Contrôle de statistiques Sujet 1 – Corrigé

Contrôle de statistiques Sujet 1 – Corrigé L2 d’économie - Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Nom : Prénom : Les exercices sont indépendants. Le barème est indicatif. L’utilisation de documents, calculatrices, téléphones portables ou tout autre appareil électronique, est interdite. Les réponses devront être soigneusement argumentées et justifiées. Vous pouvez laisser les résultats sous la forme de fractions. L’énoncé doit impérativement être rendu avec la copie.

Exercice 1 (6 points) On propose à King de jouer à un nouveau jeu de hasard. Dans ce jeu, il tire 3 jetons avec remise d’une urne contenant 9 jetons. Chaque jeton peut être soit vert, soit rouge. Il y a 3 jetons verts et 6 jetons rouges. Chaque jeton vert rapporte 3e à King, alors que chaque jeton rouge lui fait perdre 1e. Soit X la variable aléatoire représentant les gains totaux de King (ses gains après les 3 tirages). Question 1 Donner l’univers Ω de l’expérience aléatoire. On a Ω = {(j1 ,j2 ,j3 ), avec ji ∈{vert, rouge}}. Le cardinal de Ω est 23 . Question 2 Donner la loi de X. X peut prendre 4 valeurs : — −3 si les 3 jetons sont rouges. — 1 si 1 jeton est vert et 2 jetons sont rouges. — 5 si 2 jetons sont verts et 1 jeton est rouge. — 9 si les 3 jetons sont verts. On a donc X(Ω) = {−3,1,5,9}. La loi des tirages est une loi uniforme, la probabilité d’un événement élémentaire est P(ω) = probabilité d’obtenir :

1 . 23

La

2 6 9 = 3 = 39 = 13

— Un jeton rouge P(j = rouge) = — Un jeton vert est P(j = vert) La loi de X est :

P(X = −3) =

 3 2

3

=

8 27

 2 2

1 4 = 3 3 9  2 1 2 2 P(X = 5) = A23 × × = 3 3 9  3 1 1 P(X = 9) = = 3 27

P(X = 1) =

A13

×

×

A13 est A23 correspondent au nombre possible d’ordre pour les jetons verts.

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Question 3 Donner l’espérance de X. E(X) = −3 × P(X = −3) + 1 × P(X = 1) + 5 × P(X = 5) + 9P(X = 9) 8 12 6 1 = −3 × +1× +5× +9× 27 27 27 27 −24 + 12 + 30 + 9 = 27 =1 L’espérance de gain de ce jeu est de 1e. Question 4 Donner la fonction de répartition de X, que l’on notera FX . La fonction de répartition FX est donnée par FX (t) = P(X ≤ t), ∀t ∈ R. On obtient donc :  P(X ≤ t)       P(X = −3)

=0 8 = 27 8+12 P(X = −3) + P(X = 1) = 27 = 20 FX (t) = 27   8+12+6 26  P(X = −3) + P(X = 1) + P(X = 5) = =  27 17   P(X = −3) + P(X = 1) + P(X = 5) + P(X = 9) = 1

si si si si si

t < −3 −3≤t