Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes

Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes

L2 Eco-Gestion, option AEM

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Chapitre 4 : Variables Aléatoires Discrètes

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Plan 1

Notion de variable aléatoire Exemples Définition

2

Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type

3

Variable aléatoire centrée réduite Définition Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

4

Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Plan 1

Notion de variable aléatoire Exemples Définition

2

Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type

3

Variable aléatoire centrée réduite Définition Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

4

Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Notion de variable aléatoire

Souvent, lors d’une expérience aléatoire, on ne s’intéresse pas à l’issue ω de cette épreuve, mais à une fonction de cette réalisation (notée X (ω)) de cette issue, donnant une valeur numérique...

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Notion de variable aléatoire Exemples

Exemples 1 On jette deux fois un dé ; on s’intéresse à la somme des numéros obtenus. On s’intéresse au nombre de lancers d’une pièces pour obtenir "pile". On choisit deux réels au hasard dans [0, 1] ; on s’intéresse à leur somme.

Exemple 2 Une urne contient une boule rouge R, une boule verte V et une boule bleue B. On effectue deux tirages avec remise. On considère la règle du jeu suivante : 1

pour chaque boule rouge tirée, on gagne 3 euros ;

2

pour chaque boule verte tirée, on gagne 1 euro ;

3

pour chaque boule bleue tirée, on perd 4 euros.

On s’intéresse au montant des gains ou des pertes. (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Notion de variable aléatoire Définition

Définition Définition Soit un espace probabilisé (Ω, P(Ω), P) associé à une expérience aléatoire. On appelle variable aléatoire discrète, une application X , de Ω dans X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...}, ensemble fini ou dénombrable : X

: Ω → X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...} ω 7→ X (ω)

X (Ω) est appelé ensemble des observables.

Retour sur les exemples Parmi les exemples, quelles sont les v.a. discrètes ? Définir alors Ω.

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Notion de variable aléatoire Exemples Définition

2

Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type

3

Variable aléatoire centrée réduite Définition Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

4

Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Définition

Définition La loi de probabilité (ou distribution) de la v.a. discrète X est la fonction : X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...} → [0, 1] xi 7→ P(X = xi ) définie par P(X = xi ) = P(ω telles que X (ω) = xi ). On note généralement P(X = xi ) = pi .

Retour sur les exemples Déterminer la loi de probabilité des exemples de v.a. discrètes.

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Fonction de répartition

Définition On appelle fonction de répartition de X , la fonction F

:

R → x 7→

[0, 1] F (x) = P(X ≤ x)

Autrement dit, F (x) =

∑

P(X = Xi ).

xi ∈X (Ω),xi ≤x

Propriétés pour tout x réel, on a 0 ≤ F (x) ≤ 1. La fonction de répartition d’une v.a. est croissante et est continue à droite. X est une variable aléatoire discrète si et seulement si sa fonction de répartition est une fonction en escalier. (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Fonction de répartition

Retour sur l’exemple R,V,B Calculer et tracer la fonction de répartition de X .

Propriété Soient X une v.a. discrète, X (Ω) = {x1 , x2 , ...xn , ...} l’ensemble des observables, et F sa fonction de répartition. On a : P(X = x1 ) = F (x1 ) pour i ≥ 2 P(X = xi ) = F (xi ) − F (xi−1 )

Conséquence La connaissance de la loi de probabilité de X permet de calculer la fonction de répartition, et inversement. (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Fonction quantile

Propriété Soient X une v.a. discrète, X (Ω) = {x1 , x2 , . . . , xn , . . . } l’ensemble des observables, et F sa fonction de répartition. Le quantile d’ordre α ∈ [0, 1], noté q(α) = FX−1 (α) est la plus petite réalisation appartenant à X (Ω) associée à une probabilité supérieure ou égale à α F (q(α)) = F (F −1 (α)) = P(X ≤ q(α)) ≥ α.

Retour sur l’exemple R,V,B Calculer la médiane et le troisième quartile, c-a-d les quantiles d’ordre 0.5 et 0.75.

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Espérance

Définition L’espérance d’une v.a. discrète X est le nombre réel, s’il existe, défini par E(X ) = ∑ xi P(X = xi ) = ∑ xi pi i

i

Retour sur l’exemple R,V,B Calculer E(X ).

