Chapitre 5 : Trigonométrie.

Chapitre 5 : Trigonométrie. I-

̂ mes𝐼𝑂𝑀 Longueur de l’arc IM

0°

30°

45°

60°

90°

Cercle trigonométrique. A)

Placer E tel que l’arc AE =

Longueur d’un arc

Placer F tel que AF =

B)

̂ mes 𝐼𝑂𝑀 Longueur de l’arc IM

360°

90°

180°

Β°

 ; 3

 6

Cercle trigonométrique.

Si on enroule la droite (I ; j ) sur le cercle, le point d’abscisse x vient s’appliquer sur un unique point M(x) du cercle.

l

A chaque réel x correspond un unique point du cercle. ̂ = 270° Placer B tel que mes 𝐼𝑂𝐵 Placer D tel que l’arc I D =

5 4

Placer C tel que l’arc I C =

 4

x

M(x)

 2



3 2

 4

2 4

3 4

C ) Mesure d’angle en radian. x

0

2π

3π

5π

7π

π + 52×(2 π)

M(x)

x

 + 27×2 π 4

-

 2

-π

-

3 4



7 4



15 2

M(x) Définition : Le cercle C ainsi gradué est un cercle trigonométrique.  est l’abscisse curviligne de J. … 2

Remarque : Si x est une abscisse curviligne de M alors tout réel de la forme x + … avec k ∈ ℤ est une abscisse curviligne de M.

Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique et x son abscisse curviligne. ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Mesure en radian de l’angle orienté (𝑂𝐼 𝑂𝑀) : mes(𝑂𝐼 𝑂𝑀) = x Propriété : Les mesures en degrés et en radians, d’un angle géométrique, sont proportionnelles.

II -

Angle orienté de deux vecteurs non nuls

A ) Définition. Soit C un cercle trigonométrique d’origine I. Définition : Soit les points M et N d’abscisses curvilignes xm et xn. (OM ; ON ) est un angle orienté de vecteurs.

Définition : Soit 𝑢 ⃗ et 𝑣 deux vecteurs non nuls. L’angle orienté des vecteurs 𝑢 ⃗ et 𝑣 est celui des vecteurs unitaires ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (𝑂𝑀 𝑂𝑁) où M et N sont des points du cercle trigonométrique tel que 1 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀 = ‖𝑢⃗‖ ∗ 𝑢 ⃗ et ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑁 = ‖𝑣⃗‖ ∗ 𝑣 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑂𝑁 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) i.e. (𝑢 ⃗ ;𝑣) =(𝑂𝑀

mes (OM ; ON ) = xn – xm.

Exercice : Donner les mesures d’angles en radians. Remarque : si α est une mesure de ( u ; v ), alors mes (OI ; OE ) = mes (OE ; OJ ) = mes (OH ; OJ ) =

α + k2π (k ∈ ℤ) est aussi une mesure de ( u ; v ) On écrira ( u ; v ) = α + k2π (k ∈ ℤ) ou bien ( u ; v ) = α (2π) "modulo" Définition : On appelle mesure principale d’un angle orienté de vecteurs non nuls, la mesure en radians de cet angle qui appartient à ] – π ; π ]

mes (OJ ; OE ) = Exemple : ( u ; v ) =

7𝜋 2

La mesure principale de ( u ; v ) est Car ( u ; v ) = ………..= Remarque : (OM ; ON ) désignera soit l’angle soit sa mesure.

B)

Propriétés des angles orientés.

Exemple 2 : ABC est une triangle équilatéral.

Angle nul : (𝑢 ⃗ ;𝑢 ⃗ ) = 0 (2π)

Compléter par les mesures :

Angle plat : (𝑢 ⃗ ;−𝑢 ⃗ ) = (−𝑢 ⃗ ;𝑢 ⃗)=π

(2π)

⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐴

Propriétés : k est un réel positif; 𝑢 ⃗ , 𝑣 et 𝑤 ⃗⃗ sont trois vecteurs non nuls. 

