CHAPITRE : COMPLEXES Introduction : Quels nombres

CHAPITRE : COMPLEXES

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I. Introduction : 1. Quels nombres connaissons-nous ? A quoi servent-ils ? : _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

2. Le nombre i : C’est un nombre dont _________________________________________________

3. L’ensemble des nombres complexes : on le note : ________________ On a :_________________________________________________________________

II. Forme algébrique d’un nombre complexe : 1. Définitions : Chaque élément de ℂ s’écrit de manière unique : z=a +ib.



a est appelée _________________________de z .



b est appelée __________________________de z. Remarques :

 Si b=0 , on a z = a donc , z est ___________________________________.  Si a = 0 , on a z =ib , on dit que z est : _____________________________. 2. Exercice : Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de chacun des nombres complexes suivants :

 z = 2+3i  z= –1+12i  z=–3i

 z=𝜋  z=4i – 13  z=3 –74i

3. Propriété : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire :

III. Calculs avec les nombres complexes :

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1. Somme de 2 nombres complexes : z+z’ = _________________________________________________________ Exemple : _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

2. Opposé d’un nombre complexe : L’opposé de z = a + ib est :

__________________________

3. Produit de deux nombres complexes : z x z’ = _______________________________________________________ Remarque :

4. Exercice : Soit z=2+3i et z’=i – 5 . Calculer et écrire sous forme algébrique : z + z’ , z – z’ , 2z – 3z’ , zz’ , z² , 2z + z’² .

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________

5. Conjugué d’un nombre complexe :

3 On note : z̅ le nombre conjugué de z . Définition : ______________________________________________________ Remarques : z + z̅ =____________________ z x z̅ =_______________________ Ce nombre conjugué permet de calculer l’inverse d’un nombre complexe et de l’écrire sous la forme a+ib. 1 Calculer : z = . 2+3i _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ z’=

1−2i 3+i

.

_______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ _______________________________________________________________ On démontre que :  le conjugué d’une somme est la somme des conjugués. _________________________________________________________ _________________________________________________________ 

le conjugué d’un produit est le produit des conjugués. ________________________________________________________ _________________________________________________________



Le conjugué de l’inverse est l’inverse du conjugué. _________________________________________________________ _________________________________________________________



Le conjugué d’un quotient est le quotient des conjugués. _________________________________________________________ _________________________________________________________ _________________________________________________________

IV. Représentation géométrique des nombres complexes :

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1. Définitions : On considère le plan P muni d’un repère orthonormé ( O ;𝑢 ⃗ , 𝑣 ). A tout nombre complexe z=a+ib, on peut associer le point M de coordonnées M(a ;b). Réciproquement, à tout point M de coordonnées M(a ;b) , on peut associer le nombre complexe z=a+ib. Définitions : a. __________________ du nombre complexe z=a+ib est le point M de coordonnées M (a ;b).

b. ___________________

du point M est le nombre complexe z= a+ib.

2. Définitions : a. _____________________ du nombre complexe z=a+ib est le vecteur b.

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀=a𝑢 ⃗ +b𝑣 . _____________________ du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀=a𝑢 ⃗ +b𝑣 est le nombre complexe z=a+ib.

3. Images de deux nombres complexes conjugués. Soit M l’image de z=a+ib. L’image M’ du conjugué de 𝑧̅ = a – ib est le point M’, symétrique de M par rapport à la droite des réels.

4. Propriétés : Nous pouvons maintenant associer un vecteur à un nombre complexe. Nous allons comparer les résultats obtenus avec les vecteurs et avec les nombres complexes.  Addition : Si z1=a1+ib1 et z2=a2+ib2 sont les affixes respectives de M1 et de ⃗⃗⃗2 alors z1 + z2 est l’affixe de ⃗⃗⃗ M2 donc de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀1 = ⃗⃗⃗ 𝑉1 et de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑂𝑀2 =𝑉 𝑉1 + ⃗⃗⃗ 𝑉2 .  Multiplication par un nombre réel : Si  est un nombre réel, alors z1 est ⃗⃗⃗1 . l’affixe de 𝑉  Conséquence : z2 – z1 est l’affixe de ⃗⃗⃗ 𝑉2 – ⃗⃗⃗ 𝑉1 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑀1 𝑀2 Cette propriété est utilisée en sciences physiques.

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5. Module d’un nombre complexe a. Définition : Le module du nombre complexe z=a + ib est le nombre réel |z|= √𝑎2 + 𝑏 ²

b. Interprétation géométrique : Le module de z est la distance de O à M ( M : image de z ) ; c’est aussi la norme du vecteur ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ 𝑂𝑀 : |z| =OM=‖𝑂𝑀

c. Module d’une différence, distance entre deux points : Soient z1 et z2 des nombres complexes d’images respectives : M1 et M2. La distance entre M1 et M2 est égale au module de z2 – z1 ; on a : M1M2 = | z2 – z1|=√(𝑎2 − 𝑎1 )2 + (𝑏2 − 𝑏1 )2

Ce résultat permet d’utiliser les nombres complexes pour démontrer des propriétés relatives à des distances en géométrie plane. Exercice : Le plan complexe est rapporté à un repère ( O ;𝑢 ⃗ , 𝑣 ) d’unité graphique 1 cm. On considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA = √3 + 3i ; zB = 2√3 et zc=2i.

1. 2. 3. 4.

Placer les points A, B et C dans le plan complexe. Calculer les modules des nombres complexes : zA – zC , zB – zA et zB –zC . Interpréter géométriquement les résultats obtenus. En déduire que le triangle ABC est rectangle.