Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

L2 Eco-Gestion, option AEM

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

1 / 19

Objectif

But de la théorie des probabilités : développer un formalisme adapté à l’étude des phénomènes dans lequel le hasard intervient. « aléatoire » vient de « alea » signifiant « jeu de dés » en latin.

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

2 / 19

Plan

1

Expérience aléatoire Notion d’expérience aléatoire Notion d’évènement

2

Probabilités : axiomes et propriétés Formalisation de la notion de probabilité Propriétés d’une probabilité

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

3 / 19

Plan

1

Expérience aléatoire Notion d’expérience aléatoire Notion d’évènement

2

Probabilités : axiomes et propriétés Formalisation de la notion de probabilité Propriétés d’une probabilité

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

4 / 19

Expérience aléatoire Définitions et notations Une expérience est dite aléatoire si on ne peut pas prédire avec certitude son résultat. Le résultat d’une expérience aléatoire est appelé issue ou éventualité, noté ω. L’ensemble des issues est appelé l’espace fondamental (ou univers), noté Ω. Définir ω, Ω, card (Ω) dans les exemples ci-dessous : 1

On lance une pièce de monnaie.

2

On lance 3 fois une pièce de monnaie.

3

On lance deux fois un dé.

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

5 / 19

Notion d’évènement Définition

Définition On appelle évènement A tout sous-ensemble de Ω.

Exemple 4 On lance deux fois un dé. A = “obtenir deux nombres supérieurs ou égaux à 5” B = “obtenir une somme inférieure ou égale à 3”

Remarques Un évènement est un ensemble d’issues. Les issues sont également appelées des événements élémentaires. A appartient à P(Ω), l’ensemble des parties de Ω : A ∈ P(Ω) On dira qu’un évènement A est réalisé si et seulement si le résultat ω de l’expérience appartient à A : ω ∈ A. (L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

6 / 19

Notion d’évènement Exemple Dans la suite on considère l’expérience aléatoire consistant à jeter un dé ; Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} et A l’évènement : A = "obtenir un nombre pair" = {2, 4, 6} ∈ P(Ω).

Inclusion A ⊂ B signifie que chacun des évènements élémentaires de A appartiennent également à B : ω ∈ A =⇒ ω ∈ B Si A est réalisé, alors B l’est également. Si B = "obtenir un nombre supérieur ou égal à 2 ", alors on a A ⊂ B.

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

7 / 19

Notion d’évènement Evènement complémentaire A , le complémentaire de A, est constitué des évènements élémentaires qui n’appartiennent pas à A. Dans notre exmple : A = "obtenir un nombre impair" = {1, 3, 5}.

Evènement certain, évènement impossible Ω est l’évènement certain (il est réalisé à chaque expérience). Son complémentaire Ω = ∅ est l’évènement impossible.

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

8 / 19

Notion d’évènement Intersection de deux évènements A ∩ B est l’ensemble des évènements élémentaires qui appartiennent à la fois à A et à B : (ω ∈ A ∩ B) ⇐⇒ (ω ∈ A et ω ∈ B) A ∩ B est réalisé si et seulement si A et B le sont. Si C = "obtenir un nombre supérieur ou égal à 5", alors A ∩ C = {6} .

Evènements incompatibles A ∩ B = ∅ signifie que A et B sont des évènements incompatibles. A et B ne peuvent pas être réalisés en même temps. A et A sont incompatibles : A ∩ A = ∅. (L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

9 / 19

Notion d’évènement Réunion de deux évènements A ∪ B est l’ensemble des évènements élémentaires qui appartiennent à A ou à B. (ω ∈ A ∪ B) ⇐⇒ (ω ∈ A ou ω ∈ B) A ∪ B est réalisé si et seulement si A ou B l’est.

