espérance et E[aX + b] = a E[X] + b.

♠ Démontrer ce corollaire en choisissant une fonction g adaptée. Proposition 10 Si X et Y sont deux variables aléatoires admettant des espérances, alors X + Y admet une espérance égale à E[X + Y ] = E[X] + E[Y ].

♠ En renumérotant les éléments de l’ensemble X(Ω) ∪ Y (Ω), démontrer cette proposition. ♠ En déduire que l’espérance est linéaire. Définition 6 Si X est une variable aléatoire admettant une espérance, la variable aléatoire X −E[X] est la variable aléatoire centrée associée à X. Pour r ∈ N∗ , la quantité E [(X − E[X])r ] , si elle existe, est le moment centré d’ordre r de X. ♠ Quelle est l’espérance d’une variable aléatoire centrée ?

2.3

Variance

L’espérance d’une variable aléatoire renseigne sur la position « centrale » de la loi de probabilité mais pas sur sa répartition autour de cette valeur centrale. La mesure de la dispersion moyenne autour de l’espérance est l’objet de la définition suivante. Définition 7 Soit X une variable aléatoire discrète admettant une espérance. Si la quantité h

Var(X) = E (X − E[X])2

i

existe, on l’appelle variance de X. Autrement dit, la variance, si elle existe, est le moment centré d’ordre 2 de X. Dans ce cas, la quantité q σ(X) = Var(X) s’appelle écart-type de X.

7

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Proposition 11 (Formule usuelle de calcul de la variance) Une variable aléatoire discrète X admet une variance si et seulement si E[X] et E[X 2 ] existent. Dans ce cas Var(X) = E[X 2 ] − E[X]2 .

♠ Démontrer cette proposition à l’aide de la linéarité de l’espérance. ♠ Calculer la variance et l’écart-type du score d’un lancer de deux dés. Proposition 12 Si Var(X) existe, alors, pour tous a, b ∈ R, la variable aléatoire aX + b admet une variance et Var(aX + b) = a2 Var(X).

♠ Démontrer cette proposition à l’aide, par exemple, de la proposition 11. ♠ Quelle est la variance de la variable aléatoire centrée associée à X ?

3

Loi de Bernoulli, loi binômiale

3.1

Définitions

Définition 8 On dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si (

X(Ω) = {0, 1}

et

P (X = 1) = p P (X = 0) = 1 − p.

On note alors X ∼ B(1, p). On fait généralement référence aux évènements {X = 1} et {X = 0} sous les noms respectifs de succès et échec. ♠ Montrer que, lors du jet d’une pièce de monnaie équilibrée, la variable aléatoire égale à 1 si le résultat est face, 0 si c’est pile, suit une loi B(1, p) où l’on précisera p. ♠ Même question pour la variable qui, lors du jet d’un dé équilibré, indique 1 si le résultat est 6, 0 sinon. Définition 9 Pour n ∈ N∗ et p ∈ [0, 1], on dit qu’une variable aléatoire X suit une loi binômiale de paramètres (n, p), et on note X ∼ B(n, p), si X(Ω) = {0, 1, . . . , n}

8

et

∀k ∈ {0, 1, . . . , n},

P (X = k) = Cnk pk (1 − p)n−k .

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Variables aléatoires

♠ Montrer que si X est la variable aléatoire indiquant le nombre de succès d’une série de n épreuves aléatoires de Bernoulli indépendantes (où la probabilité de succès individuel est p), alors X ∼ B(n, p). n ♠ Vérifier que, si X ∼ B(n, p), on a bien

X

P (X = k) = 1.

k=0

3.2

Propriétés

Proposition 13 Si X est une variable binômiale de paramètres (n, p), on a E[X] = np

Var(X) = np(1 − p).

et

♠ Démontrer cette proposition en faisant intervenir la formule du binôme. ♠ Quelle est l’espérance d’une loi de Bernoulli ? ♠ On jette 60 fois un dé équilibré. Quelle est le nombre moyen de 6 obtenus ? Quel est l’écart-type de la variable aléatoire binômiale ainsi définie ? Le diagramme et la fonction de répartition d’une loi binômiale, tracés à l’aide d’un tableur, sont représentés en annexe A.

4

Loi de Poisson

4.1

Définition

Définition 10 Etant donné λ ∈ R∗+ , on dit qu’une variable aléatoire X suit une loi de Poisson de paramètre λ, et on note X ∼ P(λ) si X(Ω) = N

et

∀k ∈ N,

P (X = k) = e−λ

λk . k!

