Chapitre II. Arithmétique

Chapitre II. Arithmétique I-

2012

Les ensembles: Il existe plusieurs ensembles de nombres. ℕ: Ensemble des nombres entiers naturels. ℕ = {0; 1; 2; 3; ⋯ } Contient tous les nombres entiers positifs. ℤ: Ensemble des nombres entiers relatifs. ℤ = {⋯ ; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; ⋯ } Contient tous les nombres entiers positifs et négatifs. On en déduit que l’ensemble ℕ est contenu dans l’ensemble ℤ . (ℕ ⊂ ℤ ) . ℕ ⊂ ℤ : Se lit ℕ est inclus dans ℤ . D : Ensemble des nombres décimaux. Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme suivante : 𝒂 𝟏𝟎𝒏 Où 𝑎 est un nombre entier relatif (𝑎 ∈ ℤ) et 𝑛 un entier naturel( 𝑛 ∈ ℕ) Remarque : 100 = 1 Donc tout entier relatif 𝑎 peut être écrit sous la forme suivante : 𝑎 𝑎= 0 10 Autrement dit tout nombre relatif est aussi nombre décimal. Par conséquent, L’ensemble des nombres entier relatif est contenu (ou inclus) dans l’ensemble des nombre décimaux. ℕ⊂ℤ⊂𝐷 ℚ: Ensemble des nombres rationnels. Ensemble de tous les nombres que l’on peut mettre sous la forme 𝒂 𝒃 Où 𝑎 est un entier relatif. (𝑎 ∈ ℤ) , et 𝑏 un entier relatif non nul.( 𝑏 ∈ ℤ∗ ). ℤ∗ ∶ Ensemble des entiers relatifs non nuls. Remarque : Tout nombre décimal est un nombre rationnel. (𝐷 ⊂ ℚ) ℝ: Ensemble des nombres réels. Un nombre irrationnel, est un nombre que l’on ne peut pas mettre sous la forme

𝑎 𝑏

.

Exemples : Le nombre 𝜋 ≃ 3,14 ⋯

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Le nombre √2 ≃ 1,414 ⋯ ℝ: Est l’ensemble des nombres rationnels et irrationnels. Résumé :

ℕ⊂ℤ⊂𝑫⊂ℚ⊂ℝ

II-

Vocabulaire. Diviseurs et multiples : 30 = 5 × 6 On dit que 30 est un multiple de 5 et de 6. On dit que 5 est un diviseur de 30, de même 6 est un diviseur de 30.

Si 𝑁 = 𝑎 × 𝑏 .  𝑁 : est un multiple de 𝑎 𝑒𝑡 𝑑𝑒 𝑏.  𝑎 𝑒𝑡 𝑏: Sont des diviseurs de 𝑁.

Ensemble des diviseurs d’un nombre : Les diviseurs de 30 sont 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 6 ; 10 ; 15 et 30. On note :𝐷(30) = {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} L’ensemble des diviseurs de 30. On note : 𝑀(5) = {0; 5; 10; 15; 20; ⋯ } L’ensemble des multiples de 5. 1 est un diviseur de tous les nombres. 0 est un multiple de tous les nombres. Nombre premier :

Définition : Un nombre est dit premier s’il a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.

L’ensemble des nombres premiers est infini. Les nombre premiers sont utilisés en cryptographie.

Propriété : Tout nombre entier est décomposable en produit de facteurs premiers.

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Remarque : Soit 𝐷(225) L’ensemble des diviseurs de 225. 𝐷(225) = {𝟏; 𝟑; 𝟓; 9; 𝟏𝟓; 25; 45; 75; 225}

Le nombre de diviseurs est égal à (𝟐 + 1) × (𝟐 + 1) = 3 × 3 = 𝟗

225 = 3𝟐 × 5𝟐 420 = 2𝟐 × 3𝟏 × 5𝟏 × 7𝟏 De même 420 admet (𝟐 + 1) × (𝟏 + 1) × (𝟏 + 1) × (𝟏 + 1) = 3 × 2 × 2 × 2 = 𝟐𝟒 diviseurs 𝐷(420) = {𝟏; 2; 𝟑; 4; 𝟓; 6; 7; 10; 12; 14; 𝟏𝟓; 20; 21; 28; 30; 35; 42; 60; 70; 84; 105; 140; 210; 420} Ces deux nombres ont plusieurs diviseurs en communs. Parmi ces diviseurs communs : 15 est le plus grand 15 est le plus grand diviseur commun des nombres 225 et 420. On note 𝑃𝐺𝐶𝐷(225; 420) : Le plus grand diviseur commun de 225 et 420. Nombres premiers entre eux :

Définition : Deux entiers sont premiers entre eux, si leur PGCD est égal à 1

III-

Algorithmes d’Euclide et de différences.

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1- Algorithme d’Euclide. Exemple : Calcul du PGCD de deux nombres. PGCD (420 ; 225)=15 Dividende 420 225 195 30

Diviseur 225 195 30 15

Reste 195 30 15 0 Euclide Philosophe et mathématicien Grec. Naissance vers 325 av J.C. Décès vers 365 av J.C.

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2- Algorithme des soustractions successives. Exemple :

420  225  195 225  195  30 195  30  165 165  30  135 135  30  105 105  30  75 75  30  45 45  30  15 30  15  15 15  15  0

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