Attention Le “ou” n’est pas exclusif. Si D = "obtenir un nombre inférieur ou égal à 3", alors A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 6}

Cardinal d’une réunion Si A et B sont deux ensembles, on a : card (A ∪ B) = card (A) + card (B) − card (A ∩ B). (L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

10 / 19

Propriétés utiles des ensembles Distributivité Soient A, B et C trois ensembles. On a : A ∩ (B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C ) A ∪ (B ∩ C ) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C )

Loi de Morgan Soient A et B deux ensembles. On les égalités suivantes : A∩B = A∪B A∪B = A∩B

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

11 / 19

Plan

1

Expérience aléatoire Notion d’expérience aléatoire Notion d’évènement

2

Probabilités : axiomes et propriétés Formalisation de la notion de probabilité Propriétés d’une probabilité

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

12 / 19

Approche intuitive Cas particulier de l’équiprobabilité

On voudrait définir une probabilité vérifiant... P(Ω) = 1 ; P(∅) = 0 ; les probabilités s’additionnent pour des évènements disjoints ; la sommes des probabilités des évènements élémentaires fasse 1 ; etc.

Exemple Considérons un sac contenant n billes indiscernables au toucher, dont r billes rouges. Chaque bille a la même probabilité d’être tirée (équiprobabilité). La probabilité de tirer une bille particulière est de “une chance sur n”, soit n1 . La probabilité de tirer une bille rouge est de “r chances sur n”, soit nr . (L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

13 / 19

Approche intuitive Cas particulier de l’équiprobabilité

Définition On considère une expérience aléatoire telle que : l’espace fondamental Ω défini soit de cardinal fini ; les éventualités qui le composent soient équiprobables. On définit alors la probabilité d’un évènement A par : P(A) =

card (A) nombre de cas favorables = card (Ω) nombre de cas possibles

Attention Formule valable seulement en situation d’équiprobabilité !

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

14 / 19

Approche intuitive Cas particulier de l’équiprobabilité

Exemple On jette deux fois une pièce de monnaie. Quelle est la probabilité d’avoir deux fois face ? d’avoir pile et face ?

Paradoxe des prisonniers Trois prisonniers sont dans une cellule. Deux vont être condamnés et l’un va être gracié. Un des prisonniers demande au gardien de lui désigner qui, parmi ses deux camarades, sera condamné. Le gardien désigne un des deux prisonniers. Le prisonnier lui dit alors : “merci, avant j’avais une chance sur trois d’être gracié, mais maintenant j’en ai une sur deux !”

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

15 / 19

Généralisation : définition axiomatique Définition Une (loi de) probabilité sur Ω est une fonction P de P(Ω) dans [0; 1] vérifiant les propriétés (ou axiomes) suivantes : P(Ω) = 1 Propriété d’additivité : pour toute suite dénombrable d’évènements A1 , A2 , ... ∈ P(Ω) deux à deux incompatibles, on a : P(

∞ [

i=1

∞

Ai ) =

∑ P(Ai )

i=1

Remarque Le triplet (Ω, P(Ω), P) s’appelle un espace probabilisé.

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

16 / 19

Propriétés d’une probabilité Propriétés 1

P(A) = 1 − P(A)

2

P(∅) = 0

3

A ⊂ B =⇒ P(A) ≤ P(B)

4

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

Preuve par exemple par le diagramme de Venn.

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

17 / 19

Retour sur l’exercice des anniversaires

Combien de personnes au minimum faut-il réunir dans une pièce pour que la probabilité que deux personnes aient leur anniversaire le même jour soit d’au moins 1/2 ? Et pour qu’elle soit d’au moins 99% ?

(L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

18 / 19

Fréquence d’évènement et probabilité Fréquence empirique On considère une expérience aléatoire répétée s fois dans des conditions strictement identiques. La fréquence d’apparition de l’évènement A ∈ P(Ω) est définie par fs (A) =

Nombre de fois où A se réalise s

lancer d’un dé à 6 faces Soit l’évènement "obtenir 1". Après 100 répétitions la même expérience, on a obtenu 15 tirages de 1 : f100 ({1}) = 15% 6= P({1}) = 1/6.

Convergence de la fréquence : approche fréquentiste Lorsqu’il est possible de réaliser l’expérience aléatoire une infinité de fois dans les mêmes conditions, la fréquence d’apparition de tout évènement A ∈ P(Ω) converge vers sa probabilité : lims→∞ fs (A) = P(A). (L2 Eco-Gestion, option AEM)

Chapitre 2 : Axiomes du calcul des probabilités

19 / 19