Chapitre 1

11.09.12

Chapitre 1 : Logique et raisonnements. I- Introduction. a) Origines philosophiques. Platon pour contrer les sophistes. Aristote le reformule et créer le syllogisme. b) Le syllogisme. Raisonnement constitué d'une majeure, d'une mineure et d'une conclusion. ex: Les Hommes sont mortels. Or Socrate est un Homme. Donc Socrate est mortel. c) Démonstration mathématique. hypothèse → conclusion II- Calcul proportionnel. a) Assertion logique (ou proposition ou finale) Définition : On appelle assertion tout énoncé qui peut prendre sans ambiguïté l'une ou l'autre des valeurs logiques: vrai (1) ou faux (2) ex: "3 divise 11" → faux "Socrate est un homme." → vrai (x ∈ N) "x+4 est pair" ≠ assertion car dépend de x Définition : une variable booléenne (ou variable logique) est une lettre qui peut prendre seulement 2 valeurs : vrai ou faux. b) Opérateurs logiques : ET, OU et NON. ● ET : si A et B sont deux assertions, A ∧ B est une autre assertion qui se lit "A et B" et qui est vraie si A est vrai ET si B est vraie, sinon elle est fausse. A B A∧ B 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 ● OU : si A et B sont deux assertions, A∨ B est une autre assertion qui se lit "A ou B" et qui est vrai soit A est vrai ou soit B est vrai sinon elle est fausse. A B A∨ 0 0 1 1

0 1 0 1

B 0 1 1 1

● NON : si A est une assertion, ¬A est une autre assertion qui se lit "non A" est qui vaut le contraire de A. A ¬A 0 1 1 0 Expression logique : toute assertion logique peut être décomposée en assertion plus simple, séparée par des ET, OU ou des NON. Implication et équivalence : - Si A et B sont deux assertions, A => B se lit "A implique B" et signifie : si A est vrai alors B est vrai. A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

A => B 0 1 0 1

Proposition : A => B a la même valeur logique que ¬A ∨ B. - Si A et B sont deux assertions : A  B est une assertion et est vraie si A => B et B => A A B AB 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 - Toute expression logique peut être représentée par une table de vérité, tableau recensant tous les cas possible. A B C B∧C E ex: E = A ∨ (B ∧ C) 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 Proposition : Si une expression logique E à n variables logiques, sa table de vérité a 2n lignes. Tautologie : expression logique toujours vraie. III- Simplification des formules booléennes. a) Associativité, distributivité, loi de Morgan. A ∧ (B ∧ C) = (A ∧ B ) ∧ C --> associativité A ∧ (B ∨ C) = (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) --> distributivité A ∨ (B ∧ C) = (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) ¬(A ∧ B) = ¬A ∨ ¬B --> loi de Morgan ¬(A∨ B) = ¬A ∧ ¬B b) Notation booléenne. On remarque que : A∧1=A A∨0=A 0∨0=0 1∧1=1 →∧=* →∨=+ ET prioritaire sur OU

25.09.12 c) Tableau de Karnaugh. (voir internet). Un tableau de Karnaugh d'une formule logique est une autre représentation de sa table de vérité, ou la moitié des variables sont disposées suivant les lignes et l'autre moitié suivant les colonnes. Pour n variables, il y a 2n cases. ex: E = a.c+abarre.cbarre.b a pour tableau de Karnaugh : c\ab 0 1