Propriétés de l’espérance Soit f une fonction de X (Ω) dans R. On a : E[f (X )] = ∑i pi f (xi ) Propriété de linéarité : soient a, b ∈ R, on a E[aX + b] = aE(X ) + b

Retour sur l’exemple R,V,B Soit Y = 2X + b, quelle est la valeur de b pour que E(Y ) = 0 ? (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Variance et écart-type

Définition La variance d’une v.a. X est, si elle existe, l’espérance de la variable aléatoire (X − E(X ))2 . On la note Var(X ) : Var(X ) = E[(X − E(X ))2 ] = E(X 2 ) − E(X )2 ≥ 0 Ainsi, dans le cas discret : Var(X ) = ∑i pi xi2 − E(X )2

Intérêt La variance permet de quantifier la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de l’espérance.

Retour sur l’exemple R,V,B Calculer Var(X ). (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Variance et écart-type

Propriété de la variance Var(X ) = 0 si et seulement si X est une v.a. constante. Soient a, b ∈ R : Var(aX + b) = a2 Var(X ).

Définition On appelle écart-type de la v.a. X, la racine carrée de sa variance. On le note σ (X ).

Intérêt Indice de dispersion possédant la même unité que les observables.

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Notion de variable aléatoire Exemples Définition

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type

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Variable aléatoire centrée réduite Définition Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

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Variable aléatoire centrée réduite Définition

Définition La v. a. centrée réduite définie à partir de la variable aléatoire X (supposée ) non constante et admettant un écart type fini) est la variable Y = X σ−E(X (X ) .

Propriétés de la variable centrée réduite Montrer que E(Y ) = 0 et que Var(Y ) = σ (Y ) = 1.

Intérêt facilite la comparaison de variables aléatoires. La connaissance de la loi centrée réduite permet d’obtenir la loi d’autres variables.

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Variable aléatoire centrée réduite Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff Soit X une variable aléatoire réelle. Pour tout réel ε > 0, on a : P(

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|X − E(X )| 1 ≥ ε) ≤ 2 σ (X ) ε

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Notion de variable aléatoire Exemples Définition

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Loi de probabilité (ou distribution) d’une variable aléatoire Définition Fonction de répartition Espérance Variance et écart-type

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Variable aléatoire centrée réduite Définition Inégalité de Bienaymé-Tchebycheff

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Compléments Fonction génératrice des moments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes) (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Compléments : Fonction génératrice des moments Fonction génératrice des moments

Définition La fonction génératrice d’une v.a. discrète X définie sur X (Ω) = {x1 , . . . , xn , . . .}, est la fonction MX définie sur R et à valeurs dans R+ par MX (t) = E(exp(tX )) =

∑

exp(txi )P(X = xi ).

xi ∈X (Ω)

Propriété La fonction génératrice d’une v.a. discrète X (lorsqu’elle existe) détermine tous les moments. En effet, pour tout k ≥ 1, on a (k)

E(X k ) = MX (t)|t=0 ,

ainsi E(X ) = MX0 (0), E(X 2 ) = MX00 (0).

Retour sur l’exemple R,V,B Retrouver le fait que E(X ) = 0 et E(X 2 ) = 52/3 en utilisant le fait que MX (t) = (exp(−8t) + 2 exp(−3t) + 2 exp(−t) + exp(2t) + 2 exp(4t) + exp(6t)) /9 (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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Compléments Indépendance et somme de v.a. (indépendantes)

Soient X et Y deux v.a. discrètes définies sur {xi , i ∈ I } et {yj , j ∈ J } où I et J sont deux ensembles dénombrables. On a les définitions et propriétés suivantes : X et Y sont dites indépendantes ssi pour tous i ∈ I et j ∈ J , P([X = xi ] ∩ [Y = yj ]) = P(X = xi )P(Y = yj ). Z = X + Y est une v.a. discrète définie sur {xi + yj , i ∈ I , j ∈ J }, et on a toujours E(Z ) = E(X ) + E(Y ). Si en outre, X et Y sont indépendantes, Var(X + Y ) = Var(X ) + Var(Y ).

Somme de dés Soient X1 et X2 les faces supérieures correspondantes à deux lancers indépendants de dé et soit Z la moyenne de ces deux v.a. Calculer E(Z ) et Var(Z ) (même question avec n dés). (L2 Eco-Gestion, option AEM)

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