Exemple typique : le nombre de personnes entrant dans un magasin dans une journée suit une loi de Poisson, dont on ajuste le paramètre à l’aide de mesures (cf. le calcul d’espérance plus loin). ♠ Vérifier que, si X ∼ P(λ), on a bien

∞ X

P (X = k) = 1.

k=0

4.2

Approximation poissonnienne de la loi binômiale

Soit X une variable aléatoire suivant une loi binômiale B(n, p) ; on pose λ = np Proposition 14 Si n est « grand », la loi de la variable aléatoire X est « assimilable » à une loi de Poisson de paramètre λ = np.

9

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♠ En considérant des équivalents lorsque n → ∞, démontrer que P (X = k) converge, lorsque n → ∞ vers la valeur prédite par la loi de Poisson de paramètre indiqué. ♠ Montrer que le nombre de personnes entrant dans un magasin dans une journée suit une loi de Poisson selon cette approximation. Quelle hypothèse supplémentaire est-il nécessaire de faire ?

4.3

Propriétés

Proposition 15 Si X ∼ P(λ), on a E[X] = λ

et

Var(X) = λ.

♠ Démontrer cette proposition à l’aide des séries entières classiques. Le diagramme et la fonction de répartition d’une loi de Poisson tracés à l’aide d’un tableur sont représentés en annexe B.

5

Autres lois discrètes

5.1

Loi géométrique

Définition 11 Etant donné p ∈]0, 1[, une variable aléatoire suit une loi géométrique de paramètre p si X(Ω) = N∗

∀k ∈ N∗ ,

et

P (X = k) = p(1 − p)k−1 .

♠ On exécute une série d’épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès p ∈]0, 1[, et on s’arrête au premier succès. Vérifier que le nombre d’épreuves ainsi réalisées suit une loi géométrique de paramètre p. ♠ Vérifier que, si X suit une loi géométrique,

∞ X

P (X = k) = 1.

k=1

♠ En utilisant une série entière, montrer que E[X] =

5.2

1 1−p et Var(X) = . p p2

Loi binômiale négative

Définition 12 Etant donnés r ∈ N∗ et p ∈]0, 1[, une variable aléatoire suit une loi binômiale négative de paramètres (r, p) si X(Ω) = {r, r + 1, r + 2, . . .}

10

et

∀k ∈ X(Ω),

r−1 r P (X = k) = Ck−1 p (1 − p)k−r .

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Variables aléatoires

♠ Qu’est-ce que la loi binômiale négative de paramètres (1, p) ? ♠ On exécute une série d’épreuves de Bernoulli indépendantes avec probabilité de succès p ∈]0, 1[, et on s’arrête au rème succès (r ∈ N∗ ). Montrer que la variable aléatoire X indiquant le nombre d’essais nécessaire suit une loi binômiale négative de paramètres (r, p). ♠ Montrer que E[X] =

5.3

r(1 − p) r et Var(X) = . p p2

Loi hypergéométrique

Définition 13 Etant donnés trois entiers n, N, m ∈ N∗ tels que n 6 N , on dit qu’une variable aléatoire X suit une loi hypergéométrique de paramètres (n, N, m) si X(Ω) = {0, 1, . . . , n}

et

∀k ∈ {0, . . . , n},

k n−k CN −m Cm P (X = k) = CNn

(avec la convention que si deux entiers a, b sont tels que b < 0 ou b > a, alors Cab = 0). ♠ Une urne contient N boules dont m sont blanches et les autres noires. On tire sans remise n boules dans cette urne (ces tirages constituent-ils des épreuves indépendantes ?) et on désigne par X le nombre de boules blanches ainsi tirées. Montrer que X suit une loi hypergéométrique de paramètres (n, N, m). ♠ Montrer que si X suit une telle loi, on a bien

n X

P (X = k) = 1.

k=0

♠ Montrer que E[X] =

6

nm N − m nm(N − m) et Var(X) = × . N N −1 N2

Exercices Les exercices 1 et 2 sont à préparer.

