CHAPITRE 6 : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS
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CHAPITRE 6 : STATISTIQUES ET PROBABILITÉS Objectifs : • [3.130] Déterminer une valeur médiane d'une série statistique (liste, tableau, graphique) et en donner la signification. • [3.131] Déterminer les quartiles d'une série statistique (liste, tableau, graphique) et en donner la signification. • [3.132] Déterminer l'étendue d'une série statistique (liste, tableau, graphique). • [3.133] Exprimer et exploiter les résultats de mesures d'une grandeur (notion d'incertitude, validité, ...). • [3.134] Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité. • [3.135] Calculer des probabilités dans des contextes familiers.
I. STATISTIQUES a) Rappel sur la moyenne La moyenne d'une série statistique est le quotient de la somme de toutes les valeurs de cette série par l'effectif total. Exemple 1 : Voici 5 notes : 12 ; 14 ; 15 ; 11 ; 18 1214151118 70 = =14 La moyenne est : m= 5 5 Exemple 2 : Relevé des âges de 25 élèves. Age 13 14 15 16 Effectif 2 9 11 3 La moyenne pondérée par les effectifs de cette série est égale à : 13×214×915×1116×3 m= =14,6 ans. 29113 Exemple 3 : Regroupement par classes Voici la répartition d'une récolte de pommes après calibrage. Calibre (mm) [55-60[ [60-65[ [65-70[ [70-75[ [75-80[ [80-85[ Centre de la classe
57,5
62,5
67,5
72,5
77,5
82,5
Effectif (en kg) 130 200 320 240 270 160 La moyenne de cette série regroupée en classes est égale à : 130×57,5200×62,5320×67,5240×72,5270×77,5160×82,5 =70,5 (à 0,1 près) 130200320240270160 Remarque : Le regroupement en classe permet des calculs plus rapides mais ne permet pas d'obtenir la valeur exacte de la moyenne.
b) Médiane d'une série statistique La médiane d'une série statistique partage cette série en deux groupes de même effectif : – les valeurs inférieures ou égales à la valeur médiane. – les valeurs supérieures ou égales à la valeur médiane. Exemple 1 : Un professeur a classé par ordre croissant les notes des 13 garçons et des 14 filles d'une classe. Garçons : 7 8 9 9 10 10 11 12 13 14 14 15 17 6 notes
Valeur médiane
6 notes
Filles : 7 7 9 9 10 11 12 13 13 13 14 14 15 15 7 notes
Valeur médiane : 12,5
7 notes
Exemple 2 : A la question « Depuis combien d'années résidez-vous dans la même ville ? », les cinquante personnes interrogées ont donné les réponses suivantes : Nombre d'années
1
2
3
4
5
6
plus de 6
Total
Effectif
2
4
5
10
6
12
11
50
Effectif cumulé
2
6
11
21
27
39
50
L'effectif total est 50. Si on classe les valeurs par ordre croissant, la 25e valeur est 5. La médiane est donc égale à 5 années.
c) De nouvelles caractéristiques Le premier quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q1 telle qu'au moins 25 % des valeurs sont inférieures à Q1 . Le troisième quartile d'une série statistique est la plus petite valeur Q3 telle qu'au moins 75 % des valeurs sont inférieures à Q3 . L'étendue d'une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus petite des valeurs prises par cette série.
Exemple 1 : Voici le temps consacré, en minutes, au petit-déjeuner par 16 personnes. 16
12
1
9
17
19
13
10
4
8
7
8
14
12
14
9
Détermine une valeur médiane, les valeurs des premier et troisième quartiles, ainsi que l'étendue de cette série statistique. On commence par ranger les 16 valeurs dans l'ordre croissant. 1
4
7
8
8
9
9
10
12
12
13
14
14
16
17
19
•
Tout nombre compris entre la 8 e et la 9e valeur peut être considéré comme médiane. En général, on prend la demi-somme de ces deux valeurs : m = 11. (La moitié de ce groupe consacre moins de 11 minutes au petit-déjeuner.)
•
25 % et 75 % de 16 sont égaux à 4 et 12 donc le premier quartile est la 4 e valeur, soit Q1 = 8, et le troisième quartile est la 12e valeur, soit Q3 = 14.
