Coordinadas polares

COORDENADAS POLARES INSTITUCIÓN UNIVERSITARIA DE ENVIGADO FACULTAD DE INGENIERÍAS ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS ÁREA DE CALCULO INTEGRAL ENVIGADO, OCTUBRE 28 2004 INTRODUCCIÓN En el desarrollo de nuestro plan de estudios, se han tratado diversidad de temas que han requerido el uso de planos para el óptimo adelanto de las temáticas tratadas (coordenadas cartesianas). Ahora, dentro de este trabajo se observara una nueva clase de coordenadas, Coordenadas Polares. Se consignara entonces para el buen entendimiento de este tema: teoría básica, algunos ejemplos, graficas ilustrativas, aplicaciones de este tipo de coordenadas y por último se plantearan varios ejercicios para su posterior desarrollo. COORDENADAS POLARES Para construir el sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto o, llamado el polo o el origen, y trazamos desde o un rayo inicial llamado el eje polar. Entonces se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r,0), como sigue. r =distancia dirigida de 0a P

=ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento 0P

Acontinuacion se muestran tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en le sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un reticulo de circunferencias concentricas y rectas radiales que pasan por el polo.

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En coordinas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, ) y (r,2+)representan un mismo punto. A si mismo como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, ) y (−r,+) representan un mismo punto. En general, el punto (r, ) se puede expresar como: (r, ) = (r, +2n) o como: (r, ) = (−r,+(2n+1)) siendo n un entero. Además, el polo esta representado por (0, ),donde es cualquier ángulo. CAMBIO DE COORDENADAS Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, puesto que (x, y)esta sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r =x +y . Ademas para r >0, la definición de las funciones trigonometricas implica que: tg = , cos = y sen =

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El lector puede comprobar que si r