Exercice 1 : Loi de Poisson Le nombre de personnes entrant, pendant une journée, dans un magasin de journaux est une variable aléatoire X qui suit une loi de Poisson de paramètre λ. Pour chaque personne, la probabilité qu’elle achète un journal est égale à p. 1. Soit Y la variable aléatoire donnant le nombre de journaux ainsi vendus pendant la journée. Montrer que Y suit la loi de Poisson de paramètre λp. Déterminer E[Y ] et Var(Y ). 2. Soit Z le nombre de personnes entrées sans acheter de journal. Déterminer la loi de Z. Donner E[Z] et Var(Z). Les variables Y et Z sont-elles indépendantes ? 11

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Exercice 2 : Binômiale négative Soit r ∈ N∗ . On considère une pièce de monnaie avec laquelle la probabilité d’obtenir pile est p (0 < p < 1) et la probabilité d’obtenir face est q = 1−p. On lance successivement (et indépendamment) la pièce jusqu’à obtenir r fois pile. Soit X le nombre de lancers nécessaires à l’obtention du rème pile. +∞ X r r 1. Déterminer la loi de X et montrer que E[X] = . On vérifiera que Ck+r qk = p k=0 1 . (1 − q)r+1

2. Soit maintenant Y le nombre de fois où l’on a obtenu face avant d’avoir pour la rème fois pile. Déterminer la loi de Y et calculer son espérance. Exercice 3 : Produit scalaire de variables aléatoires On considère un espace probabilisé fini Ω. Soit F le R-espace vectoriel des applications de Ω → R (puisque Ω est muni de la tribu totale, F est l’espace des variables aléatoires réelles sur Ω). On rappelle que, pour A ∈ P(Ω), la fonction indicatrice de A est l’application 1A : Ω −−−→ R  1 si ω ∈ A ω 7−−−→ 0 si ω ∈ / A. 1. Pour A ∈ P(A), calculer l’espérance de la variable aléatoire 1A . 2. Montrer que l’application ϕ : F × F −−−→ R (X, Y ) 7−−−→ E[XY ] est un produit scalaire sur F si et seulement si tous les évènements élémentaires sont de probabilité non nulle. Dans toute la suite, on suppose cette condition réalisée et F est muni de ce produit scalaire. 3. Soit X ∈ F une variable aléatoire non constante. On note G le sous-espace vectoriel de F engendré par X et la variable aléatoire constante 1. Soit Y ∈ F. 3.1 Déterminer le projeté orthogonal de Y sur G, noté pG (Y ). 3.2 Comparer E[pG (Y )] et E[Y ]. 3.3 On suppose que X = 1A où A ∈ P(Ω) \ {∅, Ω}. Montrer que ∀B ∈ P(Ω),

12

pG (1B ) = P (B|A)1A + P (B|A)1A .

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Variables aléatoires

Exercice 4 Trois personnes A1 , A2 et A3 entrent en même temps dans une banque qui ne comporte que deux guichets. A1 et A2 sont servis tout de suite tandis que A3 doit attendre qu’un guichet se libère pour être servi. On suppose que le temps nécessaire pour servir le client Ai est une variable aléatoire Xi suivant une loi géométrique de paramètre p. On suppose les variables X1 , X2 et X3 indépendantes. Soit Y le temps écoulé entre l’arrivée des trois personnes et le moment où A3 peut accéder à un guichet grâce au départ de A1 ou A2 . On désigne par Z le temps écoulé entre l’arrivée et le départ de A3 . 1. Déterminer la probabilité de l’évènement {Xi > k} pour tout k ∈ N∗ et calculer E[Xi ]. 2. Exprimer l’évènement {Y > k} à l’aide de X1 et X2 et calculer sa probabilité. En déduire P (Y = k). 3. Reconnaître la loi de Y et calculer l’espérance de Z. Exercice 5 Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2. Soient deux variables aléatoires X1 et X2 définies sur un espace probabilisé (Ω, T , P ) et suivant la loi uniforme sur {1, . . . , n}. 1. Soit a ∈ {1, 2, . . . , n} et Y la variable aléatoire définie par ∀ω ∈ Ω,

 X

Y (ω) = 

1 (ω)

si X2 (ω) 6 a X2 (ω) si X2 (ω) > a.

1.1 Déterminer la loi de Y (vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité). 1.2 Calculer l’espérance de Y et la comparer à celle de X1 . 1.3 Pour quelles valeurs de a cette espérance est-elle maximale ? 2. Soient a, b ∈ {1, . . . , n} tels que a < b. On définit la variable aléatoire Z par :

∀ω ∈ Ω,

   X1 (ω)

siX2 (ω) 6 a Z(ω) = X2 (ω) sia < X2 (ω) 6 b   X1 (ω) siX2 (ω) > b.

