Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h) E 1 E 2 E 3

1S

Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)

On considère la variable aléatoire X qui, à n articles achetés par un commerçant, associe

. Contrôle : loi binomiale, applications de la dérivation (2h)

E

le nombre d'articles défectueux.

1

( 5 points ) . correction Après fabrication, les lecteurs MP3 d'une entreprise subissent quatre contrôles successifs

1. Justifier que X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 2. Le commerçant achète n = 25 articles. On arrondira les résultats à 10−3 près.

indépendants, la probabilité qu'un lecteur MP3 de la production soit rejeté à un contrôle est de 0, 106 .

(a) Déterminer la probabilité qu'au moins 3 articles soient défectueux.

Un lecteur MP3 est :

(b) Déterminer la probabilité qu'au plus 4 articles soient défectueux.

□

commercialisé s'il subit avec succès les quatre contrôles successifs ;

(c) Déterminer la probabilité qu'exactement 2 articles soient défectueux.

□

détruit s'il est rejeté au moins deux fois ;

3. Combien y a-t-il en moyenne d'articles défectueux ?

□

commercialisé sans le logo sinon.

4. Le commerçant souhaite que la probabilité d'avoir au moins un article défectueux soit

Le coût de fabrication d'un lecteur MP3 s'élève à 50 e. Son prix de vente est de

inférieure à 0, 5 . Déterminer la valeur du nombre n d'articles qu'il peut commander.

120 e pour un lecteur avec logo et 60 e pour un lecteur sans logo.

5. Écrire un algorithme qui permet de déterminer la valeur de n trouvée précédemment.

On désigne par G la variable aléatoire qui, à chaque lecteur MP3 fabriqués, associe le gain algébrique (éventuellement négatif) réalisé par l'entreprise.

E

3

( 5 points ) . correction « Avec la crème Norel, les rides sont visiblement réduites », c'est ce qu'affirme la firme de

1. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire G (arrondir à 10−3 près). 2. Calculer à 10−2 près l'espérance mathématique de G . Donner une interprétation de ce résultat.

cosmétologie Norel dans une publicité. Elle ajoute : « 78 % des femmes utilisant cette crème se déclarent satisfaites du résultat. » Une association de consommateurs souhaite vérifier les dires de l'entreprise. À partir d'un échantillon de 200 utilisatrices (la population est suffisamment grande pour considérer

E

2

( 5 points ) . correction Une entreprise A est spécialisée dans la fabrication en série d'un article.

qu'il s'agit de tirages avec remise), on obtient une fréquence f d'utilisatrices satisfaites du

Un contrôle de qualité a établi que la probabilité qu'un article produit soit défectueux est

On souhaite savoir pour quelles valeurs de f , on peut mettre en doute le pourcentage

égale à 0, 05 .

annoncé par le fabriquant au seuil de 5 %.

produit.

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1. On fait l'hypothèse que Noreal dit vrai et que le taux de femmes satisfaites est p = 0, 78 .

E

5

Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire X égale au nombre de femmes satisfaites

( bonus ) . correction Dans un repère orthormé, P est la parabole d'équation y = x 2 . h est un nombre réel

de l'échantillon ?

strictement positif. On inscrit dans la partie du plan délimitée par P et la droite d'équation y = h un rectangle

2. On note I l'intervalle de fluctuation à 95 %. Déterminer I .

comme sur la figure ci-dessous.

3. Énoncer la règle de décision permettant de rejeter ou non l'hypothèse p = 0, 78 selon

4. Sur 200 femmes interrogées, 71 % se déclarent satisfaites de la crème Noreal. Peut-on considérer, au seuil de 5 %, l'affirmation du fabriquant comme exacte ?

porte que sur 100 femmes ? Expliquez votre résultat.

4

( 5 points ) . correction Soit f la fonction définie sur I = ]3 ; +∞[ par : f (x) =

3

d'aire maximale dont on exprimera

2

les dimensions en fonction de h .