(𝑢 ⃗ ;𝑤 ⃗⃗ ) = (𝑢 ⃗ ;𝑣) + (𝑢 ⃗ ;𝑤 ⃗⃗ )



(𝑢 ⃗ ; k 𝑣) = (𝑢 ⃗ ;⃗⃗⃗𝑣) = (k𝑢 ⃗ ;⃗⃗𝑣)

Conséquences :  (𝑣 ;𝑢 ⃗ ) = - (𝑢 ⃗ ; 𝑣) 

(2π)

(relation de Chasles) (2π)

(2π)

(-𝑢 ⃗ ; 𝑣) = (𝑢 ⃗ ; -𝑣 ) = (𝑢 ⃗ ; 𝑣) + π

(2π)

Démonstration : (à compléter) (𝑣 ;𝑢 ⃗ ) + (𝑢 ⃗ ; 𝑣) = …… = …..

( 2π) d’où

(-𝑢 ⃗ ; 𝑣) = (−𝑢 ⃗ ;𝑢 ⃗ ) + (𝑢 ⃗ ; 𝑣) = ….. + …….

Exemple 1 : ABCD est une rectangle ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐷𝐴 Déterminer (𝐷𝐵

(2π)

⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝐵𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗ ;𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗ ) + π = − 𝜋 + π = 2𝜋 (𝐴𝐵 3 3

III - FONCTIONS CIRCULAIRES (sinus et cosinus)

C)

A ) Définition : Soit M un point du cercle trigonométrique tel que x soit une mesure en radian de l’angle orienté ( OI, OM ). Alors :  cos(x) est l’abscisse de M dans le repère (O, OI, OJ )

Propriétés

a) pour tout x réel ,

≤ cos(x) ≤

;

≤ sin(x) ≤

b) pour tout x réel

[cos(x)] 2 + [sin(x)] 2 =

que l’on écrit : cos² x + sin² x = 

sin(x) est l’ordonnée de M dans le repère (O, OI, OJ ) Application au tableau de valeurs suivant :

x M(x)

0

 4

 6

sin x cos x   ) = sin ( ) 4 4 En utilisant la propriété b), trouver la valeur de a.

* Posons a le réel tel que a = cos ( Remarque : tan x =

sin x  pour x ≠ +kπ cos x 2

* M1 est le point d’abscisse curviligne B)

Tableau de valeurs

Que dire du triangle OIM1 ? H est le projeté orthogonal de M1 sur (OI).  Que dire de H ? En déduire cos( ).

Compléter : x M(x) cos(x) sin(x)

0

π

-2 π

 2



 2

3 2

 . 3

2527 π

3

En utilisant la propriété b), trouver sin(

 ). 3

 3

 2

D)

Etude des fonctions cosinus, sinus et tangente. (hors programme)

1) Périodicité : Soit x un réel quelconque. Sur le cercle trigonométrique, M(x) est le point d’abscisse curviligne x. Placer le point M(x + 2π) d’abscisse curviligne x + 2π. On a :

cos (x + 2π) =

On peut donc étudier les fonctions sinus et cosinus sur l’intervalle ]- π ; π]

2) Parité Placer le point M(-x) d’abscisse curviligne –x A l’aide du dessin, compléter : Pour tout x réel, cos(-x) = sin(-x) =

Pour tout x réel,

La fonction cos est une fonction est une fonction

La fonction sin

On peut donc se contenter d’étudier ces fonctions sur l’intervalle …….

On admettra que :

La fonction cosinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction sinus Tableau de dérivée : Fonction f sin

; sin (x +2π) =

Remarque :Les fonctions cosinus et sinus sont 2π-périodique sur ℝ. Pour tout x réel, cos (x + 2π) = ; sin (x +2π) =

3) Variations.

La fonction sinus est dérivable sur ℝ et sa dérivée est la fonction cosinus

cos tan x ↦ sin(ax + b) x ↦cos(ax + b)

Fonction dérivée f’

Définie sur ℝ