•
19 − 1 = 18 donc l'étendue est 18.
Exemple 2 : On donne la répartition des notes à un contrôle dans une classe de 27 élèves. Note sur 20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Effectif
2
3
5
2
1
6
3
3
2
Détermine une valeur médiane, les valeurs des premier et troisième quartiles, ainsi que l'étendue de cette série statistique. On commence par calculer les effectifs cumulés croissants. Note sur 20
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Effectifs cumulés
2
5
10
12
13
19
22
25
27
•
L'effectif total est de 27. Or 27 ÷ 2 = 13,5 donc la médiane est la 14 e note : m = 12. Cette valeur partage la série en deux groupes de même effectif : un groupe de 13 notes inférieures ou égales à 12 et un groupe de 13 notes supérieures ou égales à 12.
•
25 % et 75 % de 27 sont égaux à 6,75 et 20,25 donc le premier quartile est la 7 e valeur, soit Q1 = 9, et le troisième quartile est la 21e valeur, soit Q3 = 13.
•
15 − 7 = 8 donc l'étendue est 8.
II. PROBABILITÉS Le calcul des probabilités consiste à mesurer le caractère probable d'un événement avec la plus grande précision possible et ce, dans des contextes très variés tels que les jeux, la météorologie, les finances, la chimie ou même la médecine. Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles sans pouvoir déterminer de manière certaine lequel va se produire. On appelle issue ou éventualité de l’expérience chacun des résultats possibles de l’expérience. L’ensemble des issues de l’expérience est appelé univers.
Exemple 1 : Détermine la probabilité de tirer un as ou un trèfle dans un jeu de 32 cartes. Dans un jeu de 32 cartes, il y a quatre as et huit trèfles (dont un as). Il y a donc onze chances sur 32 de 11 . tirer un as ou un trèfle soit une probabilité de 32
Exemple
2 : Un joueur de tennis a droit à deux tentatives pour réussir sa mise en jeu. Fabbio réussit sa première balle de service dans 65 % des cas. Quand il échoue, il réussit la seconde dans 80 % des cas. Quelle est la probabilité qu'il commette une double faute (c'est-à-dire qu'il échoue deux fois de suite) ? Ce joueur réussit sa première balle de service dans 65 % des cas, ce qui signifie qu'il échoue dans 35 % des cas. Parmi ces 35 % de cas-là, il réussit sa deuxième balle de service dans 80 % des cas, ce qui signifie qu'il échoue une nouvelle fois dans 20 % des cas. Ainsi, 20 % de 35 % des mises en jeu effectuées ne sont pas réussies. La probabilité qu'il commette 20 35 7 × une double faute est donc de soit .(Autrement dit, Fabbio commet une double faute 100 100 100 dans 7 % des cas.)
Exemple 3 : Dans une urne, il y a cinq boules rouges (R), deux boules bleues (B) et une boule verte (V),
indiscernables au toucher. On tire successivement et sans remise deux boules. Détermine la probabilité de tirer deux boules de la même couleur. On peut représenter tous les résultats sur un arbre en indiquant sur les branches correspondantes la probabilité de chaque résultat lors des deux tirages. (L'expérience s'effectuant sans5remise, il restera sept boules au second tirage.).1 2 8 8 8 R 1er tirage
B
V
4 7
2 7
1 7
5 7
1 7
1 7
5 7
2 7
0 7
R
B
V
R
B
V
R
B
V
2e tirage
On suppose que l'on reproduit un grand nombre de fois l'expérience : 5 4 dans des cas, on obtiendra R au premier tirage et dans de ces cas, on obtiendra R une nouvelle 8 7 5 4 20 × fois lors du deuxième tirage. Donc, il y aura soit des expériences qui donneront comme 8 7 56 résultat (R, R). 2 1 2 1 0 × × De même, il y aura soit des expériences qui donneront comme résultat (B, B) et 8 7 56 8 7 c'est-à-dire aucune expérience qui donnera comme résultat (V, V). 20 2 22 . La La proportion d'expériences donnant deux boules de même couleur est donc de soit 56 56 56 22 . probabilité d'obtenir la même couleur est donc 56
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