1

5. Même question si le pourcentage de femmes satisfaites est de 71 % mais que l'étude ne

E

Démontrer qu'il existe un rectangle

h

la valeur de la fréquence f des consommatrices satisfaites de l'échantillon.

x2 + 7 . x −3

1. Déterminer l'expression de la dérivée f ′ de f sur I . 2. Dresser le tableau de variation de f sur l'intervalle I . 3. Déterminer le minimum de f sur I et la valeur pour laquelle il est atteint. 4. En déduire que pour tout x > 3 , on a f (x) ⩾ 14 .

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−2

−1 0

1

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2. (a) P (X ⩾ 3) ≈ 0, 127 ;

. Correction

(b) P (X ⩽ 4) ≈ 0, 993 ;

E

1

. énoncé

(c) P (X = 2) ≈ 0, 231 ;

1. Soit X la variable aléatoire qui à un lecteur MP3 associe le nombre de fois où il est rejeté. X suit une loi binomiale de paramètre 4 et 0, 106 .

3. E (X) = 25 × 0, 05 = 1, 25 . 4. P (X ⩾ 1) = 1 − P (X = 0) = 1 − 0, 95n .

□

P (G = 10) = P (X = 1) ≈ 0, 303 ;

□

P (G = 70) = P (X = 0) ≈ 0, 639 ;

□

P (G = −50) = 1 − P (G = 10) − P (G = 70) ≈ 0, 058 .

Avec la fonction TABLE de la calculatrice on obtient 0 ⩽ n ⩽ 13 . 5. VARIABLES : Entier : n

xi P (G = x i )

−50

10

70

DEBUT n←1

0, 058

0, 303

0, 639

tant que 1 − 0, 95n ⩽ 0, 5 faire

2. E (G) ≈ 44, 86 .

n ← n+1 fintantque

E

2

afficher(n-1)

. énoncé

FIN 1. On assimile le contrôle de qualité d'un produit fabriqué à une épreuve de Bernoulli de paramètre 0, 05 .

E

On répète n fois, de manière indépendante, une épreuve de Bernoulli de paramètre 0, 05 .

3

. énoncé

X compte le nombre de succès (nombre d'articles défectueux) donc X suit une loi bino-

1. On répète 200 fois de manière identique des épreuves de Bernoulli indépendantes de

miale de paramètres n et 0, 05 .

paramètre 0,78 , X suit la loi binomiale de paramètre 200 et 0, 78 . Page 3

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2. a = 144 et b = 167 . On en déduit I = [0, 72 ; 0, 837] . 3.

□

□

E

5

énoncé

. p ] Soit x ∈ 0 ; h et S (x) l'aire du rectangle inscrit. ( ) S (x) = 2x h − x 2 = −2x 3 + 2hx [ p ] [ p ] S est dérivable sur 0 ; h et pour tout x ∈ 0 ; h ,

Si f ∉ I on rejette l'hypothèse au seuil de 5 % ;

si f ∈ I on ne rejette pas l'hypothèse au seuil de 5 %.

[

S ′ (x) = −6x 2 + 2h .

4. 0, 71 ∉ I donc on rejette l'hypothèse au seuil de 5 %.

√ x

5. Si l'échantillon ne comporte que 100 femmes alors a = 70 et b = 86 . On en déduit

0

Sgn.

+

f ′ (x)

alors I = [0, 70 ; 0, 86] et f ∈ I . On ne peut donc plus rejeter l'hypothèse au seuil de 5 %.

f

E

4

0

. énoncé

1. f est dérivable sur I et pour tout x ∈ I , f ′ (x) =

( ) 2x (x − 3) − x 2 + 7 (x − 3)2

=

x 2 − 6x − 7 (x − 3)2

2 L= h. 3

.

2. ∆ = 64 , x 1 = −1 et x 2 = 7 . x

Sgn. f ′ (x)

3

+∞

7 −

0

+

Var. f

14

3. Le minimum de f est 14 , il est atteint pour x = 7 . 4. D'après le tableau pour tout x > 3 , f (x) ⩾ 14 .

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√

h 3

0

√

Le rectangle est d'aire maximale lorsque x =

−

0 4 3h

Var.

p h

h 3

h , ses dimensions sont alors l = 2 3

√

h et 3