00 0 0

01 1 0

11 0 1

10 0 1

En passant d'une case du tableau à la suivante, une seule variable doit changer. Le dernier point doit être vrai au bord du tableau, un tableau de Karnaugh doit être cyclique.. ex: F = a+b.c+abarre.b.cbarre.d cd\ab 00 01 11 10 00 0 0 1 1 01 0 1 1 1 11 0 1 1 1 10 0 1 1 1 Pour simplifier l'expression logique : - On regroupe les 1 en paquets rectangulaires le plus gros possibles. - Les paquets peuvent se chevaucher. - Les paquets peuvent traverser le tableau. Chaque groupe repéré correspond à une expression de produits de variables pour prouver ces expressions, il faut trouver les variables qui ne changent pas. ex: simplification de a+b.c+abarre.b.cbarre.d donc E = a+b.d+b.c = a+b.(c+d) ex: Simplifier G = abarre.b.c+dbarre+cd cd\ab 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 0 0 0 0 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1 G = c+dbarre IV- Prédicats et quantificateurs. a) Définition. On appelle prédicat de référence E, où E est un ensemble, tout énoncé A(x,y) contenant des variables variant dans E tel que si l'on remplace ces variables par une valeur dans E, cet énoncé est vrai ou faux. ex: P(x) = "3 divise x" est un prédicat ∞ référentiel N Q(x) = "x+y = 1" est un prédicat à 2 variables de référentiel R On associe à A(x) , prédicat à une variable de référentiel E, les deux associations suivantes : "∀ x ∈ E A(x)" signifie "Quel que soit x appartenant à E, A(x) est vraie" "Il existe x ∈ E A(x)" signifie "Il existe x dans E tel que A(x) est vraie" b) Négation d'une assertion ou d'un prédicat. Soit E un ensemble, A(x) un prédicat de référentiel E. Le contraire de E = ∀ x ∈ E A(x) est Ebarre = Il existe x ∈ E A(x) Le contraire de "Il existe x ∈ E A(x)" est "∀ x ∈ E A(x)barre" c) Non commutativité de ∀ et "Il existe". On ne peut pas échanger ∀ et "Il existe" dans un énoncé mathématique.

9.10.12 V- Raisonnements mathématiques. On veut montrer A => B

AB ∀a∈E

P(A)

Il existe a ∈ E P(a)

Méthode On suppose A vrai On veut montrer B vrai

Exemple typique Montrer que Qcarré => Qrectangle.

Par contraposée : On montre que Bbarre => Abarre On montre que A => B et que B => A Soit a ∈ E quelconque fixé On montre P(a) avec cette lettre là (a) Quelconque = on peut le remplacer par n'importe quel élément de E. On trouve un a dans E qui rend vrai P (posons a=…)

Par contraposée : Montrer que n² impair => n impair Montrer que -2 ≤ x ≤ 2  x² ≤ 4 Montrer que la fonction carré est paire

On utilise un théorème du cours ou on montre que ∀ a ∈ E P(a) est faux ∀n∈N

P(n)

A vraie (par l'absurde)

Initialisation: On montre p(0) Hérédité: On montre, ∀ n ∈ N, P(n) => P(n+1) On montre Abarre => Faux On suppose A faux et on aboutit à une contradiction

x ≤ 2  x² ≤ 4 Soit x = 1 1² = (-1)² donc f est paire NON ! FAUX ! Car x n'est pas quelconque !

Montrer que 2x² + 3 = a une solution Soit f:[0,1] → R f continue sur [0,1] et f(0) = -1 et f(1) = 1 Montrer qu'il existe c ∈ [0,1] f(c)=0 Montrer que n E i = (n(n+2))/2 i=0 Montrer que racine(2) est irrationnelle

Ex 1.1: Montrer que Qcarré => Qrectangle avec Q un quadrilatère. Supposons que Q est un carré. Q est un carré donc Q a 4 cotés de meme longueur et une angle droit Or un rectangle a les cotés opposés de même longueur et un angle droit Donc Q est un rectangle Ex 1.2: Montrer ∀ n ∈ N n² impair => n impair Par contraposée : Montrons donc que ∀ n ∈ N n pair => n² pair Soit n ∈ N, supposons que n est pair. Donc il existe p ∈ N n = 2p n² = (2p)² donc n² = 4 p² = 2x(2p²) où 2p² ∈ N Donc n² est pair. Ex 3: Soit f(x) = x² Montrer que f est paire Montrer que ∀ x ∈ R f(-x) = f(x) Soit x ∈ R quelconque fixé f(-x) = (-x)² = x² = f(x) Donc f est paire.

Piège ! La contraposée de A => B N'EST PAS Abarre => Bbarre

Ne pas oublier l'initialisation

Ex 5: Montrer ∀ n ∈ N P(n). Par récurrence, cela revient à montrer : Initialisation : n E i = (n(n+1))/2 i=0 0+1+2+3+…+n = (n(n+1))/2 n E i = 0 pour n = 0 et (n(n+1))/é = 0 si n = 0 i=0 Donc P(0) est vraie Hérédité : Supposons P(n) vraie pour n ∈ N fixé. Faire récurrence !

- P(n) : initialisation - ∀ n ∈N P(n) => P(n+1)