Déterminer la loi de Z et son espérance. Pour quelles valeurs du couple (a, b) cette espérance est-elle maximale ? Exercice 6 Soit X une variable aléatoire à valeurs dans N. 1. 13

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1.1 Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , on a n X

n X

P (X > k) = (n + 1)P (X > n) +

k=0

kP (X = k).

k=1

1.2 En déduire que si la série

X

P (X > k) converge, alors X admet une espérance.

k>0

2. Réciproquement, on suppose que X admet une espérance et l’on veut montrer la convergence de cette série. ∞ X

2.1 Montrer que, pour tout n ∈ N∗ , on a (n + 1)P (X > n) 6

kP (X = k).

k=n+1

2.2 En déduire que la série

X

P (X > k) converge et que sa somme est égale à E[X].

k>0

Exercice 7 1. Soient n ∈ N∗ et p1 , . . . , pn ∈ R+ non tous nuls. Montrer que quelle condition y a-t-il égalité ?

n X k=1

v n √ u uX pi 6 nt p2i . A k=1

2. On considère n ampoules (numérotées de 1 à n) qui s’allument de façon aléatoire et indépendamment les unes des autres, à un instant donné. La probabilité que l’ampoule numéro k s’allume est notée pk et l’on suppose que l’une au moins des probabilités pk est non nulle. On note Xk la variable de Bernoulli associée à l’ampoule k. Enfin, on note Y le nombre d’ampoules allumées. Exprimer Y en fonction des Xk . L’espérance m = E[Y ] (nombre moyen d’ampoules allumées) étant fixée, déterminer les probabilités pk maximisant la variance de Y . Quelle est alors la loi de Y ?

Annexes

14

Probabilité P(X=k) Fonction de répartition F(k) 0,000000 0,000000 0,000000 0,000000 0,000005 0,000005 0,000042 0,000047 0,000270 0,000317 0,001294 0,001612 0,004854 0,006466 0,014563 0,021029 0,035497 0,056526 0,070995 0,127521 0,117142 0,244663 0,159738 0,404401 0,179706 0,584107 0,165882 0,749989 0,124412 0,874401 0,074647 0,949048 0,034991 0,984039 0,012350 0,996389 0,003087 0,999476 0,000487 0,999963 0,000037 1,000000

Espérance= 12 Variance= 4,8 Ecart-type= 2,19

Résultat k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

Résultat k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

Probabilité P(X=k) Fonction de répartition F(k)

Répartition de la loi binômiale

NB : Les points du graphe de la fonction de répartition ont été interpolés par le tableur avec des segments; il faut cependant garder à l'esprit qu'il s'agit ici d'une fonction en escalier.

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Probabilité

A

Psucces= 0,6 Ntentatives= 20 Formules utilisées : LOI.BINOMIALE(k;ntentatives;psucces;0) (Openoffice calc) LOI.BINOMIALE(k;ntentatives;psucces;1)

École des Mines de Douai — FIAASMathématiques Variables aléatoires

Loi binômiale

15

16

Probabilité 0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

Fonction de répartition F(k)

Résultat k

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 Probabilité P(X=k) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

NB : Les points du graphe de la fonction de répartition ont été interpolés par le tableur avec des segments; il faut cependant garder à l'esprit qu'il s'agit ici d'une fonction en escalier.

Probabilité P(X=k) Fonction de répartition F(k) 0,000912 0,000912 0,006383 0,007295 0,022341 0,029636 0,052129 0,081765 0,091226 0,172992 0,127717 0,300708 0,149003 0,449711 0,149003 0,598714 0,130377 0,729091 0,101405 0,830496 0,070983 0,901479 0,045171 0,946650 0,026350 0,973000 0,014188 0,987189 0,007094 0,994283 0,003311 0,997593 0,001448 0,999042 0,000596 0,999638 0,000232 0,999870 0,000085 0,999956 0,000030 0,999986

Espérance=7 Variance=7 Ecart-type=2,65

Résultat k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1,0

Répartition de la loi de Poisson

B

Formules utilisées : LOI.POISSON(k;lambda;0) (Openoffice calc) LOI.POISSON(k;lambda;1)

Paramètre lambda=7

Chapitre 13 MathématiquesÉcole des Mines de Douai — FIAAS

Loi de Poisson